यदि f(x) = ln (x + \(\sqrt{1+\text{x}^2}\)) है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा सही है ?

संकल्पना:

• (x + y)(x - y) = x² - y²
• \(\ln { 1\over a} = \ln 1 - \ln a = 0 - \ln a = -\ln a\)

गणना:

दिया गया है: f(x) = ln (x + \(\sqrt{1+\text{x}^2}\)),__(i)

(i) में x को (-x) से प्रतिस्थापित करने पर,

⇒  f(-x) = ln (-x + \(\sqrt{1+(\text{-x})^2}\)),

⇒  f(-x) = ln (-x + \(\sqrt{1+\text{x}^2}\)),

ln फलन के अंदर (x + \(\sqrt{1+\text{x}^2}\)) से गुणा और भाग करने पर,

⇒  f(-x) =  \(\ln (-x + \sqrt{1+\text{x}^2}.{ x + \sqrt{1+\text{x}^2}\over x + \sqrt{1+\text{x}^2}})\),

⇒  f(-x) =  \(\ln ({- x^2 + {1+\text{x}^2}\over x + \sqrt{1+\text{x}^2}})\),

⇒  f(-x) =  \(\ln ({1 \over x + \sqrt{1+\text{x}^2}})\),

⇒  f(-x) =  \(-\ln ({ x + \sqrt{1+\text{x}^2}})\),

(i) से,

⇒  f(-x) =  - f(x)\

⇒  f(-x) + f(x) = 0

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।