If a2 - bc = α, b2 - ac = β, c2 - ab = γ, then what is \(\rm \frac{a \alpha+b \beta+c \gamma}{(a+b+c)(\alpha+\beta+\gamma)}\) equal to ?

Formula used:

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b +c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac)

Calculation:

a2 - bc = α  ] × a

a3 - abc = aα        ------(1)

b2 - ac = β  ] × b

b3 - abc = bβ        ------(2)

c2 - ab = γ  ] × c

c3 - abc = cγ        ------(3)

Adding equation (1),(2) and (3)

a3 + b3 + c3 - 3abc = aα + bβ + cγ  

a2 - bc + b2 - ac + c2 - ab = α +  β +  γ

⇒ \(\rm \frac{a \alpha+b \beta+c \gamma}{(a+b+c)(\alpha+\beta+\gamma)}\) = \(\frac{a^3 + b^3 +c^3 -3abc}{(a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 - ab - bc -ca)}\)

∴ \(\frac{a^3 + b^3 +c^3 -3abc}{a^3 + b^3 +c^3 -3abc}\) = 1