Hyperbola MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Hyperbola - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]
Last updated on Mar 16, 2025
Latest Hyperbola MCQ Objective Questions
Hyperbola Question 1:
একটি অধিবৃত্ত যার অনুপ্রস্থ অক্ষটি \(\dfrac {x^{2}}{3} + \dfrac {y^{2}}{4} = 4\) শঙ্কুটির প্রধান অক্ষ বরাবর অবস্থিত এবং এর শীর্ষবিন্দুগুলি এই শঙ্কুটির কেন্দ্রবিন্দুগুলিতে অবস্থিত। যদি অধিবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা \(\dfrac {3}{2}\) হয়, তাহলে নিম্নলিখিত কোন বিন্দুটি এটির উপর অবস্থিত নয়?
Answer (Detailed Solution Below)
Hyperbola Question 1 Detailed Solution
গণনা
প্রদত্ত
\(\dfrac {x^{2}}{12} + \dfrac {y^{2}}{16} = 1\)
\(e = \sqrt {1 - \dfrac {12}{16}} = \dfrac {1}{2}\)
কেন্দ্রবিন্দু \((0, \pm be)\) ⇒ \((0, 2)\) এবং \((0, -2)\)
সুতরাং, অধিবৃত্তের অনুপ্রস্থ অক্ষ \(= 2b = 4\)
\(\Rightarrow b = 2\)
এবং \(a^{2} = b^{2} (e^{2} - 1)\)
\(\Rightarrow a^{2} = 4\left (\dfrac {9}{4} - 1\right )\)
\(\Rightarrow a^{2} = 5\)
\(\therefore\) এর সমীকরণ হল \(\dfrac {x^{2}}{5} - \dfrac {y^{2}}{4} =- 1\)
\(\left(5,2\sqrt3\right)\) উপরোক্ত সমীকরণকে প্রমাণিত করে না।
অতএব, বিকল্প 3 সঠিক।
Hyperbola Question 2:
পরাবৃত্ত \(\rm \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) পরাবৃত্তের সকল উল্লম্ব জ্যা-এর গড় দৈর্ঘ্য হল
Answer (Detailed Solution Below)
Hyperbola Question 2 Detailed Solution
Hyperbola Question 3:
P(√2, √3) বিন্দুগামী একটি পরাবৃত্তের নাভিদ্বয় (±2, 0) হলে, P বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ হল
Answer (Detailed Solution Below)
Hyperbola Question 3 Detailed Solution
Hyperbola Question 4:
পরাবৃত্ত \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{2 a^2}\) = 1-এর একটি পরিবর্তনশীল জ্যা PQ, x cos θ + y sin θ = p দ্বারা প্রকাশিত হয়, যা মূলবিন্দুতে সমকোণ উৎপন্ন করে। এই জ্যা সর্বদা একটি বৃত্তকে স্পর্শ করবে যার ব্যাসার্ধ হবে
Answer (Detailed Solution Below)
Hyperbola Question 4 Detailed Solution
গণনা:
প্রদত্ত, \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{2 a^2}\) = 1
এখন, জ্যাটি প্রদত্ত x cos θ + y sin θ = p
⇒ \(\frac{x \cos θ + y \sin θ}{p}=1\)
∴ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{2 a^2}\) = 1 = (1)2
⇒ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{2 a^2}\) = \(\left(\frac{x \cos θ + y \sin θ}{p}\right)^2\)
⇒ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{2 a^2}\) = \(\frac{x^2\cos^2θ}{p^2}+\frac{y^2\sin^2θ}{p^2}+\frac{2xy\sinθ\cosθ}{p^2}\)
⇒ \(x^2\left(\frac{1}{a^2}-\frac{\cos^2θ}{p^2}\right)\) + \(y^2\left(-\frac{1}{2a^2}-\frac{\sin^2θ}{p^2}\right)\) - \(\frac{2xy\sinθ\cosθ}{p^2}\) = 0
এটি মূলবিন্দুগামী এবং পরিবর্তনশীল জ্যা ও পরাবৃত্তের ছেদবিন্দুগামী একজোড়া সরলরেখার সমীকরণ।
যেহেতু, এই জোড়া সরলরেখা পরাবৃত্তের কেন্দ্রে সমকোণ উৎপন্ন করে,
∴ x2-এর সহগ + y2-এর সহগ = 0।
⇒ \(\left(\frac{1}{a^2}-\frac{\cos^2θ}{p^2}\right)\) + \(\left(-\frac{1}{2a^2}-\frac{\sin^2θ}{p^2}\right)\) = 0
⇒ \(\frac{1}{2a^2}-\frac{1}{p^2}(\cos^2θ+\sin^2θ)\) = 0
⇒ \(\frac{1}{2a^2}\) = \(\frac{1}{p^2}\)
⇒ p2 = 2a2
⇒ p = \(a\sqrt{2}\)
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ হবে \(a\sqrt{2}\)।
সঠিক উত্তর বিকল্প 3.
