Exponential Function MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Exponential Function - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

प्रयुक्त अवधारणा:-

e^x के प्रसार को इस प्रकार दिया जा सकता है,

\(e^x=\left(1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^2}{2 !}+\ldots .+\frac{x^{n-1}}{(n-1) !}+\frac{x^n}{n !}+\ldots\right) \)

साथ ही, (1 - x)-1 के प्रसार को इस प्रकार दिया जा सकता है,​

\((1-x)^{-1}=\left(1+x+x^2+\ldots+x^{n-1}+x^n+\ldots . \infty\right)\)

व्याख्या:-

दिया गया है, समीकरण इस प्रकार है, 

\(\rm\frac{e^x}{1−x}\) = B0 + B1x + B2x2 + ……. + Bnxn + ……, 

इसे निम्न रूप में भी लिखा जा सकता है,

e^x(1-x)^-1 = B0 + B1x + B2x2 + ……. + Bnxn + ……, 

उपरोक्त प्रसार का उपयोग करके, हम इस समीकरण को निम्न रूप में फिर से लिख सकते हैं​,

\(\Rightarrow \left(1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^2}{2 !}+\ldots .+\frac{x^{n-1}}{(n-1) !}+\frac{x^n}{n !}+\ldots\right) \times\left(1+x+x^2+\ldots+x^{n-1}+x^n+\ldots . \infty\right)\)= B0 + B1x + B2x2 + ……. + Bnxn + ……, 

अब मान को प्राप्त करने के लिए दोंनो पक्षों के xⁿ और xⁿ⁻¹ गुणांकों की तुलना करने पर,

\(\begin{aligned} & \frac{1}{n !}+\frac{1}{(n-1) !}+\ldots .+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{1 !}+1=B_n \ \ \ ..........(1 )\text { and }\\ & \frac{1}{(n-1) !}+\frac{!}{(n-2) !}+\ldots .+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{1 !}+1=B_{n-1} \ \ \ .....(2) \end{aligned}\)

दोनों समीकरणों का योग करने पर, 

\(\Rightarrow \frac{1}{n !}+\frac{1}{(n-1) !}+\ldots .+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{1 !}+1-( \frac{1}{(n-1) !}+\frac{!}{(n-2) !}+\ldots .+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{1 !}+1)=B_n-B_{n-1} \ \ \ \\ \Rightarrow B_n-B_{n-1} = \frac{1}{n !}\)

इसलिए, (Bn − Bn−1) का मान \(\rm\frac{1}{n!}\) है। 

प्रयुक्त अवधारणा:-

हमें ज्ञात है कि eˣ का अवकलज eˣ है। 

अब जैसा कि लिखा गया है,

eˣ = a₀ + a₁ x + a₂x² + ... + a_nxⁿ

x = 0; a₀ = 1 पर,

उपरोक्त समीकरण का अवकलन करने पर,

eˣ = a₁ + 2a₂x + ...+ na_nx^n-1

अब x = 0; a₁ = 1 रखने पर

इसका पुनः अवकलन करने पर,

eˣ = 2a₂ +... n (n - 1)x^n-2

अब, x = 0, 2a₂ = 1 पर,

जब हम बार-बार इसका अवकलन करते हैं और a_n के मान को हल करने के लिए x = 0 रखते हैं, तो हमें निम्न श्रेणी प्राप्त होती है:

1 + x + x²/2! + x³/3! + ...+ xⁿ/n! अनंत तक 

x = 1 रखने पर, हमें प्राप्त होता है,

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...+ 1/n!              .......(1)

व्याख्या:-

दिया गया है कि किसी श्रेणी का nवाँ पद  \( \rm\frac{1}{(n+1)!}\) है। 

\(T_n=\rm\frac{1}{(n+1)!}\)

यहाँ, श्रेणी n = 1 से ∞ तक जाती है।​ इसलिए, श्रेणी का मान होगा, 

\( S=\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+\ldots-\infty\)

यहाँ, 1+1/1! को दाईं ओर जोड़ने और घटाने पर,

\(\Rightarrow S=\left(1+\frac{1}{1 !}+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+--\infty\right)-(1+\frac{1}{1 !})\\ \Rightarrow S=\left(1+\frac{1}{1 !}+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+--\infty\right)-2\)

समीकरण (1) से हमें प्राप्त होता है,

⇒ S = e - 2

इसलिए, श्रेणी का योग (e - 2) होगा। 

अवधारणा:

सूत्र:

• log mⁿ =  n.log m
• \(\frac{\mathrm{d}(uv) }{\mathrm{d} x}=v\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}+u\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}\)
• \(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x}=1\)

हल:

माना y = x^x

दोनों पक्षों का लॉग लेते हुए, हम प्राप्त करते हैं

⇒ log y = log(x)^x

⇒ log y = x.log(x)     [∵ log mⁿ = n.log m ]

x के सापेक्ष अवकलज करते हुए, हम प्राप्त करता है

⇒ \(\frac{1}{y}\frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d} x}= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(xlog(x) )\)

