मान लीजिए कि f : R → R को \({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \frac{{{{\rm{x}}^2}}}{{1 + {{\rm{x}}^2}}}\) द्वारा परिभाषित किया गया है। फलन की सीमा क्या है?

संकल्पना:

नीचे फलन की सीमा का पता लगाने के लिए चरण दिए गए हैं:

1. y = f(x) लिखें और फिर x = g(y) का कुछ रूप देकर x के लिए समीकरण को हल करें।

g(y) का डोमेन ज्ञात करें और यह f(x) की सीमा होगी।

यदि आप को लगता है कि आप x को हल नहीं कर सकते हैं तो सीमा खोजने के लिए फलन का रेखांकन करने का प्रयास करें।

गणना:

दिया हुआ है कि

\({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \frac{{{{\rm{x}}^2}}}{{1 + {{\rm{x}}^2}}}\)

Put f(x) = y

\({\rm{y}} = \frac{{{{\rm{x}}^2}}}{{1 + {{\rm{x}}^2}}}\)

पार गुणा करें

⇒ y(1 + x² ) = x²

⇒ y + y . x² = x²

⇒ x² (1 -y) = y

⇒ x² = y/(1 -y)

⇒ \({\rm{x}} = \sqrt {\frac{{\rm{y}}}{{1 - {\rm{y}}}}}\)

⇒ x = g(y) = \(\sqrt {\frac{{\rm{y}}}{{1 - {\rm{y}}}}} \)

अब हम g(y) के डोमेन का पता लगाते हैं जो f(x) की सीमा होगी

इसलिए जैसा कि हम जानते हैं कि मूल के अंदर हमेशा धनात्मक मूल्य आते हैं,

⇒ y ≠ 1 और \(\frac{{\rm{y}}}{{{\rm{y}} - 1}} > 0\)