Top Hyperbola MCQ Objective Questions
Hyperbola Question 5:
একটি অধিবৃত্ত যার অনুপ্রস্থ অক্ষটি \(\dfrac {x^{2}}{3} + \dfrac {y^{2}}{4} = 4\) শঙ্কুটির প্রধান অক্ষ বরাবর অবস্থিত এবং এর শীর্ষবিন্দুগুলি এই শঙ্কুটির কেন্দ্রবিন্দুগুলিতে অবস্থিত। যদি অধিবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা \(\dfrac {3}{2}\) হয়, তাহলে নিম্নলিখিত কোন বিন্দুটি এটির উপর অবস্থিত নয়?
Answer (Detailed Solution Below)
Hyperbola Question 5 Detailed Solution
গণনা
প্রদত্ত
\(\dfrac {x^{2}}{12} + \dfrac {y^{2}}{16} = 1\)
\(e = \sqrt {1 - \dfrac {12}{16}} = \dfrac {1}{2}\)
কেন্দ্রবিন্দু \((0, \pm be)\) ⇒ \((0, 2)\) এবং \((0, -2)\)
সুতরাং, অধিবৃত্তের অনুপ্রস্থ অক্ষ \(= 2b = 4\)
\(\Rightarrow b = 2\)
এবং \(a^{2} = b^{2} (e^{2} - 1)\)
\(\Rightarrow a^{2} = 4\left (\dfrac {9}{4} - 1\right )\)
\(\Rightarrow a^{2} = 5\)
\(\therefore\) এর সমীকরণ হল \(\dfrac {x^{2}}{5} - \dfrac {y^{2}}{4} =- 1\)
\(\left(5,2\sqrt3\right)\) উপরোক্ত সমীকরণকে প্রমাণিত করে না।
অতএব, বিকল্প 3 সঠিক।
Hyperbola Question 6:
পরাবৃত্ত \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{2 a^2}\) = 1-এর একটি পরিবর্তনশীল জ্যা PQ, x cos θ + y sin θ = p দ্বারা প্রকাশিত হয়, যা মূলবিন্দুতে সমকোণ উৎপন্ন করে। এই জ্যা সর্বদা একটি বৃত্তকে স্পর্শ করবে যার ব্যাসার্ধ হবে
Answer (Detailed Solution Below)
Hyperbola Question 6 Detailed Solution
গণনা:
প্রদত্ত, \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{2 a^2}\) = 1
এখন, জ্যাটি প্রদত্ত x cos θ + y sin θ = p
⇒ \(\frac{x \cos θ + y \sin θ}{p}=1\)
∴ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{2 a^2}\) = 1 = (1)2
⇒ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{2 a^2}\) = \(\left(\frac{x \cos θ + y \sin θ}{p}\right)^2\)
⇒ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{2 a^2}\) = \(\frac{x^2\cos^2θ}{p^2}+\frac{y^2\sin^2θ}{p^2}+\frac{2xy\sinθ\cosθ}{p^2}\)
⇒ \(x^2\left(\frac{1}{a^2}-\frac{\cos^2θ}{p^2}\right)\) + \(y^2\left(-\frac{1}{2a^2}-\frac{\sin^2θ}{p^2}\right)\) - \(\frac{2xy\sinθ\cosθ}{p^2}\) = 0
এটি মূলবিন্দুগামী এবং পরিবর্তনশীল জ্যা ও পরাবৃত্তের ছেদবিন্দুগামী একজোড়া সরলরেখার সমীকরণ।
যেহেতু, এই জোড়া সরলরেখা পরাবৃত্তের কেন্দ্রে সমকোণ উৎপন্ন করে,
∴ x2-এর সহগ + y2-এর সহগ = 0।
⇒ \(\left(\frac{1}{a^2}-\frac{\cos^2θ}{p^2}\right)\) + \(\left(-\frac{1}{2a^2}-\frac{\sin^2θ}{p^2}\right)\) = 0
⇒ \(\frac{1}{2a^2}-\frac{1}{p^2}(\cos^2θ+\sin^2θ)\) = 0
⇒ \(\frac{1}{2a^2}\) = \(\frac{1}{p^2}\)
⇒ p2 = 2a2
⇒ p = \(a\sqrt{2}\)
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ হবে \(a\sqrt{2}\)।
সঠিক উত্তর বিকল্প 3.
Hyperbola Question 7:
পরাবৃত্ত \(\rm \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) পরাবৃত্তের সকল উল্লম্ব জ্যা-এর গড় দৈর্ঘ্য হল
Answer (Detailed Solution Below)
Hyperbola Question 7 Detailed Solution
Hyperbola Question 8:
P(√2, √3) বিন্দুগামী একটি পরাবৃত্তের নাভিদ্বয় (±2, 0) হলে, P বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ হল