⇒ \(\frac{1}{y}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}= x\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}log(x)+log(x)\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x}\)

⇒ \(\frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d} x}= y\left [ x.\frac{1}{x}+1.log(x) \right ]\)

⇒ \(\frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d} x}= x^{x}\left [ 1+log(x) \right ]\)

∴ सही विकल्प (1) है

यदि y = log logx

⇒ e^y = log x

x के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,

⇒ \({e^y}\frac{{dy}}{{dx}} = { 1\over x}\)

संकल्पना:

\(\rm \frac{d(\log x)}{dx} = \frac 1 x\)

गणना:

दिया गया है:  y = e^{log (log x)}

ज्ञात करना है: \(\rm \frac{dy}{dx}\)

चूँकि हम जानते हैं कि, e^{log x} = x

∴ e^{log (log x)} = log x

अब, y = log x

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

\(\rm \frac{dy}{dx}=\rm \frac{d(\log x)}{dx} = \frac 1 x\)

संकल्पना:

\(\rm \frac{d}{dx}ln[f(x)] =\rm \frac{1}{f(x)}f'(x) \)

गणना:

दिया गया फलन f(x) = 2^{sin x} है। 

अवकलज ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों में लघुगुणक लेने पर,

⇒ ln[f(x)] = sinx. ln 2

दोनों पक्षों में अवकलज लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

\(\Rightarrow \rm \frac{d}{dx}ln[f(x)] = \frac{d}{dx}sinx. ln\;2\)
\(\Rightarrow \rm \frac{1}{f(x)}f'(x) = ln\;2 \;cos\;x\)
\(\Rightarrow \rm f'(x) = f(x).\;ln\;2 \;cos\;x\)

\(\Rightarrow \rm f'(x) = 2^{sin\;x}.\;ln\;2 \;cos\;x\)

यदि f(x) = 2^{sin x}  है,

तो f(x) का अवकलज

 \(\rm f'(x) = 2^{sin\;x}.\;ln\;2 \;cos\;x\) है।

अवधारणा:

• फलन की अवकलनीयता: एक फलन f(x) इसके डोमेन में x = a पर अवकलनीय तब होता है यदि इसका अवकलज a पर निरंतर होता है। 

  इसका अर्थ है कि f'(a) को मौजूद होना चाहिए, या समकक्ष रूप से:

  \(\rm \lim_{x\to a^+}f'(x)=\lim_{x\to a^-}f'(x)=\lim_{x\to a}f'(x)=f'(a)\)।

• मापांक फलन '| |' को निम्न रूप में परिभाषित किया गया है: \( \rm |x|=\left\{\begin{matrix}\rm \ \ \ x, &\rm x \ge 0\\ \rm -x, &\rm x<0\\\end{matrix}\right.\)

गणना:

मापांक फलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

f(x) = ex, x ≥ 0

और f(x) = e-x, x < 0

अवकलजों के पहले सिद्धांत का उपयोग करते हुए हम पाते हैं कि:

\(\rm \lim_{x\to 0^+}f'(x)=\lim_{x\to 0}e^x\) = 1

और, \(\rm \lim_{x\to 0^-}f'(x)=\lim_{x\to 0}-e^{-x}\) = -1

चूंकि \(\rm \lim_{x\to a^+}f'(x)\neq\lim_{x\to a^-}f'(x)\) , दिया गया फलन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है, या, f'(0) मौजूद नहीं है।

अवधारणा:

अवकल का भागफल नियम:

\(\rm \frac {d \left(\frac {u}{v}\right) }{dx}= \frac {v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}\)

गणना:

हमारे पास है xy = ex - y 

दोनों पक्षों में log लेने पर

⇒ y log x = (x - y) log e

⇒ y log x = x - y

⇒ (log x + 1)y = x

⇒ y = \(\rm x\over\log x+1\)

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें मिलता है

⇒ \(\rm {dy\over dx} = {(\log x+1)-x({1\over x})\over(\log x+1)^2}\)

⇒ \(\rm {dy\over dx} = {(\log x+1-1)\over(\log x+1)^2}\)

⇒ \(\boldsymbol{\rm {dy\over dx} = {\log x\over(\log x+1)^2}}\)

∴ सही जवाब है​ \(\boldsymbol{\rm {dy\over dx} = {\log x\over(\log x+1)^2}}\).

