यदि e1 और e2 क्रमशः अतिपरवलय \(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\) और \(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1\) की उत्केन्द्रताएँ हों, तो \(\frac{1}{e_{1}^{2}}+\frac{1}{e_{2}^{2}}\) है

स्पष्टीकरण​:

e1 और e2 क्रमशः अतिपरवलय \(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\) और \(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1\) की उत्केन्द्रताएँ हैं, 

इसलिए e₁ निम्न द्वारा दी जाती है

b² = a²(\(e_1^2\) - 1) ....(i)

साथ ही, \(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1\) ⇒  \(\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=1\)

और e2 निम्न द्वारा दी जाती है

a2 = b2(\(e_2^2\) - 1) ....(ii)

(i) और (ii) को गुणा करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

b2 a2 = a2(\(e_1^2\) - 1)b2(\(e_2^2\) - 1)

⇒ 1 = (\(e_1^2\) - 1)(\(e_2^2\) - 1)

⇒ \(e_1^2\)\(e_2^2\) - \(e_1^2\) - \(e_2^2\) + 1 = 1

⇒ \(e_1^2\) + \(e_2^2\) = \(e_1^2\)\(e_2^2\)

दोनों पक्षों को \(e_1^2\) \(e_2^2\) से विभाजित करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

\(\frac{1}{e_{1}^{2}}+\frac{1}{e_{2}^{2}}\) = 1

अतः (1) सही है।