Area MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Area - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

प्रयुक्त अवधारणा:

त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2 }\)|AB × AC|

गणना:

दिया गया है:

शीर्ष: A(1, 1, 1), B(1, 2, 3), C(2, 3, 1)

AB = B - A = (1-1, 2-1, 3-1) = (0, 1, 2)

AC = C - A = (2-1, 3-1, 1-1) = (1, 2, 0)

AB × AC = \(\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}\)

⇒ AB × AC = \(\hat{i}(0-4) - \hat{j}(0-2) + \hat{k}(0-1)\)

⇒ AB × AC = \(-4\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}\)

|AB × AC| = \(\sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-1)^2}\)

⇒ |AB × AC| = \(\sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21}\)

क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2 }\)|AB × AC|

⇒ क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\sqrt{21}\)

∴ त्रिभुज का क्षेत्रफल \(\frac{\sqrt{21}}{2}\) है।

अतः विकल्प 2 सही है। 

गणना

दिया गया है:

रेखाएँ: \(6x^2 + 13xy + 6y^2 = 0\) और \(x + 2y + 3 = 0\)

1) सरल रेखाओं के युग्म का गुणनखंडन:

\(6x^2 + 13xy + 6y^2 = 0\)

⇒ \(6x^2 + 9xy + 4xy + 6y^2 = 0\)

⇒ \(3x(2x + 3y) + 2y(2x + 3y) = 0\)

⇒ \((3x + 2y)(2x + 3y) = 0\)

⇒ \(3x + 2y = 0\) और \(2x + 3y = 0\)

2) प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए:

\(3x + 2y = 0\) और \(x + 2y + 3 = 0\) का प्रतिच्छेदन:

⇒ \(3x + 2y = 0\) ⇒ \(2y = -3x\)

⇒ \(x + (-3x) + 3 = 0\) ⇒ \(-2x = -3\) ⇒ \(x = \frac{3}{2}\)

⇒ \(2y = -\frac{9}{2}\) ⇒ \(y = -\frac{9}{4}\)

⇒ \(A(\frac{3}{2}, -\frac{9}{4})\)

\(2x + 3y = 0\) और \(x + 2y + 3 = 0\) का प्रतिच्छेदन:

⇒ \(2x + 3y = 0\) ⇒ \(3y = -2x\)

⇒ \(x + 2(-\frac{2x}{3}) + 3 = 0\) ⇒ \(3x - 4x + 9 = 0\) ⇒ \(-x = -9\) ⇒ \(x = 9\)

⇒ \(3y = -18\) ⇒ \(y = -6\)

⇒ \(B(9, -6)\)

\(3x + 2y = 0\) और \(2x + 3y = 0\) का प्रतिच्छेदन:

⇒ \(x = 0\), \(y = 0\) ⇒ \(C(0, 0)\)

3) त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल:

⇒ \(\frac{1}{2} \left| \frac{3}{2}(-6 - 0) + 9(0 + \frac{9}{4}) + 0(-\frac{9}{4} + 6) \right|\)

⇒ \(\frac{1}{2} \left| -9 + \frac{81}{4} \right|\)

⇒ \(\frac{1}{2} \left| \frac{-36 + 81}{4} \right| = \frac{1}{2} \times \frac{45}{4} = \frac{45}{8}\)

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

अवधारणा:

शीर्षों (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल\({1 \over 2} [x_1(y_2 - y_3) +x_2 (y_3 -y_1) + x_3 (y_1 -y_2)]\) है

गणना​:

तीसरा शीर्ष रेखा y = x + 3 पर स्थित है

माना तीसरा शीर्ष (k, k + 3) है

⇒ शीर्षों (2, 1), (3, -2), (k, k + 3) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल है

\({1 \over 2} [2(-2 - (k+3)) +3 (k+3 -1) + k (1 -(-2))]\)

⇒ \({1 \over 2} [2(-5 - k) +3 (k+2 ) + k (3))] = 5\)

