निम्नलिखित सेट (i) से (iv) में सही कथन है/हैं

(i) सरल आवर्त गति भोग रहे एक द्विपरमाणुक अणु का विस्थापन यदि q है तो अणु की स्थितिज ऊर्जा q के समानुपाती होती है।

(ii) HCl की कपन आवृत्ति \((\overline v )\) यदि 2990 cm^-1 है तो इसी शून्य बिंदु ऊर्जा 1495 cm^-1 होगी।

(iii) O-¹H (X₁), O-²H (X₂), तथा O-³H (X₃), के लिए कंपनीय आवृत्ति का सही क्रम X₁ > X₂ > X₃ है।

(iv) एक द्विपरमाणुक अणु के लिए मूल कंपनीय संक्रामी 1880 cm^-1 है इसका प्रथम अधिस्वरक 940 cm^-1 पर होगा (अप्रसंवादिता स्थिरांक को शून्य मान लीजिए)

अवधारणा:

• सरल आवर्त दोलन आवधिक गति दिखाता है और जब इसकी संतुलन स्थिति से विस्थापित होता है तो यह गति के विपरीत दिशा में कुछ पुनर्स्थापना बल, F का अनुभव करता है जिसे इस प्रकार दिया गया है:

 \(F=-Kx \) (x विस्थापन है)

• प्रतिष्ठित रूप से, दोलनों की आवृत्ति इस प्रकार दी जाती है:

 \(v=\frac{1}{2\Pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\;\)

           जहां, K बल स्थिरांक है और u दोलक का द्रव्यमान है

• हालाँकि, क्वांटम सरल आवर्त दोलक में अलग-अलग तरंग कार्यों के अनुरूप अलग-अलग अनुमत ऊर्जा स्तर होते हैं। इन अनुमत स्तरों की ऊर्जा का सामान्य सूत्र है:

         \(\Delta E= ( v+\frac{1}{2} )\overline{w}\)      जहाँ, v= 0,1,2,3,4,.......

व्याख्या:

(i)  गलत

हम  पुनर्स्थापन बल (F) को जानते हैं, वह बल जो निकाय को संतुलन स्थिति में वापस लाने के लिए कार्य करता है, स्थितिज ऊर्जा (V)  से संबंधित है,

\(F=-\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} q}\)

 \(dV=-Fdq\)

साथ ही,

 \(F=-kq\) (यहाँ, q विस्थापन है)

यह देता है,

 \(dV=kqdq\)

 \(\int dV=\int kqdq \;\)

 \(V=k\frac{q^2}{2}\)

तो, स्पष्ट रूप से, स्थितिज ऊर्जा विस्थापन t के वर्ग के समानुपाती होती है। इसलिए दिया गया कथन गलत है।

(ii)  सही

शून्य बिंदु ऊर्जा सबसे कम संभव ऊर्जा है , जो क्वांटम प्रणाली में एक कण में हो सकती है। सरल आवर्त दोलक के लिए, शून्य बिंदु ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है:

 \(\Delta E=\frac{\overline{w}}{2} \)

\(for ​​​ \overline{w}=2990\;cm^{-1},\;\;\Delta E=1495cm^{-1}\)

मान कथन में दिए गए मान के अनुसार है, इसलिए यह कथन सही है।

(iii)  सही

एक दोलन की कंपन आवृत्ति कम द्रव्यमान (u) और बल स्थिरांक (k) से  निम्नानुसार संबंधित है:

 \(v=\frac{1}{2\Pi }\sqrt{\frac{k}{u}}\; \)

तदनुसार, कंपन की आवृत्ति कम द्रव्यमान और आगे परमाणु के द्रव्यमान से विपरीत रूप से संबंधित होती है। तो, भारी आइसोटोप के साथ अणु का बंधन कम आवृत्ति पर कंपन करेगा। इसलिए दिए गए कथन में कंपन आवृत्ति का क्रम सही है।

(iv) सही 

मौलिक कंपन संक्रमण v=0 से v=1 के लिए  होता है। यदि असंगति को नजरअंदाज कर दिया जाए, तो मौलिक संक्रमण के लिए आवश्यक ऊर्जा को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 

 \(\Delta E= (2+\frac{1}{2})\overline{w}-(0+\frac{1}{2})\overline{w}\)

अधिस्वर (ओवरटोन) तब प्राप्त होता है जब v=0 से v=2 में संक्रमण होता है

 \(​​​​​​\Delta E= (2+\frac{1}{2})\overline{w}-(0+\frac{1}{2})\overline{w}\)

\(\Delta E=2\overline{w}\)

  \(\Delta E= 2\times 1880 \;cm^{-1}=3760\;cm{-1}\)

कथन में अधिस्वर (ओवरटोन) का मान गलत है

निष्कर्ष:

एक दोलन की शून्य बिंदु ऊर्जा इसकी कंपन आवृत्ति का आधा है, जो आगे परमाणु/अणु के द्रव्यमान पर विपरीत रूप से निर्भर करती है। इस प्रकार दिए गए कथनों में से केवल कथन (i) और (ii) सही हैं।