यदि वास्तविक रेखा पर f(x) कोई प्रायिकता घनत्व है तो निम्न में से कौन-सा वैध प्रायिकता घनत्व नहीं है?

This question was previously asked in
CSIR UGC (NET) Mathematical Science: Held On (7 June 2023)
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  1. f(x + 1)
  2. f(2x)
  3. 2f(2x − 1)
  4. 3x2f(x3)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : f(2x)
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10 Questions 20 Marks 15 Mins

Detailed Solution

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अवधारणा:

प्रायिकता घनत्व फलन f(x) \(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx\) = 1 को संतुष्ट करता है।

व्याख्या:

दिया गया है कि f(x) एक प्रायिकता घनत्व फलन है, इसलिए

\(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx\) = 1.....(i)

(1): \(\int_{-\infty}^{\infty}f(x+1)dx\)

= \(\int_{-\infty}^{\infty}f(y)dy\) (मान लीजिए x + 1 = y ⇒ dx = dy)

= 1 (समीकरण (i) का उपयोग करके)

इसलिए f(x + 1) एक प्रायिकता घनत्व फलन है।

विकल्प (1) गलत है।

(2): \(\int_{-\infty}^{\infty}f(2x)dx\)

= \(\frac12\)\(\int_{-\infty}^{\infty}f(y)dy\) (मान लीजिए 2x= y ⇒ dx = \(\frac12\)dy)

= \(\frac12\) (समीकरण (i) का उपयोग करके)

इसलिए f(2x) एक मान्य प्रायिकता घनत्व फलन नहीं है।

विकल्प (2) सही है।

(3): \(\int_{-\infty}^{\infty}2f(2x-1)dx\)

= \(\int_{-\infty}^{\infty}f(y)dy\) (मान लीजिए 2x - 1 = y ⇒ 2dx = dy)

= 1 (समीकरण (i) का उपयोग करके)

इसलिए 2f(2x - 1) एक प्रायिकता घनत्व फलन है।

विकल्प (3) गलत है।

(4): \(\int_{-\infty}^{\infty}3x^2f(x^3)dx\)

= \(\int_{-\infty}^{\infty}f(y)dy\) (मान लीजिए x3 = y ⇒ 3x2dx = dy)

= 1 (समीकरण (i) का उपयोग करके)

इसलिए 3x2f(x3) एक प्रायिकता घनत्व फलन है।

विकल्प (4) गलत है।

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Last updated on Jun 5, 2025

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