⇒ \([-10 - 2k +3 k+6 + 3k] = 5\times 2\)

⇒ \([-4 +4 k] = 10\)

⇒ k = 14/4 = 7/2

⇒ तीसरा शीर्ष = (k, k + 3) = \(\left(\frac{7}{2}, \frac{13}{2}\right)\)

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

गणना

Δ का क्षेत्रफल

\(=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ x & y & 1 \\ -x & y & 1 \end{array}\right| \)

\( \Rightarrow\left|\frac{1}{2}(x y+x y)\right|=|x y| \)

⇒ क्षेत्रफल(Δ) = |xy| = |x(-2x² + 54)|

अधिकतम के लिए

⇒ \(\frac{d(\Delta)}{dx}=\left|\left(-6x^2+54\right)\right|\Rightarrow\frac{d\Delta}{dx}=0\text{ जब } x=3\)

त्रिभुज का अधिकतम क्षेत्रफल

⇒ क्षेत्रफल = 3(-2 × 9 + 54) = 108

इसलिए विकल्प (4) सही है।

अवधारणा :

माना कि A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) एक Δ ABC के शीर्ष हैं, फिर Δ ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&1\\ {{x_2}}&{{y_2}}&1\\ {{x_3}}&{{y_3}}&1 \end{array}} \right|\)

गणना:

दिया हुआ: A (4,4), B(3,- 16) और C(3,-2) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं

माना कि x1 = 4, y1 = 4, x2 = 3, y2 = - 16, x3 = 3 और y3 = - 2

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) एक Δ ABC के शीर्ष हैं तो ΔABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&1\\ {{x_2}}&{{y_2}}&1\\ {{x_3}}&{{y_3}}&1 \end{array}} \right|\)

\(⇒ A = \frac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{4}}&{{4}}&1\\ {{3}}&{{-16}}&1\\ {{3}}&{{-2}}&1 \end{array}} \right|\)

⇒ A = 7 वर्ग इकाइयाँ

इसलिए विकल्प B सही उत्तर है।

अवधारणा:

शीर्ष (x₁, y₁), (x₂, y₂) और (x₃, y₃), वाले एक त्रिभुज के क्षेत्रफल को निम्न समीकरण द्वारा ज्ञात किया जाएगा:

क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \left |\begin{array}{ccc} \rm x_1&\rm y_1&1\\\rm x_2&\rm y_2& 1\\\rm x_3&\rm y_3&1\end{array}\right|\)

गणना:

यहाँ, शीर्ष (3, 13), (5, -8), और (4, -2) हैं। 

∴ त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \left |\begin{array}{ccc} \rm 3&\rm 13&1\\\rm 5&\rm -8& 1\\\rm 4&\rm -2&1\end{array}\right|\)

\(=\frac12[3(-8+2)-13(5-4)+1(-10+32)]\)

\(=\frac12|-18-13+22|\)

\(=\frac12|-9|\)

\(=\frac92\) वर्ग इकाई

अतः विकल्प (4) सही उत्तर है। 

दिया गया है:

समकोण त्रिभुज का लम्ब = 8 सेमी

क्षेत्रफल = 20 वर्ग सेमी

उपयोग किया गया सूत्र:

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2) × लम्ब × आधार

गणना:

⇒ 20 वर्ग सेमी = (1/2) × 8 × आधार

⇒ आधार = 20/4

⇒ 5 सेमी

∴ आधार की लम्बाई 5 सेमी है।

अवधारणा:

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(1\over 2\) × आधार × ऊंचाई

ΔABC का क्षेत्रफल = \(\rm {1\over2} (a \cdot b\cdot sin \ C)\)

गणना:

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(1\over 2\) × आधार × ऊंचाई

= \(1\over 2\) × c × a sin∠CBA

= \(1\over 2\) × 10 cm × 4cm sin 30° 

= 5 × 4 × \(1\over 2\) (sin 30° = \(1\over 2\)के रूप में)

