\(\displaystyle\lim_{\rm x\rightarrow 0} \rm x^2 \ sin \left(\dfrac{1}{x}\right)\) किसके बराबर है?

संकल्पना:

सैंडविच प्रमेय:

माना कि f(x), g(x) और h(x) एक सामान्य डोमेन D वाली तीन वास्तविक संख्याएँ हैं जिससे बिंदु c वाले कुछ अंतराल में g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ∀ x है। तो, 

यदि \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{h}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{L\;then\;}}\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{L}}\) है। 

गणना:

निम्न का मान ज्ञात करने के लिए: \(\displaystyle\lim_{\rm x\rightarrow 0} \rm x^2 \ sin \left(\dfrac{1}{x}\right)\) का मान 

चूँकि हम जानते हैं, \(\rm -1 \leq \sin (\dfrac{1}{x}) \leq 1\)

x² से गुणा करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

\(\Rightarrow \rm -x^2 \leq x^2\sin (\dfrac{1}{x}) \leq x^2\)

\(\Rightarrow \displaystyle\lim_{\rm x\rightarrow 0} \rm (-x^2) \leq \displaystyle\lim_{\rm x\rightarrow 0} \rm x^2 \ sin \left(\dfrac{1}{x}\right) \leq \displaystyle\lim_{\rm x\rightarrow 0} \rm x^2\)

\(\Rightarrow 0 \leq \displaystyle\lim_{\rm x\rightarrow 0} \rm x^2 \ sin \left(\dfrac{1}{x}\right) \leq 0\)

∴ \(\displaystyle\lim_{\rm x\rightarrow 0} \rm x^2 \ sin \left(\dfrac{1}{x}\right)\)= 0