\(\rm \displaystyle \lim_{x \to 0} {x^2}{e^{\sin \left( {\tfrac{1}{x}} \right)}}\) का मान क्या है?

संकल्पना:

स्क्वीज़ प्रमेय (सैंडविच प्रमेय): इसका प्रयोग एक फलन पर तब किया जाता है जहाँ इसका अवकलज करना लगभग असंभव होगा। 

• स्क्वीज़ प्रमेय बताता है कि यदि हम फलन को इस प्रकार परिभाषित करते हैं जिससे h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) है और यदि \(\rm \displaystyle \lim_{x \to a}h(x) = \lim_{x \to a}g(x) = L\), है, तो \(\rm \displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = L\)  है। 

गणना:

हम जानते हैं कि -1 ≤ sin θ ≤ 1.

⇒ -1 ≤ \(\rm \sin \left(\dfrac1x\right)\) ≤ 1

चूँकि, e^x, x के सभी वास्तविक मानों के लिए एक निरंतर वर्धमान फलन है, हम कह सकते हैं कि:

⇒ e^-1 ≤ \(\rm e^{\sin \left(\tfrac1x\right)}\) ≤ e¹

साथ ही, चूँकि x² ≥ 0 है, इसलिए हम कह सकते हैं कि:

⇒ x²e-1 ≤ \(\rm x^2e^{\sin \left(\tfrac1x\right)}\) ≤ x²e1

⇒ \(\rm \dfrac{x^2}{e}\leq x^2e^{\sin \left(\tfrac1x\right)}\leq x^2e\)

इसलिए, हम h(x) = \(\rm \dfrac{x^2}{e}\), f(x) = \(\rm \displaystyle \lim_{x \to 0} {x^2}{e^{\sin \left( {\tfrac{1}{x}} \right)}}\) और g(x) = x²e लेते हैं। 

अब, \(\rm \displaystyle \lim_{x \to 0}h(x) = \lim_{x \to 0}\dfrac{x^2}{e}=0\).

और \(\rm \displaystyle \lim_{x \to 0}g(x) = \lim_{x \to 0}x^2e=0\).

चूँकि, \(\rm \displaystyle \lim_{x \to 0}h(x) =\lim_{x \to 0}g(x) =0\)  है, इसलिए हमारे पास \(\rm \displaystyle \lim_{x \to 0}f(x) =0\) होना चाहिए। 

अतः \(\rm \displaystyle \lim_{x \to 0} {x^2}{e^{\sin \left( {\tfrac{1}{x}} \right)}}=0\).