Question
Download Solution PDFकिसी त्रिभुज की परिमिति, इसके अंतर्वृत की त्रिज्या तथा किसी संख्या का गुणनफल उस त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है। संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
- त्रिभुज का अंतर्वृत वह वृत्त होता है, जो त्रिभुज द्वारा अंतर्निहित होता है।
- त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × आधार × ऊँचाई
गणना:
एक त्रिभुज ABC पर विचार कीजिए जिसके अंतर्वृत की त्रिज्या r है।
∴ OF = OH = OG = r
Δ ABO पर विचार कीजिए।
यहाँ OF, AB पर लंबवत है (AB वृत्त की स्पर्श रेखा है)
Δ ABO का क्षेत्रफल = \(\rm \frac{1}{2}× OF× AB\)
⇒ Δ ABO का क्षेत्रफल = \(\rm \frac{1}{2}× r× AB\)
उसी प्रकार
Δ ACO का क्षेत्रफल = \(\rm \frac{1}{2}× OH× AC\)
⇒ Δ ABO का क्षेत्रफल = \(\rm \frac{1}{2}× r× AC\)
उसी प्रकार,
Δ OBC का क्षेत्रफल = \(\rm \frac{1}{2}× OG× BC\)
⇒ Δ ABO का क्षेत्रफल = \(\rm \frac{1}{2}× r× BC\)
Δ ABC का क्षेत्रफल = Δ ABO का क्षेत्रफल + Δ ACO का क्षेत्रफल + Δ OBC का क्षेत्रफल
⇒ Δ ABC का क्षेत्रफल = \(\rm \frac{1}{2}× r× AB\) + \(\rm \frac{1}{2}× r× AC\) + \(\rm \frac{1}{2}× r× BC\)
⇒ Δ ABC का क्षेत्रफल = \(\rm \frac{1}{2}× r× \left(AB +BC+AC\right)\)
⇒ Δ ABC का क्षेत्रफल = \(\rm \frac{1}{2}× r\) × अर्ध-परिमाप
अतः संख्या 1/2 है।
Last updated on Jun 5, 2025
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