दिक्परिवर्तक \(\left[x^2, p_x^2\right]\) जिसके बराबर है, वह है x: स्थिति संकारक, px: संवेग संकारक

संकल्पना:

क्वांटम यांत्रिकी में, संचालकों के बीच क्रमविनिमयक संबंध भौतिक प्रणालियों का वर्णन करने में महत्वपूर्ण होते हैं। स्थिति संचालक (x) और संवेग संचालक (p_x) के लिए, मूल क्रमविनिमयक संबंध (x, p_x = iħ) है। यह कई अन्य क्रमविनिमयक संबंधों का आधार बनाता है। क्रमविनिमयक संबंधों के गुण:

• संचालकों (A) और (B) के लिए, क्रमविनिमयक संबंध को (A, B = AB - BA) के रूप में परिभाषित किया गया है।
• स्थिति और संवेग की शक्तियों से जुड़े क्रमविनिमयक संबंधों को क्रमविनिमयक संबंधों के श्रृंखला नियम का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।
• क्रमविनिमयक संबंध (x, p_x = iħ) क्वांटम यांत्रिकी में मौलिक है।

व्याख्या:

• क्रमविनिमयक संबंधों के लिए श्रृंखला नियम देता है:

  • (\([x^2, p_x^2] = x[x, p_x^2] + [x, p_x^2]x\)).

• ज्ञात क्रमविनिमयक संबंध (x, p_x = iħ) का उपयोग करके, हम (\([x, p_x^2]\)) के क्रमविनिमयक संबंध को इस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं:

  • \([x, p_x^2] = [x, p_x]p_x + p_x[x, p_x] = iħp_x + p_xiħ = 2iħp_x\)

• इसे मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित कीजिए:

  • \([x^2, p_x^2] = x(2iħp_x) + (2iħp_x)x = 2iħ(xp_x + p_xx)\)

निष्कर्ष:

क्रमविनिमयक संबंध (\([x^2, p_x^2]\)) \(2iħ(xp_x + p_xx)\) है, जो विकल्प 4 से मेल खाता है।