Lagrangian and Hamiltonian Formalism MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Lagrangian and Hamiltonian Formalism - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Apr 1, 2025
Latest Lagrangian and Hamiltonian Formalism MCQ Objective Questions
Lagrangian and Hamiltonian Formalism Question 1:
चित्र में दर्शाए अनुसार, m द्रव्यमान का एक कण परवलयिक पथ y = ax2 के अनुदिश गुरुत्व के अधीन बिना घर्षण के फिसलता है, जहाँ a एक नियतांक है -
इस कण के लिए लैग्रेंजियन है -
Answer (Detailed Solution Below)
Lagrangian and Hamiltonian Formalism Question 1 Detailed Solution
गणना:
हमें एक m द्रव्यमान का कण दिया गया है जो गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में बिना घर्षण के y = ax² द्वारा वर्णित परवलयिक पथ के साथ फिसल रहा है, जहाँ a एक स्थिरांक है।
कण के लिए लैग्रेंजियन L को निर्धारित करने के लिए, हमें सिस्टम की गतिज और स्थितिज ऊर्जाओं पर विचार करने की आवश्यकता है।
कण की गतिज ऊर्जा T को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
\[ T = \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 \right) \]
चूँकि y = ax², समय t के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\[ \dot{y} = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (ax^2) = 2ax \dot{x} \]
गतिज ऊर्जा के व्यंजक में \( \dot{y} \) को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
\[ T = \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2 + (2ax \dot{x})^2 \right) = \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2 + 4a^2 x^2 \dot{x}^2 \right) = \frac{1}{2} m \left( 1 + 4a^2 x^2 \right) \dot{x}^2 \]
गुरुत्वाकर्षण के कारण कण की स्थितिज ऊर्जा V इस प्रकार दी गई है:
\[ V = mgy = mg(ax^2) = mgax^2 \]
लैग्रेंजियन L गतिज और स्थितिज ऊर्जाओं के बीच का अंतर है:
\[ L = T - V = \frac{1}{2} m \left( 1 + 4a^2 x^2 \right) \dot{x}^2 - mgax^2 \]
अंतिम उत्तर: कण के लिए सही लैग्रेंजियन विकल्प 2 द्वारा दिया गया है:
\[ \mathrm{L} = \frac{1}{2} \mathrm{~m}\left(1+4 \mathrm{a}^{2} \mathrm{x}^{2}\right) \dot{\mathrm{x}}^{2}-\mathrm{mg\ ax}^{2} \]
Lagrangian and Hamiltonian Formalism Question 2:
किसी कण का एक विमा में लग्रांजी है L = \(\frac{m}{2}\dot{x}^2-ax^2-V_0e^{-10x}\) जहां a तथा V0 धनात्मक स्थिरांक है। प्रावस्था समष्टि में प्रपथ का सर्वश्रेष्ठ गुणात्मक निरुपण है
Answer (Detailed Solution Below)
Lagrangian and Hamiltonian Formalism Question 2 Detailed Solution
Lagrangian and Hamiltonian Formalism Question 3:
दो कणों के तंत्र का लग्रांजी (Lagrangian) है L = \(\frac{1}{2}\dot{x}^2_1+2\dot{x}^2_2-\frac{1}{2}(x^2_1+x^2_2+x_1x_2)\). प्रसामान्य आवृत्तियों का सर्वश्रेष्ठ सन्निकटन है
Answer (Detailed Solution Below)
Lagrangian and Hamiltonian Formalism Question 3 Detailed Solution
Lagrangian and Hamiltonian Formalism Question 4:
Which of the following terms, when added to the Lagrangian L(x, y, \(\dot x\), \(\dot y\)) of a system with two degrees of freedom, will not change the equations of motion?
Answer (Detailed Solution Below)
Lagrangian and Hamiltonian Formalism Question 4 Detailed Solution
Concept:
The Lagranges equation of motion of a system is given by
\({d \over dt} {\partial L \over \partial \dot{q}} - {\partial L \over \partial q} = 0\)
Calculation:
The Lagrangian L depends on
L(x,y,\(̇ x\),\(̇ y\))
\({d \over dt} {\partial L \over \partial \dot{x}} - {\partial L \over \partial x} = 0\)
\({d \over dt} {\partial L \over \partial \dot{ y}} - {\partial L \over \partial y} = 0 \)
L' = L(x,y,\(\dot x\),\(\dot{y}\))
\({d' \over dt'} {\partial L' \over \partial x} - {\partial L' \over \partial x} = {d \over dt} {\partial L \over \partial x} - {\partial L \over \partial x}+ \ddot{y} = 0\)
⇒\(\dot{y} = c_1\)
Similarly \(\dot{x} = c_2\)
The correct answer is option (2).
Top Lagrangian and Hamiltonian Formalism MCQ Objective Questions
Which of the following terms, when added to the Lagrangian L(x, y, \(\dot x\), \(\dot y\)) of a system with two degrees of freedom, will not change the equations of motion?