अवधारणा:

g(x) के संबंध में f(x) का अवकलन = \(\rm f'(x)\over g'(x)\)

f(x) और g(x), x का फलन है

गणना:

f(x) = ex

f'(x) = \(\rm {d\over dx}e^x = e^x\)

g(x) = x^e

g'(x) = \(\rm {d\over dx}x^e = ex^{e-1}\)

आवश्यक व्युत्पन्न D = \(\rm f'(x)\over g'(x)\)

D = \(\rm e^x\over ex^{e-1}\) = \(\rm xe^x\over ex^e\)

संकल्पना:

अवकलज नियम:

माना कि y = ef(x) है, तो 

\(\rm \dfrac {dy}{dx} = e^{f(x)} \dfrac {d}{dx} f(x)\)

गणना:

दिया गया है, f(x) = ecos x

दोनों पक्ष पर x के संबंध में अवकलज लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ f'(x) = \(\rm \dfrac {d}{dx}\)(ecos x)

⇒ f'(x) = ecos x \(\rm \dfrac {d}{dx} (\cos x)\)

⇒ f'(x) = ecos x (- sin x)

⇒ f'(x) = (- sin x)ecos x 

अतः यदि f(x) = ecos x है, तो f(x) का अवकलज (- sin x)ecos x  है। 

इस्तेमाल किया गया सूत्र

\(\rm \frac{d}{dx} e^{x} = e^{x}\)

x के संबंध में y का अवकलन dy/dx द्वारा दिया जाता है।

गणना​:

माना, f(x) = \(\rm e^{e^x}\)

d[f(x)] = d[\(\rm e^{e^x}\)]

⇒ d[f(x)] = \(\rm e^{e^x} e^x\)     ----(1)

पुन: माना, g(x) = \(\rm e^x\)

⇒  d[g(x)] = d[\(\rm e^x\)]      -----(2)

इसलिए, आवश्यक अवकलज

 \(\rm \frac{d[f(x)]}{d[g(x)]}\)= \(\rm \frac{\rm e^{e^x} e^x}{e^x}\)

⇒ \(\rm \frac{d[f(x)]}{d[g(x)]}\) = \(\rm e^{e^x}\)

∴ ex के सम्बन्ध में \(\rm e^{e^x}\) का अवकलज \(\rm e^{e^x}\) है

संकल्पना:

सूत्र:

log mn = n log m

\(\rm \frac{d(uv)}{dx} = v\frac{du}{dx}+u\frac{dv}{dx}\)

\(\rm \frac{d\log x}{dx} = \frac{1}{x}\)

गणना:

माना कि y = 2^-3x है। 

दोनों पक्षों पर log लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ log y = log 2^-3x

⇒ log y = -3x log 2           (∵ log mn = n log m)       

⇒ log y = (-3log 2) x

x के संबंध में अवकलन करने पर

⇒ \(\rm \frac 1 y \frac{dy}{dx} \) = (-3log 2) × 1

⇒ \(\rm \frac{dy}{dx} \) = (-3log 2)y

∴  \(\rm \frac{dy}{dx} \) = (-3log 2)2-3x

अवधारणा:

अवकलज नियम:

माना y = ef(x) हो तो

\(\rm \dfrac {dy}{dx} = e^{f(x)} \dfrac {d}{dx} f(x)\)

गणना:

दिया गया है, f(x) = e^sin x

x के सबंध में दोनों पक्षों का अवकलज लेने पर, हम निम्न प्राप्त करते हैं

⇒f'(x) = \(\rm \dfrac {d}{dx}\)(esin x)

⇒f'(x) = esin x \(\rm \dfrac {d}{dx} (\sin x)\)

⇒f'(x) = esin x \(\rm ( \cos x)\)

⇒f'(x) = \(\rm (\cos x)\)esin x 

प्रयुक्त अवधारणा:-

हमें ज्ञात है कि eˣ का अवकलज eˣ है। 

अब जैसा कि लिखा गया है,

eˣ = a₀ + a₁ x + a₂x² + ... + a_nxⁿ

x = 0; a₀ = 1 पर,

उपरोक्त समीकरण का अवकलन करने पर,

eˣ = a₁ + 2a₂x + ...+ na_nx^n-1

अब x = 0; a₁ = 1 रखने पर

इसका पुनः अवकलन करने पर,

eˣ = 2a₂ +... n (n - 1)x^n-2

अब, x = 0, 2a₂ = 1 पर,

जब हम बार-बार इसका अवकलन करते हैं और a_n के मान को हल करने के लिए x = 0 रखते हैं, तो हमें निम्न श्रेणी प्राप्त होती है:

1 + x + x²/2! + x³/3! + ...+ xⁿ/n! अनंत तक 

x = 1 रखने पर, हमें प्राप्त होता है,

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...+ 1/n!              .......(1)

व्याख्या:-

दिया गया है कि किसी श्रेणी का nवाँ पद  \( \rm\frac{1}{(n+1)!}\) है। 

\(T_n=\rm\frac{1}{(n+1)!}\)

यहाँ, श्रेणी n = 1 से ∞ तक जाती है।​ इसलिए, श्रेणी का मान होगा, 

\( S=\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+\ldots-\infty\)

यहाँ, 1+1/1! को दाईं ओर जोड़ने और घटाने पर,

\(\Rightarrow S=\left(1+\frac{1}{1 !}+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+--\infty\right)-(1+\frac{1}{1 !})\\ \Rightarrow S=\left(1+\frac{1}{1 !}+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+--\infty\right)-2\)

समीकरण (1) से हमें प्राप्त होता है,

⇒ S = e - 2

इसलिए, श्रेणी का योग (e - 2) होगा।