Evaluation of Determinants MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Evaluation of Determinants - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

ধারণা:

ধরি, 2, b, c সংখ্যা একটি সমান্তর প্রগতি 

 \(​b =\frac{{2 + c}}{2} \;\;\;\;\; \ldots \left( 1 \right) \) 

গণনা

প্রদত্ত: det (A) ϵ [2, 16]

\(|A| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 2&b&c\\ 4&{{b^2}}&{{c^2}} \end{array}} \right|\)

কলাম অপারেশন প্রয়োগ করে, C₁ → C₁ - C₂ এবং C₂ → C₂ - C₃

\(⇒ |A| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&1\\ 2-b&b-c&c\\ 4-b^2&{{b^2-c^2}}&{{c^2}} \end{array}} \right|\)

(2-b) এবং (b -c) সাধারণ নিয়ে,

\(⇒ |A| =(2-b) (b -c) \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&1\\ 1&1&c\\ 2+b&{{b+c}}&{{c^2}} \end{array}} \right|\)

⇒ |A| =(2 - b) (b - c) (b + c - 2 - b)

⇒ |A| =(2- b) (b - c) (c - 2)

⇒ |A| =(2- \(\frac{{2 + c}}{2} \)) (\(\frac{{2 + c}}{2} \) - c) (c - 2)

⇒ |A| = (c - 2)3 /4 ϵ [2, 16]

⇒ (c - 2)3 ϵ [8, 64] 

⇒ c ϵ [4, 6].

সুতরাং, সঠিক উত্তর হল বিকল্প 4

ধারণা:

ম্যাট্রিক্সের গুণফলের নির্ণায়ক ম্যাট্রিক্সগুলির নির্ণায়কগুলির গুণফলের সমান।

অর্থাৎ, |AB| = |A| |B|.

গণনা:

প্রদত্ত \(\rm A=\begin{bmatrix} 1& 3\\ 5& 2\end{bmatrix}\) এবং \(\rm B=\begin{bmatrix} 3&2\\ 1& 3\end{bmatrix}\)

এখন, |AB| = |A| |B| = (2 - 15)(9 - 2) = -91.

Additional Information:

AB ম্যাট্রিক্সের গুণফল হবে \(\rm \begin{bmatrix} 1& 3\\ 5& 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3& 2\\ 1& 3\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 3+3& 2+9\\ 15+2& 10+6\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 6& 11\\ 17& 16\end{bmatrix}\).

এবং |AB| = 96 - 187 = -91

গণনা:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + x}&1&1\\ 1&{1 + y}&1\\ 1&1&{1 + z} \end{array}} \right| = 0\)

R₁ = R₁ - R₂

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x}&-y&0\\ 1&{1 + y}&1\\ 1&1&{1 + z} \end{array}} \right| = 0\)

R₂ = R₂ - R₃

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x}&-y&0\\ 0&{y}&-z\\ 1&1&{1 + z} \end{array}} \right| = 0\)

এখন R₁ অনুযায়ী প্রসারিত করে আমরা পাই

⇒ x [y(1 + z) - (-z)] - (-y) [0 - (-z)] + 0 = 0

⇒ x [y + yz + z] + y [z] = 0

⇒ xy + xyz + xz + yz = 0

xyz দ্বারা ভাগ করে

⇒ \(\rm {1\over z}+ 1 +{1\over y}+ {1\over x} = 0\)

⇒ \(\boldsymbol{\rm x^{-1}+ y^{-1}+ z^{-1} = -1}\)

গণনা:

m sinθ + n cosθ = sin θ \(\rm \left[ \begin{array}{cc} 2 &0\\ 0&1\end{array}\right]\) + cos θ \(\rm \left[ \begin{array}{cc} 0 &1\\ -2&0\end{array}\right]\)

= \(\rm \left[ \begin{array}{cc} 2\sin θ &0\\ 0&\sin θ\end{array}\right]\) + \(\rm \left[ \begin{array}{cc} 0 &\cosθ\\ -2\cosθ&0\end{array}\right]\)

= \(\rm \left[\begin{array}{cc} 2\sin θ &\cos θ\\ -2\cos θ&\sin θ\end{array}\right]\)

এখন,

|m sinθ + n cosθ| = \(\rm \left| \begin{array}{cc} 2\sin θ &\cos θ\\ -2\cos θ&\sin θ\end{array}\right|\)

= \(2\sin^2\theta \) + \(\rm 2 cos^2\theta \)

= 2( \(\sin ^2 \theta +\cos^2\theta \) )

= 2

সুতরাং, বিকল্প (4) সঠিক।

ধারণা:

ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের নিয়মাবলী:

