किसी निकाय का निवेश x(t) और निर्गत y(t) निम्न प्रकार संबंधित हैं:

\(y(t) = \int\limits_{ - \infty }^t {x\left( t \right)} \cos \left( {4t} \right)dt\)

यह निकाय है:

1. समय-अचर और समय-चर निकाय:

यदि किसी निकाय में, निवेश में विलम्ब के कारण निर्गत में समान विलम्ब होता है, तो ऐसे निकाय को समय-अचर निकाय कहा जाता है। अन्यथा यह समय-चर निकाय होगा।

2. स्थायी और अस्थायी निकाय:

निकाया को केवल तभी स्थायी माना जाता है जब निवेश के लिए निर्गत परिबद्ध हो।

यदि परिबद्ध निवेश के लिए निर्गत अपरिबद्ध है, तो निकाय को अस्थायी कहा जाता है।

शर्त:

\(\mathop \smallint \nolimits_{ - \infty }^\infty \left| {h\left( t \right)} \right|dt < \infty \) या परिमित।

जहाँ h(t) निकाय की आवेग प्रतिक्रिया है।

हल:

दिया गया है, \(y\left( t \right) = \mathop \smallint \nolimits_{ - \infty }^t x\left( t \right)\cos \left( {4t} \right)d\)

समय-अचरता की जाँच करें:

चूँकि y’(t) ≠ y (t - t₀) इसलिए यह समय-चर है।

स्थायित्व:

मान लीजिये निवेश x(t) = cos 4t

\(y\left( t \right) = \mathop \smallint \nolimits_{ - \infty }^t {\cos ^2}4\tau dt = \mathop \smallint \nolimits_{ - \infty }^t \left( {\frac{{1 + \cos 8\tau }}{2}} \right)d\tau \;\)

\(y\left( t \right) = [\left. {\frac{1}{2}t\tau } \right|_{ - \infty }^t + \frac{1}{2}\sin \left. {\frac{{8\tau }}{8}} \right|_{ - \infty }^t\)

चूँकि y(t) → ∞, यह P का अपरिबद्ध है, इसलिए यह एक अस्थायी निकाय है।

चाल:

→ स्थायित्व की जाँच करें: कम से कम एक निवेश मान ज्ञात करने का प्रयास करें जिसके लिए निर्गत अपरिबद्ध होगा।

जैसे \(y\left( t \right) = \frac{{{e^x}\left( {t - 5} \right)}}{{t - 5}}\) t = 5 पर y(t) → ∞ - अपरिबद्ध।

→ प्रसरण की जाँच करें: यदि निवेश का कोई गुणांक समय (t) का फलन है, तो यह समय-चर होगा।

जैसे tx(t), e^tx(t), sin t x(t)