= 10 cm2

संकल्पना:

त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{4}{3}\) × (एक भुजा के रूप में माध्यिका द्वारा गठित त्रिभुज का क्षेत्र)

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल, जिसकी भुजा लंबाइयाँ a, b और c हैं:

\(\rm A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) , जहां 's' त्रिभुज का अर्ध-परिमाप है।

त्रिभुज का अर्ध-परिमाप = s = \(\rm \frac{a+b+c}{2}\)

गणना:

दिया हुआ: एक त्रिभुज के तीन माध्यिकाओं की लंबाई 9 cm, 12 cm और 15 cm है

माना कि एक भुजा के रूप में माध्यिका द्वारा गठित त्रिभुज का अर्ध-परिमाप है

∴ s = \(\rm \frac{9+12+15}{2} = 18\)

अब, एक भुजा के रूप में माध्यिका द्वारा गठित त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\rm \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

\(=\sqrt{18(18-9)(18-12)(18-15)} \\= \sqrt{18 \times 9\times 6\times 3} \\= 54\)

जैसा कि हम जानते हैं,

त्रिभुज का क्षेत्र = \(\frac{4}{3}\) × (एक भुजा के रूप में माध्यिका द्वारा गठित त्रिभुज का क्षेत्र)

= \(\rm = \frac{4}{3}\times 54 = 72 cm^2\)

अवधारणा:

यदि तीन बिंदु A = (x1, y1), B = (x2, y2) और C = (x3, y3) संरेखीय हैं तो Δ ABC का क्षेत्रफल शून्य है यानी \(\frac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&1\\ {{x_2}}&{{y_2}}&1\\ {{x_3}}&{{y_3}}&1 \end{array}} \right| = 0\)

गणना:

दिया हुआ: बिंदु (x, -1), (2, 1) और (4, 5) संरेखीय हैं

माना कि A = (x, - 1), B = (2, 1) और C = (4, 5)

Δ ABC का क्षेत्रफल ज्ञात करें

जैसा कि हम जानते हैं कि,यदि तीन बिंदु A = (x1, y1), B = (x2, y2) और C = (x3, y3) संरेखीय हैं तो Δ ABC का क्षेत्रफल इसके द्वारा दिया जाता है: \(\frac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&1\\ {{x_2}}&{{y_2}}&1\\ {{x_3}}&{{y_3}}&1 \end{array}} \right|\)

यहाँ x₁ = x, y₁ = - 1, x₂ = 2, y₂ = 1, x₃ = 4 और y₃ = 5

तो Δ ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x}}&{{-1}}&1\\ {{2}}&{{1}}&1\\ {{4}}&{{5}}&1 \end{array}} \right|\)

⇒ Δ ABC का क्षेत्रफल = 2 - 2x

∵ बिंदु A, B और C संरेखीय हैं ⇒ ΔABC का क्षेत्रफल = 0

⇒ 2 - 2x = 0

⇒ x = 1

इसलिए, विकल्प C सही उत्तर है।

संकल्पना:

शीर्ष A = (x1, y1), B = (x2, y2) और C = (x3, y3)  वाले त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

क्षेत्रफल = \(\rm \dfrac 1 2[x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)]\)

गणना:

माना कि, त्रिभुज ABC के शीर्ष A = (1, -3) = (x₁, y₁), B = (4, -3) = (x2, y2) और C = (-9, k) = (x3, y3) हैं। 

शीर्ष A = (x1, y1), B = (x2, y2) और C = (x3, y3) वाले त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

क्षेत्रफल = \(\rm \dfrac 1 2[x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)]\)

⇒ 15 = \(\rm \dfrac 1 2[1(-3-k)+4(k+3)-9(-3+3)]\)

⇒ 30 = \(\rm (-3-k+4k+12)\)

