रेखा 2x + 3y - k = 0, k > 0, x-अक्ष और y-अक्ष को क्रमशः बिंदु A और B पर प्रतिच्छेद करती है। यदि रेखाखंड AB को व्यास मानकर बनाए गए वृत्त का समीकरण x² + y² - 3x - 2y = 0 है और दीर्घवृत्त x² + 9y² = k² के नाभिलंब की लंबाई है, जहाँ m और n सह अभाज्य हैं, तो 2m + n का मान है

अवधारणा:

व्यास के अंतिम बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) वाले वृत्त का समीकरण (x - x₁)(x - x₂) + (y - y₁)(y - y₂) = 0 होता है।

गणना:

दिया गया है, x2 + y2 - 3x - 2y = 0

⇒ x(x - 3) + y(y - 2) = 0

⇒ व्यास के अंतिम बिंदु = (0, 0) और (3, 2)

⇒ वृत्त का केंद्र = व्यास का मध्यबिंदु =

∴ व्यास का समीकरण = 2x + 3y - k = 0

⇒

⇒ k = 6

अब, दीर्घवृत्त का समीकरण बन जाता है

x2 + 9y2 = 36

⇒

∴ नाभिलंब की लंबाई =

∴ m = 4 और n = 3

⇒ 2m + n = 2(4) + 3 = 11

∴ 2m + n का मान 11 है।

सही उत्तर विकल्प 2 है।