Inequalities in one Variable MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Inequalities in one Variable - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

असमिका का हल क्षेत्र:

• किसी असमिका का हल क्षेत्र उन सभी बिंदुओं का समुच्चय होता है जो असमिका को संतुष्ट करते हैं।
• रैखिक असमिकाओं के लिए, हल क्षेत्र आमतौर पर एक अर्धतल या रेखाओं द्वारा परिबद्ध क्षेत्र होता है।
• दी गई असमिका है: 2x + 4y ≤ 9।
• हम असमिका को एक रेखा समीकरण के रूप में लिख सकते हैं: 2x + 4y = 9 और इसे निर्देशांक तल पर आलेखित कर सकते हैं।
• हल क्षेत्र में वे सभी बिंदु शामिल होते हैं जो असमिका को संतुष्ट करते हैं, जो आमतौर पर रेखा का एक भाग होता है।

गणना:

दी गई असमिका है: 2x + 4y ≤ 9

सबसे पहले, असमिका को एक रेखा के समीकरण के रूप में लिखें:

2x + 4y = 9

अब, y के लिए हल करें:

4y = 9 - 2x

y = (9 - 2x) / 4

y = 9/4 - x/2

रेखा की ढलान -1/2 है और y-अंतःखंड 9/4 है।

निर्देशांक तल पर रेखा y = (9 - 2x)/4 को आलेखित करें।

हल क्षेत्र इस रेखा के नीचे का क्षेत्र होगा क्योंकि असमिका ≤ है (अर्थात, असमिका को संतुष्ट करने वाले बिंदु रेखा के नीचे या पर स्थित हैं)।

इस प्रकार, हल क्षेत्र रेखा 2x + 4y = 9 के नीचे और उस पर स्थित अर्धतल है।

∴ हल क्षेत्र रेखा 2x + 4y = 9 के नीचे और उस पर स्थित क्षेत्र है।

अवधारणा:

असमिकाओं पर संक्रियाओं के नियम:

• असमिका के दोनों ओर समान संख्या जोड़ने पर असमिका चिह्न की दिशा नहीं बदलती है।
• असमिका के दोनों ओर समान संख्या घटाने पर असमिका चिह्न की दिशा नहीं बदलती है।
• असमिका के दोनों ओर एक धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमिका चिह्न की दिशा नहीं बदलती है।
• असमिका के दोनों ओर एक ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर असमिका चिह्न की दिशा विपरीत हो जाती है।
• असमिका के दोनों ओर एक धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमिका चिह्न की दिशा नहीं बदलती है।
• असमिका के दोनों ओर एक ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमिका चिह्न की दिशा विपरीत हो जाती है।

गणना

दिया गया है, 6x + 7 ≤ x - 28

⇒ 6x + 7 - x ≤ x - 28 - x

⇒ 5x + 7 ≤ -28

⇒ 5x + 7 - 7 ≤ -28 - 7

⇒ 5x ≤ -35

⇒ x ≤ -7

चूँकि x एक प्राकृत संख्या है (जिसका अर्थ है कि x एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए), इसलिए कोई भी प्राकृत संख्या (x ≤ -7) को संतुष्ट नहीं करती है।

∴ कोई हल नहीं है। 

∴ विकल्प 1 सही है। 

अवधारणा:

असमिकाओं पर संक्रियाओं के नियम:

• असमिका के दोनों ओर समान संख्या जोड़ने पर असमिका चिह्न की दिशा नहीं बदलती है।
• असमिका के दोनों ओर से समान संख्या घटाने पर असमिका चिह्न की दिशा नहीं बदलती है।
• असमिका के दोनों ओर एक धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमिका चिह्न की दिशा नहीं बदलती है।
• असमिका के दोनों ओर एक ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर असमिका चिह्न की दिशा विपरीत हो जाती है।
• असमिका के दोनों ओर एक धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमिका चिह्न की दिशा नहीं बदलती है।
• असमिका के दोनों ओर एक ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमिका चिह्न की दिशा विपरीत हो जाती है।

गणना:

दिया गया है, 8x + 2 ≥ 2x + 14

⇒ 8x + 2 - 2x ≥ 2x + 14 - 2x

⇒ 6x + 2 ≥ 14

⇒ 6x + 2 - 2 ≥ 14 - 2

⇒ 6x ≥ 12

⇒ \( x ≥ \frac{12}{6} \)

⇒ x ≥ 2

अतः, x ∈ [2, ∞)

हल समुच्चय [2, ∞) है। 

∴ सही विकल्प (3) है। 

गणना:

हमें प्राप्त है, 17 - (2x + 4) ≤ 9x - 4(2x - 3)

⇒ 17 - 2x - 4 ≤ 9x - 8x + 12

⇒ 17 - 4 - 12 ≤ 9x - 8x + 2x

⇒ 1 ≤ 3x

⇒ x ≥ \(\frac{1}{3}\)

∴ हल समुच्चय x ∈  \(\left[\frac{1}{3},\infty\right)\) है।

गणना:

दिया गया है: x² - 5x - 14 > 0

⇒ (x + 2)(x - 7) > 0

⇒ x < - 2 या x > 7

x ∈ (- ∞,  - 2) ∪ ( 7, ∞ )

x, [ - 2, 7] के बाहर स्थित है। 

इसलिए, α = - 2 और β  = 7

⇒ \(\frac{\alpha}{\beta}\) = \(\frac{-2}{7}\)

सही उत्तर विकल्प (1) है।

संकल्पना:

असमानता का प्रयोग करके तुलना करने पर:

किसी दो वास्तविक संख्या \(a\) और \(b\) के लिए यदि \(\rm |a| < |b|\)  है, तो\(\rm a^2 < b^2\) है। 

गणना:

दिए गए असमानता का प्रयोग करने और निम्न रूप में आगे बढ़ने पर:

\(\rm|2x-3| < |x+5|\\ (2x-3)^2 < (x+5)^2\\ 4x^2+9-12x < x^2+25+10x\\ 3x^2-22x-16 < 0\\ 3x^2-24x+2x-16 < 0\\ 3x(x-8)+2(x-8) < 0\\ (3x+2)(x-8) < 0 \)

अतः हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि\(\left(-\dfrac{2}{3}, 8\right)\) है।

गणना:

दिया गया, 1.5 ≤ x ≤ 4.5

तो क्रांतिक बिंदु x = 1.5 = \(\frac 3 2\) या x = 4.5 = \(\frac 9 2\)

⇒ 2x - 3 = 0 या 2x - 9 = 0

असमिका को समिका के रूप में बदलकर

∴ (2x - 3)(2x - 9) = 0

जैसा कि हम तरंगमय वक्र में देख सकते हैं (2x - 3)(2x - 9) का मान ऋणात्मक है।

(2x - 3)(2x - 9) ≤ 0

इसलिए विकल्प 4 सही उत्तर है।

अवधारणा:

यदि |x| ≤ a तो - a ≤ x ≤ a

गणना:

दिया हुआ , |3x - 5| ≤ 2 

⇒ - 2 ≤ 3x - 5 ≤ 2

⇒ - 2 + 5 ≤ 3x ≤ 2 + 5 

⇒ 3 ≤ 3x ≤ 7

⇒\(\rm 1 \le x \le \dfrac{7}{3}\) 

इसलिए यदि |3x - 5| ≤ 2 तो \(\rm 1 \le x \le \dfrac{7}{3}\)

संकल्पना:

मापांक फलन '| |' को निम्न रूप में परिभाषित किया गया है:

\(\rm |x|=\left\{\begin{matrix}\rm \ \ \ x, &\rm x \geq 0\\ \rm -x, &\rm x<0\\\end{matrix}\right.\)

गणना:

हमारे पास दो स्थितियां हैं:

स्थिति I: यदि x + 5 ≥ 0 है, तो |x + 5| = x + 5 है। 

⇒ x + 5 ≥ 10

⇒ x ≥ 5

⇒ x ∈ [5, ∞)

स्थिति II: यदि x + 5 < 0 है, तो |x + 5| = -(x + 5) है। 

⇒ -(x + 5) ≥ 10

⇒ -x - 5 ≥ 10

⇒ -x ≥ 15

⇒ x ≤ -15

⇒ x ∈ (-∞, -15]

∴ x ∈ (-∞, -15] ∪ [5, ∞).

व्याख्या:

रैखिक असमिका निकाय को निम्न द्वारा दिया गया है 

\(\left\{ \begin{matrix} 5 + x > 3x - 7 \\\ 11 - 5x \le 1 \end{matrix} \right.\)

जब 5 + x > 3x - 7 ⇒ 2x < 12 ⇒ x < 6

जब 11 - 5x ≤ 1 ⇒ 5x ≥ 10 ⇒ x ≥ 2

संख्या रेखा पर, हल को नीचे दर्शाया गया है।

\(\frac{{11 - 2x}}{5} \ge \frac{{9-3x}}{8} + \frac{3}{4}\) x ∈ n

\(\frac{{11}}{5} - \frac{{2x}}{5} \ge \frac{9}{8} - \frac{{3x}}{8} + \frac{3}{4}\)

\(\frac{{11}}{5} - \frac{9}{8} - \frac{3}{4} \ge \frac{{2x}}{5} - \frac{{3x}}{8}\)

\(\frac{{16x - 15x}}{{40}}\)\( \le \frac{{88 - 45 - 30}}{{40}}\)

\(\frac{x}{{40}} \le \frac{{13}}{{40}}\)

x ≤ 13

चूँकि x ∈ N, धनपूर्ण संख्या

x > 0

तो x ∈ (1, 2, 3, ...13)

संकल्पना:

असमानता का प्रयोग करके तुलना करने पर:

किसी दो वास्तविक संख्या \(a\) और \(b\) के लिए यदि \(\rm |a| < |b|\)  है, तो\(\rm a^2 < b^2\) है। 

गणना:

दिए गए असमानता का प्रयोग करने और निम्न रूप में आगे बढ़ने पर:

\(\rm|2x-3| < |x+5|\\ (2x-3)^2 < (x+5)^2\\ 4x^2+9-12x < x^2+25+10x\\ 3x^2-22x-16 < 0\\ 3x^2-24x+2x-16 < 0\\ 3x(x-8)+2(x-8) < 0\\ (3x+2)(x-8) < 0 \)

अतः हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि\(\left(-\dfrac{2}{3}, 8\right)\) है।

संकल्पना:

असमानता का प्रयोग करके तुलना करने पर:

किसी दो वास्तविक संख्या \(a\) और \(b\) के लिए यदि \(\rm |a| < |b|\)  है, तो\(\rm a^2 < b^2\) है। 

गणना:

दिए गए असमानता का प्रयोग करने और निम्न रूप में आगे बढ़ने पर:

\(\rm|2x-3| < |x+5|\\ (2x-3)^2 < (x+5)^2\\ 4x^2+9-12x < x^2+25+10x\\ 3x^2-22x-16 < 0\\ 3x^2-24x+2x-16 < 0\\ 3x(x-8)+2(x-8) < 0\\ (3x+2)(x-8) < 0 \)

अतः हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि\(\left(-\dfrac{2}{3}, 8\right)\) है।

दिया गया है:

\(\left| {\frac{{{x^2}}}{{x - 1}}} \right| \le 1\)

संकल्पना:

(i) \(|\frac{a}{b}|= \frac{|a|}{|b|}\)

(ii) |x - a| = (x - a) यदि x ≥ a और -(x - a) यदि x < a

गणना:

\(\left| {\frac{{{x^2}}}{{x - 1}}} \right| \le 1\)

⇒ \( \frac{|x^2|}{|x - 1|} \le 1\)

⇒ |x2| ≤ |x - 1|

⇒ x2 ≤ |x - 1| क्योंकि वास्तविक x के लिए x2 हमेशा धनात्मक है 

(i) अब x > 1 के लिए, |x - 1| = (x - 1)

∴ x2 ≤ x - 1 असमानता से अधिक होगा

⇒ x2 - x + 1 ≤ 0

जो x2 - x + 1, (a> 0 और D < 0) के लिए कोई समाधान नहीं देता है जो इसे हमेशा धनात्मक बनाता है।

अत: x > 1 का कोई हल नहीं है

(ii) अब x ≤ 1 के लिए, |x - 1| = - (x - 1)

∴ x2 -(x - 1) असमानता से अधिक होगा

⇒ x2 + x - 1 ≤ 0

जो दिया गया है \(\frac{-1-\sqrt5}{2} ≤ x≤\frac{-1+\sqrt5}{2}\)

x ≤ 1 का प्रतिच्छेदन करने पर और \(\frac{-1-\sqrt5}{2} ≤ x≤\frac{-1+\sqrt5}{2}\)

हमें प्राप्त होता है, \(\frac{-1-\sqrt5}{2} ≤ x≤\frac{-1+\sqrt5}{2}\)

संकल्पना:

असमिका पर आधारित संक्रियाओं के नियम:

• असमिका के प्रत्येक पक्ष में समान संख्या जोड़ने से असमिका के प्रतीक की दिशा नहीं बदलती है (चिन्ह में कोई परिवर्तन नहीं होता है)।
• असामिका के प्रत्येक पक्ष से समान संख्या को घटाने पर असामिका के प्रतीक की दिशा नहीं बदलती है (चिन्ह में कोई परिवर्तन नहीं होता है)।
• असामिका के प्रत्येक पक्ष को एक धनात्मक संख्या से गुणा करने से असामिका के प्रतीक की दिशा नहीं बदलती है (चिन्ह में कोई परिवर्तन नहीं होता है)।
• असामिका के प्रत्येक पक्ष को एक ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर असामिका के प्रतीक की दिशा उत्क्रमित (रिवर्स) हो जाती है (चिन्ह उत्क्रमित हो जाता है)।
• असामिका के प्रत्येक पक्ष को एक धनात्मक संख्या से विभाजित करने से असामिका के प्रतीक की दिशा नहीं बदलती है (चिन्ह में कोई परिवर्तन नहीं होता है)।
• असामिका के प्रत्येक पक्ष को एक ऋणात्मक संख्या से विभाजित करने पर असामिका  के प्रतीक की दिशा उत्क्रमित (रिवर्स) हो जाती है (चिन्ह उत्क्रमित हो जाता है)।

​हल:

दिया गया है, |x - 1| ≤ 5 तथा |x| ≥ 2

⇒ -5 ≤ x - 1 ≤ 5 तथा x ≤ -2 या x ≥ 2

⇒ -5 + 1 ≤ x ≤ 5 + 1

⇒ -4 ≤ x ≤ 6 तथा x ≤ -2 या x ≥ 2

अतः, x ∈ \([-4,-2]\cup [2,6]\)

हल का समुच्चय \([-4,-2]\cup [2,6]\) है। 

∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।