\(g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {k\sqrt {x + 1} ,}&{0 \le x \le 3}\\ {m\;x + 2,}&{3 < x \le 5} \end{array}} \right.\)

यदि उपरोक्त फलन अवकलनीय है, तो k + m का मान क्या होगा?

संकल्पना:

एक फलन g(x) को बिंदु 'a' पर अवकलनीय कहा जाता है, यदि:

\( \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} g'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} g'\left( x \right)\)

गुणधर्म:

• यदि कोई फलन किसी बिंदु पर अवकलनीय है, तो वह आवश्यक रूप से उस बिंदु पर संतत होता है।
• लेकिन इस कथन का विलोम सत्य नहीं है अर्थात एक परिमित अवकलज के अस्तित्व के लिए संततता एक आवश्यक लेकिन पर्याप्त शर्त है।
• अवकलनीयता का अर्थ है संततता।
• संततता का अर्थ अनिवार्य रूप से अवकलनीयता नहीं है।

किसी भी फलन f को बिंदु 'a' पर संतत कहा जाता है, यदि और केवल यदि:

\( \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} g\left( x \right)=f(a)\)

विश्लेषण:

\(g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {k\sqrt {x + 1} ,}&{0 \le x \le 3}\\ {m\;x + 2,}&{3 < x \le 5} \end{array}} \right.\)

 3^- के लिए, फलन है:

\(g(x)=k\sqrt {x+1}\)

3+ के लिए, फलन है:

g(x) = mx + 2

चूँकि g(x) अवकलनीय है, यह x = 3 पर संतत होगा, अर्थात्

\(\therefore \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} g\left( x \right)\)

2 k = 3 m + 2      ---(1)

साथ ही, g(x), x = 0 पर अवकलनीय है, अर्थात्

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} g'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} g'\left( x \right)\)

x = 3^- और x = 3+ के लिए दोनों फलनों के अवकलजों की तुलना करने पर , हम प्राप्त करते हैं:

\(\frac{k}{{2\sqrt {x + 1} }} = m\)

 x = 3 रखने पर:

\(\frac{k}{{2\sqrt {3 + 1} }} = m\)

K = 4 m    ---(2)

(1) और (2) को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

\(m = \frac{2}{5},\;k = \frac{8}{5}\)