Binomial Expansion MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Binomial Expansion - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

दिया गया है:

⇒ माध्य x = np = 6....(i)

⇒ मानक विचलन = ...(ii)

(ii) को (i) से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒

⇒ q= 1/3

अब

⇒ p = 1 - q = 1- 1/3 = 2/3

(i) से

⇒

⇒n =9

∴ विकल्प (d) सही है।

व्याख्या:

दिया गया है:

(8 + 3√7) 20 = U + V...(i)

(8 - 3√7) 20 = W...(ii)

⇒ (U + V)W =] (8 + 3√7) 20][(8 - 3√7) 20]

= (64 - 63)²⁰ = 1²⁰ = 1

∴ विकल्प (b) सही है।

व्याख्या:

दिया गया है:

(8 + 3√7) 20 = U + V...(i)

(8 - 3√7) 20 = W...(ii)

यहाँ, 0

अब, समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है

U + V +W = (8 + 3√7) 20 + (8 - 3√7) 20

= 2[²⁰C₀8²⁰+ ²⁰C₂8¹⁸. (3√7 )²+........+(3√7)²⁰

⇒ यह एक सम संख्या है।

इसके अलावा, 0

इस प्रकार, V + W एक पूर्णांक है

V + W = 1

∴ विकल्प (d) सही है।

व्याख्या:

मान लीजिये p(n) = 7ⁿ - 6n

= (6+1)ⁿ - 6n

= 1+6n +ⁿC₂6² + ⁿC₃6³+.......... 6ⁿ -6n

= 1+ 6²(nC2+ nC3 x 6 +....... 6^n-2)

= 1+ 36(¹⁰⁰C₂ + 100C3 x 6 +........6⁹⁸).....(n =100)

= 1 + 36 k

जहाँ k = (100C2 + 100C3 x 6 +........698)

इस प्रकार जब 7ⁿ - 6n को 36 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 1 होगा

∴ विकल्प (b) सही है

सामान्य पद = ⁿC_r {7^1/3}^n-r (11^1/12)^r

पूर्णांक पदों के लिए, r, 12 का गुणज होना चाहिए।

∴ r = 12k, जहाँ k ∈ W है

r के कुल मान = 183

इसलिए r का अधिकतम मान = 12(182)

= 2184

n का न्यूनतम मान = 2184

अवधारणा:

(1 + x)n = nC0 × 1(n-0) × x 0+ nC1 × 1(n-1) × x 1 + nC2  × 1(n-2) × x2 + …. + nCn  × 1(n-n) × xn

G.P. का n^वां पद an = arⁿ⁻¹ है

n पदों का योग = s = ; जहाँ r >1

n पदों का योग = s = ; जहाँ r

गणना:

C(n, 1) + C(n, 2) + _ _ _ _  _ + C(n, n) 

⇒ nC1 + nC2 + ... + nCn 

⇒ nC0 + nC1 + nC2 + ... + nCn - nC0

⇒ (1 + 1)n - nCo 

⇒ 2n - 1 =  = 1 × 

G.P योग = a × , के साथ इसकी तुलना करना हमें a = 1 और r = 2 मिलता है

∴ 2n - 1 = 1 + 2 + 2² + ... +2^n-1 जो हमें कुल में n पद देगा।

अवधारणा:

(1 + x)ⁿ = ⁿC₀ × 1^(n-0) × x ⁰+ ⁿC₁ × 1^(n-1) × x ¹ + ⁿC₂  × 1(n-2) × x² + …. + ⁿC_n  × 1(n-n) × xⁿ

गणना:

दिया गया विस्तार (1 + x)²ⁿ है

= ²ⁿC₀ ×1^(2n-0) × x⁰ +  2nC₁ ×1(2n-1) × x¹ + ... +  2nC_2n ×1(2n-2n) × x²ⁿ

पहला पद = 2nC0 ×1 × 1 = 1

अंतिम पद =  2nC_2n ×1 × x²ⁿ = 1 × x²ⁿ = x²ⁿ

⇒ योग = 1 + x²ⁿ

1 का गुणांक = 1, x2n का गुणांक = 1

∴  तो, गुणांकों का योग = 1 + 1 = 2

संकल्पना:

(1 + x)n का प्रसरण:

गणना:

दिया गया है: (1 + x)m के द्विपद प्रसरण में तीसरा पद (-1/8)x² है। 

इसलिए, (1 + x)m के द्विपद प्रसरण में तीसरा पद है। 

 = (-1/8)x²

⇒ 

⇒ 4m² - 4m + 1 = 0

⇒ (2m - 1)² = 0

⇒ 2m - 1 = 0

∴ m = 

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)ⁿ के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया गया है

(1 + x)ⁿ का विस्तार:

गणना:

खोजने के लिए: के विस्तार में x² का गुणांक

अब, विस्तार में x² का गुणांक = 

संकल्पना:

(x + y)ⁿ का द्विपद प्रसरण निम्न द्वारा दिया जाता है

(x + y)n = ⁿC₀xⁿ + nC1xn-1y + nC2xn-2y²+.....+ nCn-1xy^n-1 + nCnyn  

गणना:

दिया गया है,  2r C(n, r)

व्यंजक​ का प्रसार करने पर,

⇒ nC020 + nC1 2¹ + nC222+.....+ nCn-12n-1 + nCn2n  

⇒ nC01n 20 + nC1 1n-1 2¹ + nC21n-2 22+.....+ nCn-1 2n-1 + nCn2n  

द्विपद प्रसरण की तुलना करने पर x = 1 और y = 2

⇒  2r C(n, r) = (1 + 2)ⁿ

⇒  2r C(n, r) = 3n

∴ सही विकल्प (2) है।

संकल्पना:

• (x₁ + x₂ + x₃ +......+ x_r)ⁿ  के विस्तार में पदों की संख्या =   है, जहाँ n = विस्तारित किए जाने वाले पद का घातांक, r = विस्तारित किए जाने वाले पदों की संख्या
• ​ 

व्याख्या:

(x + y + z)10 में पदों की संख्या=  (चूंकि, n = 10 और r = 3)

⇒ 

अतः 

प्रयुक्त सूत्र:

n! = n × (n - 1) × (n - 2).......3 × 2 × 1 

गणना:

दिया गया है कि,

4 × nC5 = 9 × n-1C5

उपरोक्त सूत्र का प्रयोग करने पर 

⇒ 

⇒ 

⇒ 9n - 45 = 49

⇒ 5n = 4n

⇒ n = 9

धारणा:

हमारे पास है (x + y) n = nC0 xn + nC1 xn-1 . y + nC2 xn-2. y2 + …. + nCn yn

• सामान्य पद: (x + y)ⁿ के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया जाता है
• (x + y)n के द्विपदीय विस्तार में अंत से r^वां पद (n – r + 2)वां पद है।

सूचना: 

• (x + y)n के द्विपदीय विस्तार में अंत से rवां पद = (y + x)n के द्विपदीय विस्तार में प्रारंभ से rवां पद।
• अगर हम x → y पद को अदल-बदल करते हैं तो यह प्रारंभ से rवां पद देगा।

गणना:

हमें (x – 1/x) 12 में अंत से 9वां पद ढूंढना है

हम जानते हैं कि अंत से rवां पद मतलब प्रारंभ से (n – r + 2)वां पद।

तो अंत से 9वां पद = प्रारंभ से [12 – 9 + 2]वां पद = प्रारंभ से 5वां पद

सामान्य पद: 

= ¹²C₄ x⁴

संकल्पना:

(x + y)n का विस्तार द्विपद विस्तार द्वारा दिया गया है। विस्तार होगा

(x + y)n = nC0 xn + nC1 xn-1 y + nC2 xn-2 y2 + ... + nCr xn-r yr + ... + nCn yn;

सामान्य पद इसके द्वारा दिया गया है

Tr = nCr xn-r yr ;

गणना:

दिया गया विस्तार  है

माना कि r^वें पद में x¹² है और गुणांक A है;

⇒ Tr = A x12;

दिए गए विस्तार का सामान्य r^वां पद होगा

T _r =

⇒ Tr = 30Cr 330-r × x60-2r × x-r = 30Cr 330-r × x60-3r

12 के साथ x का घात बराबर करके,

⇒ 60 - 3r = 12 ⇒ r = 16

अब गुणांक होगा

A = 30Cr 330-r = 30C16 314;

संकल्पना:

द्विपद प्रसरण:

• (a + b)ⁿ = C₀ aⁿ b⁰ + C₁ a^n-1 b¹ + C₂ a^n-2 b² + … + C_r a^n-r b^r + … + C_n-1 a¹ b^n-1 + C_n a⁰ bⁿ, जहाँ C₀, C_1, …, C_n, C_r = ⁿC_r =  के रूप में परिभाषित द्विपद गुणांक हैं। 
• (1 - x)^-n = 1 + ⁿC₁ x + ⁿ⁺¹C₂ x² + ⁿ⁺²C₃ x³ + ....

बीजगणितीय सर्वसमिका:

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
गणना:

हमें दिया गया है कि 1³ - x³ = (1 - x)(1 + x + x²)

⇒ 1 + x + x2 = 

अब, (1 + x + x2)-3 को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

= 

= (1 - x)3 × (1 - x³)^-3

= (1 - 3x + 3x² - x³)(1 + ³C₁ x³ + ⁴C₂ x⁶ + ... x का उच्चतम घांत)

x⁶, (1 और ⁴C₂ x⁶) तथा(-x³ और ³C₁ x³) को गुणा करके प्राप्त होगा। 

∴ x⁶ का गुणांक: (1 × 4C2) + (-1 × 3C1) = 6 - 3 = 3 होगा।