Answer (Detailed Solution Below)
Lagrangian and Hamiltonian Formalism Question 5 Detailed Solution
Download Solution PDFConcept:
The Lagranges equation of motion of a system is given by
\({d \over dt} {\partial L \over \partial \dot{q}} - {\partial L \over \partial q} = 0\)
Calculation:
The Lagrangian L depends on
L(x,y,\(̇ x\),\(̇ y\))
\({d \over dt} {\partial L \over \partial \dot{x}} - {\partial L \over \partial x} = 0\)
\({d \over dt} {\partial L \over \partial \dot{ y}} - {\partial L \over \partial y} = 0 \)
L' = L(x,y,\(\dot x\),\(\dot{y}\))
\({d' \over dt'} {\partial L' \over \partial x} - {\partial L' \over \partial x} = {d \over dt} {\partial L \over \partial x} - {\partial L \over \partial x}+ \ddot{y} = 0\)
⇒\(\dot{y} = c_1\)
Similarly \(\dot{x} = c_2\)
The correct answer is option (2).
Lagrangian and Hamiltonian Formalism Question 6:
Which of the following terms, when added to the Lagrangian L(x, y, \(\dot x\), \(\dot y\)) of a system with two degrees of freedom, will not change the equations of motion?
Answer (Detailed Solution Below)
Lagrangian and Hamiltonian Formalism Question 6 Detailed Solution
Concept:
The Lagranges equation of motion of a system is given by
\({d \over dt} {\partial L \over \partial \dot{q}} - {\partial L \over \partial q} = 0\)
Calculation:
The Lagrangian L depends on
L(x,y,\(̇ x\),\(̇ y\))
\({d \over dt} {\partial L \over \partial \dot{x}} - {\partial L \over \partial x} = 0\)
\({d \over dt} {\partial L \over \partial \dot{ y}} - {\partial L \over \partial y} = 0 \)
L' = L(x,y,\(\dot x\),\(\dot{y}\))
\({d' \over dt'} {\partial L' \over \partial x} - {\partial L' \over \partial x} = {d \over dt} {\partial L \over \partial x} - {\partial L \over \partial x}+ \ddot{y} = 0\)
⇒\(\dot{y} = c_1\)
Similarly \(\dot{x} = c_2\)
The correct answer is option (2).
Lagrangian and Hamiltonian Formalism Question 7:
चित्र में दर्शाए अनुसार, m द्रव्यमान का एक कण परवलयिक पथ y = ax2 के अनुदिश गुरुत्व के अधीन बिना घर्षण के फिसलता है, जहाँ a एक नियतांक है -
इस कण के लिए लैग्रेंजियन है -
Answer (Detailed Solution Below)
Lagrangian and Hamiltonian Formalism Question 7 Detailed Solution
गणना:
हमें एक m द्रव्यमान का कण दिया गया है जो गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में बिना घर्षण के y = ax² द्वारा वर्णित परवलयिक पथ के साथ फिसल रहा है, जहाँ a एक स्थिरांक है।
कण के लिए लैग्रेंजियन L को निर्धारित करने के लिए, हमें सिस्टम की गतिज और स्थितिज ऊर्जाओं पर विचार करने की आवश्यकता है।
कण की गतिज ऊर्जा T को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
\[ T = \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 \right) \]
चूँकि y = ax², समय t के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\[ \dot{y} = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (ax^2) = 2ax \dot{x} \]
गतिज ऊर्जा के व्यंजक में \( \dot{y} \) को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
\[ T = \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2 + (2ax \dot{x})^2 \right) = \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2 + 4a^2 x^2 \dot{x}^2 \right) = \frac{1}{2} m \left( 1 + 4a^2 x^2 \right) \dot{x}^2 \]
गुरुत्वाकर्षण के कारण कण की स्थितिज ऊर्जा V इस प्रकार दी गई है:
\[ V = mgy = mg(ax^2) = mgax^2 \]
लैग्रेंजियन L गतिज और स्थितिज ऊर्जाओं के बीच का अंतर है:
\[ L = T - V = \frac{1}{2} m \left( 1 + 4a^2 x^2 \right) \dot{x}^2 - mgax^2 \]
अंतिम उत्तर: कण के लिए सही लैग्रेंजियन विकल्प 2 द्वारा दिया गया है:
\[ \mathrm{L} = \frac{1}{2} \mathrm{~m}\left(1+4 \mathrm{a}^{2} \mathrm{x}^{2}\right) \dot{\mathrm{x}}^{2}-\mathrm{mg\ ax}^{2} \]
Lagrangian and Hamiltonian Formalism Question 8:
किसी कण का एक विमा में लग्रांजी है L = \(\frac{m}{2}\dot{x}^2-ax^2-V_0e^{-10x}\) जहां a तथा V0 धनात्मक स्थिरांक है। प्रावस्था समष्टि में प्रपथ का सर्वश्रेष्ठ गुणात्मक निरुपण है
Answer (Detailed Solution Below)
Lagrangian and Hamiltonian Formalism Question 8 Detailed Solution
Lagrangian and Hamiltonian Formalism Question 9:
दो कणों के तंत्र का लग्रांजी (Lagrangian) है L = \(\frac{1}{2}\dot{x}^2_1+2\dot{x}^2_2-\frac{1}{2}(x^2_1+x^2_2+x_1x_2)\). प्रसामान्य आवृत्तियों का सर्वश्रेष्ठ सन्निकटन है