यदि x(t) ↔ X(f) एक फूरियर रूपांतरण (FT) युग्म को दर्शाता है, \(\Pi \left(\dfrac{t}{T}\right)\) T चौड़ाई की एक आयताकार स्पंद को दर्शाता है और '⋆' कनवल्शन ऑपरेशन को दर्शाता है, तो सिग्नल \(x(t)=\Pi \left(\dfrac{t}{T}\right) * \Pi \left(\dfrac{t}{T}\right)\) का FT है:

संप्रत्यय:

1. एक फलन का फूरियर रूपांतरण इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\(X\left( \omega \right) = \mathop \smallint \nolimits_{ - \infty }^\infty x\left( t \right){e^{ - j\omega t}}dt\)

\(X\left( f \right) = \mathop \smallint \nolimits_{ - \infty }^\infty x\left( t \right){e^{ - j2\pi ft}}dt\)

2. व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\(x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\mathop \smallint \nolimits_{ - \infty }^\infty X\left( \omega \right){j^{j\omega t}}d\omega \)

\(x\left( t \right) = \mathop \smallint \nolimits_{ - \infty }^\infty X\left( f \right){e^{j2\pi ft}}df\)

\(As \ \pi(\frac{t}{τ})=rect(\frac{t}{τ})\)

3. आयताकार स्पंद का फूरियर रूपांतरण:

Arect(t/T) = ATsinc(fT)

4. त्रिभुजाकार स्पंद का फूरियर रूपांतरण:

Atri(t/T) = ATsinc²(fT)

5. समय डोमेन में कनवल्शन = आवृत्ति डोमेन में गुणन

गणना :

मान लीजिये x(t) \(A\;rect\left( {\frac{t}{T}} \right)\) है

\(A\;rect\left( {\frac{t}{T}} \right) = A \cdot {G_T}\left( t \right)\) और इसे इस प्रकार दर्शाया गया है:

\(x\left( t \right) = u\left( {t + \frac{T}{2}} \right) - u\left( {t - \frac{T}{2}} \right)\)

शिफ्टिंग गुणधर्म के साथ, हमें फूरियर रूपांतरण इस प्रकार प्राप्त होता है:

\(X\left( \omega \right) = \frac{1}{{j\omega }}\left[ {{e^{j\omega \frac{T}{2}}} - {e^{ - j\omega \frac{T}{2}}}} \right]\)

\(X\left( \omega \right) = \frac{2}{{j\omega \times 2}}\left[ {{e^{j\omega \frac{T}{2}}} - {e^{ - j\omega \frac{T}{2}}}} \right]\)

\(= \frac{2}{\omega }\sin \left( {\omega \frac{T}{2}} \right)\)

मान लीजिये:

\({S_a}\left( x \right) = \frac{{\sin \left( x \right)}}{x}\)

सिनक फलन इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\(\sin cx = \frac{{\sin \pi x}}{{\pi x}}\)

\(X\left( \omega \right) = \frac{{2\sin \left( {\omega \frac{T}{2}} \right)}}{{\omega \frac{T}{2} \times \frac{2}{T}}} = T \cdot {S_a}\left( {\frac{{\omega T}}{2}} \right)\)

\(X\left( \omega \right) = T \cdot \sin c\left( {\frac{{\omega T}}{{2\pi }}} \right)\)

\(X\left( \omega \right) =T \sin c\;\left( {\frac{\omega T }{{2\pi }}} \right)\)

\(X\left( \omega \right) =T \sin c(fT)\)

अब, एक डोमेन में गुणन दूसरे डोमेन में कनवल्शन से मेल खाता है

\(\Pi \left(\dfrac{t}{T}\right) * \Pi \left(\dfrac{t}{T}\right)=T^2sinc^2(fT)\)

इसलिए विकल्प (1) सही उत्तर है।