• যদি কোন নির্ণায়কের যেকোনো সারি বা স্তম্ভের প্রতিটি উপাদান 0 হয়, তাহলে নির্ণায়কের মান শূন্য হবে।
• যেকোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স A-এর জন্য, |A| = |AT|।
• যদি আমরা কোন ম্যাট্রিক্সের দুটি সারি (স্তম্ভ) পরস্পর বিনিময় করি, তাহলে নির্ণায়ক -1 দিয়ে গুণিত হয়।
• যদি কোন ম্যাট্রিক্সের দুটি সারি (স্তম্ভ) একই হয়, তাহলে নির্ণায়কের মান শূন্য হবে।

গণনা:

\(\begin{vmatrix} \rm x & \rm y & \rm z\\ \rm a & \rm b & \rm c \\ \rm x + a & \rm y+b & \rm z+c \end{vmatrix}\)

R₁ → R₁ + R₂ প্রয়োগ করলে

= \(\begin{vmatrix} \rm x +a & \rm y +b & \rm z+c\\ \rm a & \rm b & \rm c \\ \rm x + a & \rm y+b & \rm z+c \end{vmatrix}\)

দেখা যাচ্ছে যে, প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের প্রথম এবং তৃতীয় সারি সমান।

আমরা জানি, যদি কোন ম্যাট্রিক্সের দুটি সারি (স্তম্ভ) একই হয়, তাহলে নির্ণায়কের মান শূন্য হবে।

\(\begin{vmatrix} \rm x & \rm y & \rm z\\ \rm a & \rm b & \rm c \\ \rm x + a & \rm y+b & \rm z+c \end{vmatrix}\) = 0

ধারণা:

গুণোত্তর প্রগতি​:

• একটি গুণোত্তর প্রগতির যেকোনো দুটি পরপর পদের মধ্যে অনুপাত একটি নির্দিষ্ট ধ্রুবক, যাকে প্রগতির সাধারণ অনুপাত (r) বলা হয়।

লগারিদম:

• log a - log b = \(\rm \log {a\over b}\)

নির্ধারক:

• সারি/কলামগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ নির্ধারকের মানকে প্রভাবিত করে না।
• যদি একটি প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের দুটি সারি/কলাম বিনিময় করা হয়, তাহলে নির্ধারকের মান -1 দ্বারা গুণিত হয়।
• যদি একটি প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের একটি সারি/কলামকে একটি স্কেলার k দ্বারা গুণ করা হয়, তাহলে নির্ধারকের মানটিও k দ্বারা গুণিত হয়।

গণনা:

ধরি, প্রদত্ত গুণোত্তর প্রগতির সাধারণ অনুপাত r

ধরি, D = \(\begin{vmatrix} \rm \ln a_1 & \rm \ln a_2 & \rm \ln a_3 \\ \rm \ln a_4 & \rm \ln a_5 & \rm \ln a_6 \\ \rm \ln a_7 & \rm \ln a_8 & \rm \ln a_9 \end{vmatrix}\) 

C1 → C1 - C2 এবং C2 → C2 - C3 ব্যবহার করে পাই:

⇒ D = \(\begin{vmatrix} \rm \ln a_1 -\ln a_2& \rm \ln a_2 -\ln a_3& \rm \ln a_3 \\ \rm \ln a_4 -\ln a_5& \rm \ln a_5 -\ln a_6& \rm \ln a_6 \\ \rm \ln a_7-\ln a_8 & \rm \ln a_8-\ln a_9 & \rm \ln a_9 \end{vmatrix}\)

⇒ D = \(\begin{vmatrix} \rm \ln {a_1 \over a_2}& \rm \ln {a_2 \over a_3}& \rm \ln a_3 \\ \rm \ln {a_4 \over a_5}& \rm \ln {a_5 \over a_6}& \rm \ln a_6 \\ \rm \ln {a_7 \over a_8} & \rm \ln {a_8 \over a_9} & \rm \ln a_9 \end{vmatrix}\)

⇒ D = \(\begin{vmatrix} \rm \ln r& \rm \ln r& \rm \ln a_3 \\ \rm \ln r& \rm \ln r& \rm \ln a_6 \\ \rm \ln r & \rm \ln r & \rm \ln a_9 \end{vmatrix}\)

C₁ → C₁ - C₂ ব্যবহার করে পাই:

⇒ D = \(\begin{vmatrix} 0& \rm \ln r& \rm \ln a_3 \\0& \rm \ln r& \rm \ln a_6 \\ 0 & \rm \ln r & \rm \ln a_9 \end{vmatrix}\)

C₁ বরাবর প্রসারিত করে পাই:

⇒ D = 0 

ধারণা:

ম্যাট্রিক্সের গুণফলের নির্ণায়ক ম্যাট্রিক্সগুলির নির্ণায়কগুলির গুণফলের সমান।

অর্থাৎ, |AB| = |A| |B|.

গণনা:

প্রদত্ত \(\rm A=\begin{bmatrix} 1& 3\\ 5& 2\end{bmatrix}\) এবং \(\rm B=\begin{bmatrix} 3&2\\ 1& 3\end{bmatrix}\)

এখন, |AB| = |A| |B| = (2 - 15)(9 - 2) = -91.

