यदि एक त्रिभुज के लिए, परिवृत्त की त्रिज्या अंतर्वृत्‍त (अन्तःवृत्त) की त्रिज्या से दोगुनी है, तो निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

संकल्पना:

माना त्रिभुज की भुजाएँ a, b और c हैं

अर्द्ध परिधि S =\(\frac{a\ +\ b\ +\ c}{2}\) 

परित्रिज्या R = \(\frac{abc}{{4}{\times Area \ of \ triangle}}\ =\ \frac{abc}{4\Delta}\)

अंतःत्रिज्या r = \(\frac {area \ of \ triangle}{semi \ perimeter \ of \ triangle}\ =\ \frac{\Delta}{S}\)

एक समबाहु त्रिभुज में, परिवृत्त की त्रिज्या और अंतःवृत्त की त्रिज्या का अनुपात 2: 1 होता है। यानि R = 2r

गणना:

मान लीजिए a, b, c एक त्रिभुज की भुजाएँ हैं,

Δ = त्रिभुज का क्षेत्रफल,

S = अर्द्ध परिधि \(= \frac{a\ +\ b\ +\ c}{2}\)

\(R\ =\ \frac{abc}{4Δ}\) और \(r\ =\ \frac{Δ}{S}\)

प्रश्न के अनुसार, परिवृत्त की त्रिज्या अंतःवृत्त की त्रिज्या की दोगुनी है

\(⇒\ \ \frac{abc}{4Δ}\ =\ \frac{2\Delta}{S}\)

\(⇒\ \ {abc}\ =\ \frac{8\Delta^2}{S}\)

\(⇒\ \ {abc}\ =\ \frac{8[S(S\ -\ a)(S\ -\ b)(S\ -\ c)]}{S}\)

⇒ abc = (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c)

यह तभी सच होगा जब, a = b = c

अत: त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है।