Question
Download Solution PDFयदि वास्तविक रेखा पर f(x) कोई प्रायिकता घनत्व है तो निम्न में से कौन-सा वैध प्रायिकता घनत्व नहीं है?
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
प्रायिकता घनत्व फलन f(x) \(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx\) = 1 को संतुष्ट करता है।
व्याख्या:
दिया गया है कि f(x) एक प्रायिकता घनत्व फलन है, इसलिए
\(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx\) = 1.....(i)
(1): \(\int_{-\infty}^{\infty}f(x+1)dx\)
= \(\int_{-\infty}^{\infty}f(y)dy\) (मान लीजिए x + 1 = y ⇒ dx = dy)
= 1 (समीकरण (i) का उपयोग करके)
इसलिए f(x + 1) एक प्रायिकता घनत्व फलन है।
विकल्प (1) गलत है।
(2): \(\int_{-\infty}^{\infty}f(2x)dx\)
= \(\frac12\)\(\int_{-\infty}^{\infty}f(y)dy\) (मान लीजिए 2x= y ⇒ dx = \(\frac12\)dy)
= \(\frac12\) (समीकरण (i) का उपयोग करके)
इसलिए f(2x) एक मान्य प्रायिकता घनत्व फलन नहीं है।
विकल्प (2) सही है।
(3): \(\int_{-\infty}^{\infty}2f(2x-1)dx\)
= \(\int_{-\infty}^{\infty}f(y)dy\) (मान लीजिए 2x - 1 = y ⇒ 2dx = dy)
= 1 (समीकरण (i) का उपयोग करके)
इसलिए 2f(2x - 1) एक प्रायिकता घनत्व फलन है।
विकल्प (3) गलत है।
(4): \(\int_{-\infty}^{\infty}3x^2f(x^3)dx\)
= \(\int_{-\infty}^{\infty}f(y)dy\) (मान लीजिए x3 = y ⇒ 3x2dx = dy)
= 1 (समीकरण (i) का उपयोग करके)
इसलिए 3x2f(x3) एक प्रायिकता घनत्व फलन है।
विकल्प (4) गलत है।
Last updated on Jun 5, 2025
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-> The CSIR UGC NET is conducted in five subjects -Chemical Sciences, Earth Sciences, Life Sciences, Mathematical Sciences, and Physical Sciences.
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