Additional Information:

AB ম্যাট্রিক্সের গুণফল হবে \(\rm \begin{bmatrix} 1& 3\\ 5& 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3& 2\\ 1& 3\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 3+3& 2+9\\ 15+2& 10+6\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 6& 11\\ 17& 16\end{bmatrix}\).

এবং |AB| = 96 - 187 = -91

গণনা:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + x}&1&1\\ 1&{1 + y}&1\\ 1&1&{1 + z} \end{array}} \right| = 0\)

R₁ = R₁ - R₂

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x}&-y&0\\ 1&{1 + y}&1\\ 1&1&{1 + z} \end{array}} \right| = 0\)

R₂ = R₂ - R₃

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x}&-y&0\\ 0&{y}&-z\\ 1&1&{1 + z} \end{array}} \right| = 0\)

এখন R₁ অনুযায়ী প্রসারিত করে আমরা পাই

⇒ x [y(1 + z) - (-z)] - (-y) [0 - (-z)] + 0 = 0

⇒ x [y + yz + z] + y [z] = 0

⇒ xy + xyz + xz + yz = 0

xyz দ্বারা ভাগ করে

⇒ \(\rm {1\over z}+ 1 +{1\over y}+ {1\over x} = 0\)

⇒ \(\boldsymbol{\rm x^{-1}+ y^{-1}+ z^{-1} = -1}\)

ধারণা:

• যখন নির্ধারক অপারেশন দুটি ম্যাট্রিসের গুণফলের জন্য প্রয়োগ করা হয় তখন নির্ধারকটি বিতরণ করা হবে।

|XY| = |X||Y|

এছাড়াও,

|kX| = kⁿ|A|

যেখানে n হল নির্ধারকের ক্রম এবং k হল যেকোনো ধ্রুবক।

গণনা

প্রদত্ত:

|A| = -1, |B| = 3

⇒ |3AB| = 3³ |AB| = 27 |A||B|

⇒ |3AB| = 27 × (-1) × 3 = - 81 [যেহেতু |KA| = Kⁿ|A|]

সুতরাং, সঠিক উত্তর হল বিকল্প 2

গণনা:

m sinθ + n cosθ = sin θ \(\rm \left[ \begin{array}{cc} 2 &0\\ 0&1\end{array}\right]\) + cos θ \(\rm \left[ \begin{array}{cc} 0 &1\\ -2&0\end{array}\right]\)

= \(\rm \left[ \begin{array}{cc} 2\sin θ &0\\ 0&\sin θ\end{array}\right]\) + \(\rm \left[ \begin{array}{cc} 0 &\cosθ\\ -2\cosθ&0\end{array}\right]\)

= \(\rm \left[\begin{array}{cc} 2\sin θ &\cos θ\\ -2\cos θ&\sin θ\end{array}\right]\)

এখন,

|m sinθ + n cosθ| = \(\rm \left| \begin{array}{cc} 2\sin θ &\cos θ\\ -2\cos θ&\sin θ\end{array}\right|\)

= \(2\sin^2\theta \) + \(\rm 2 cos^2\theta \)

= 2( \(\sin ^2 \theta +\cos^2\theta \) )

= 2

সুতরাং, বিকল্প (4) সঠিক।

ধারণা:

ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের নিয়মাবলী:

• যদি কোন নির্ণায়কের যেকোনো সারি বা স্তম্ভের প্রতিটি উপাদান 0 হয়, তাহলে নির্ণায়কের মান শূন্য হবে।
• যেকোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স A-এর জন্য, |A| = |AT|।
• যদি আমরা কোন ম্যাট্রিক্সের দুটি সারি (স্তম্ভ) পরস্পর বিনিময় করি, তাহলে নির্ণায়ক -1 দিয়ে গুণিত হয়।
• যদি কোন ম্যাট্রিক্সের দুটি সারি (স্তম্ভ) একই হয়, তাহলে নির্ণায়কের মান শূন্য হবে।

গণনা:

\(\begin{vmatrix} \rm x & \rm y & \rm z\\ \rm a & \rm b & \rm c \\ \rm x + a & \rm y+b & \rm z+c \end{vmatrix}\)

R₁ → R₁ + R₂ প্রয়োগ করলে

= \(\begin{vmatrix} \rm x +a & \rm y +b & \rm z+c\\ \rm a & \rm b & \rm c \\ \rm x + a & \rm y+b & \rm z+c \end{vmatrix}\)

দেখা যাচ্ছে যে, প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের প্রথম এবং তৃতীয় সারি সমান।

আমরা জানি, যদি কোন ম্যাট্রিক্সের দুটি সারি (স্তম্ভ) একই হয়, তাহলে নির্ণায়কের মান শূন্য হবে।

\(\begin{vmatrix} \rm x & \rm y & \rm z\\ \rm a & \rm b & \rm c \\ \rm x + a & \rm y+b & \rm z+c \end{vmatrix}\) = 0