Lagrangian and Hamiltonian Formalism MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Lagrangian and Hamiltonian Formalism - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

हमें एक m द्रव्यमान का कण दिया गया है जो गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में बिना घर्षण के y = ax² द्वारा वर्णित परवलयिक पथ के साथ फिसल रहा है, जहाँ a एक स्थिरांक है।

कण के लिए लैग्रेंजियन L को निर्धारित करने के लिए, हमें सिस्टम की गतिज और स्थितिज ऊर्जाओं पर विचार करने की आवश्यकता है।

कण की गतिज ऊर्जा T को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

\[ T = \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 \right) \]

चूँकि y = ax², समय t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\[ \dot{y} = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (ax^2) = 2ax \dot{x} \]

गतिज ऊर्जा के व्यंजक में \( \dot{y} \) को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

\[ T = \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2 + (2ax \dot{x})^2 \right) = \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2 + 4a^2 x^2 \dot{x}^2 \right) = \frac{1}{2} m \left( 1 + 4a^2 x^2 \right) \dot{x}^2 \]

गुरुत्वाकर्षण के कारण कण की स्थितिज ऊर्जा V इस प्रकार दी गई है:

\[ V = mgy = mg(ax^2) = mgax^2 \]

लैग्रेंजियन L गतिज और स्थितिज ऊर्जाओं के बीच का अंतर है:

\[ L = T - V = \frac{1}{2} m \left( 1 + 4a^2 x^2 \right) \dot{x}^2 - mgax^2 \]

अंतिम उत्तर: कण के लिए सही लैग्रेंजियन विकल्प 2 द्वारा दिया गया है:

\[ \mathrm{L} = \frac{1}{2} \mathrm{~m}\left(1+4 \mathrm{a}^{2} \mathrm{x}^{2}\right) \dot{\mathrm{x}}^{2}-\mathrm{mg\ ax}^{2} \]

Concept:

The Lagranges equation of motion of a system is given by

Calculation:

The Lagrangian L depends on 

L(x,y,,)

L^' = L(x,y,,)

⇒

Similarly 

The correct answer is option (2).

Concept:

The Lagranges equation of motion of a system is given by

Calculation:

The Lagrangian L depends on 

L(x,y,,)

L^' = L(x,y,,)

⇒

Similarly 

The correct answer is option (2).

Concept:

The Lagranges equation of motion of a system is given by

Calculation:

The Lagrangian L depends on 

L(x,y,,)

L^' = L(x,y,,)

⇒

Similarly 

The correct answer is option (2).

गणना:

हमें एक m द्रव्यमान का कण दिया गया है जो गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में बिना घर्षण के y = ax² द्वारा वर्णित परवलयिक पथ के साथ फिसल रहा है, जहाँ a एक स्थिरांक है।

कण के लिए लैग्रेंजियन L को निर्धारित करने के लिए, हमें सिस्टम की गतिज और स्थितिज ऊर्जाओं पर विचार करने की आवश्यकता है।

कण की गतिज ऊर्जा T को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

\[ T = \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 \right) \]

चूँकि y = ax², समय t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\[ \dot{y} = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (ax^2) = 2ax \dot{x} \]

गतिज ऊर्जा के व्यंजक में \( \dot{y} \) को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

\[ T = \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2 + (2ax \dot{x})^2 \right) = \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2 + 4a^2 x^2 \dot{x}^2 \right) = \frac{1}{2} m \left( 1 + 4a^2 x^2 \right) \dot{x}^2 \]

गुरुत्वाकर्षण के कारण कण की स्थितिज ऊर्जा V इस प्रकार दी गई है:

\[ V = mgy = mg(ax^2) = mgax^2 \]

लैग्रेंजियन L गतिज और स्थितिज ऊर्जाओं के बीच का अंतर है:

\[ L = T - V = \frac{1}{2} m \left( 1 + 4a^2 x^2 \right) \dot{x}^2 - mgax^2 \]

अंतिम उत्तर: कण के लिए सही लैग्रेंजियन विकल्प 2 द्वारा दिया गया है:

\[ \mathrm{L} = \frac{1}{2} \mathrm{~m}\left(1+4 \mathrm{a}^{2} \mathrm{x}^{2}\right) \dot{\mathrm{x}}^{2}-\mathrm{mg\ ax}^{2} \]