⇒ 30 = 3k + 9

⇒ k = 7

अतः यदि एक त्रिभुज के शीर्ष (1, -3), (4, -3) और (-9, k) हैं और इसका क्षेत्रफल 15 वर्ग इकाई है, तो k का मान 7 है। 

दिया गया है:

त्रिभुज की ऊँचाई (लंब) = 5 सेमी

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 20 सेमी²

प्रयुक्त सूत्र:

त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2) × b × h

b = त्रिभुज का आधार

h = त्रिभुज की ऊँचाई

गणना:

प्रश्न के अनुसार,

20 सेमी² = (1/2) × b × 5 सेमी

⇒ b = 40/5 = 8 सेमी

∴ त्रिभुज के आधार की अभीष्ट लंबाई 8 सेमी है।

अवधारणा :

माना कि A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) एक Δ ABC के शीर्ष हैं, फिर Δ ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&1\\ {{x_2}}&{{y_2}}&1\\ {{x_3}}&{{y_3}}&1 \end{array}} \right|\)

नोट: यदि बिंदु A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) संरेखीय हैं तो ΔABC का क्षेत्रफल = 0।

गणना:

यहाँ, हमें k के मूल्य का पता लगाना है जिसके लिए बिंदु A (- 2, 3), B (1, 2) और C (k, 0) संरेखीय हैं

माना कि x1 = - 2, y1 = 3, x2 = 1, y2 = 2, x3 = k और y3 = 0

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) एक Δ ABC के शीर्ष हैं तो ΔABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&1\\ {{x_2}}&{{y_2}}&1\\ {{x_3}}&{{y_3}}&1 \end{array}} \right|\)

\(⇒ A = \frac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{- 2}}&{{3}}&1\\ {{1}}&{{2}}&1\\ {{k}}&{{0}}&1 \end{array}} \right|\)

⇒ A = (k - 7)/2

∵ दिए गए बिंदु संरेखीय हैं।

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) एक Δ ABC के शीर्ष हैं तो ΔABC का क्षेत्रफल = 0।

⇒ A = (k - 7)/2 = 0

⇒ k = 7

इसलिए विकल्प C सही उत्तर है।

प्रयुक्त सूत्र -

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = (1/2) × आधार × ऊँचाई

त्रिभुज ABC में, यदि दो भुजाएँ AB और BC हैं और दो भुजाओं के बीच का कोण θ है।

∴ त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = (1/2) × AB × AC × sinθ

दिया है -

AB = 14 सेमी, BC = 15 सेमी, ∠B = 30°, BC = 20 सेमी

अन्य त्रिभुज ABC में, BC = 20 cm 

हल -

⇒ त्रिभुज का क्षेत्रफल दोनों स्थितियों में समान है। इसलिए,

⇒ (1/2) × AB × BC × sin30° = (1/2) × BC × AD

⇒ 15 × 14 × (1/2) = 20 × AD

⇒ AD = 5.25 सेमी

∴ AD = 5.25 सेमी

संकल्पना:

माना कि A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) एक Δ ABC के शीर्ष हैं, तो Δ ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&1\\ {{x_2}}&{{y_2}}&1\\ {{x_3}}&{{y_3}}&1 \end{array}} \right|\)

गणना:

दिया गया है: P(0,0), Q(2,5) और R(-3,4) त्रिभुज PQR के शीर्ष हैं। 

माना कि x1 = 0, y1 = 0, x2 = 2, y2 = 5, x3 = - 3 और y3 = 4 है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, यदिA (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3), Δ ABC के शीर्ष हैं, तो Δ ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&1\\ {{x_2}}&{{y_2}}&1\\ {{x_3}}&{{y_3}}&1 \end{array}} \right|\)

\(\Rightarrow A = \frac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{0}}&{{0}}&1\\ {{2}}&{{5}}&1\\ {{-3}}&{{4}}&1 \end{array}} \right|\)

⇒ A = 23/2

अतः विकल्प C सही उत्तर है।