रैखिक समीकरणों के निकाय के लिए: x − 2y = 1, x − y + kz = −2, ky + 4z = 6,k ∈ R

निम्नलिखित कथनों पर विचार करते हैं:

(A) यदि k ≠ 2,k ≠ −2 तो निकाय का अद्वितीय हल होगा।

(B) यदि k = -2 तो निकाय का अद्वितीय हल होगा।

(C) यदि k = 2 तो निकाय का अद्वितीय हल होगा।

(D) यदि k = 2 तो निकाय का कोई हल नहीं होगा।

(E) यदि k ≠ -2 तो निकाय के अनंत हल होंगे।

निम्नलिखित में से कौन से कथन सही हैं?

अवधारणा:

(i) यदि Δ ≠ 0 और Δ_x, Δ_y, Δ_z ≠ 0 में से कम से कम एक है, तो दिए गए समीकरणों के निकाय संगत हैं और इसका अद्वितीय गैर-तुच्छ हल है।

(ii) यदि Δ ≠ 0 & Δx = Δy = Δz = 0, तो दिए गए समीकरणों के निकाय संगत हैं और इसका केवल तुच्छ हल है।

(iii) यदि Δ = Δx = Δy = Δz = 0, तो दिए गए समीकरणों के निकाय संगत हैं और इसके अनंत हल हैं।

गणना:

दिया गया है,

x - 2y + 0.z = 1

x - y + kz = - 2

0.x + ky + 4z = 6

\( Δ= \left|\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 0 \\ 1 & -1 & k \\ 0 & k & 4 \end{array}\right|\)

= 4 - k2

अद्वितीय हल के लिए, 4 - k2 ≠ 0

⇒ k ≠ ±2

k = 2 के लिए,

x - 2y + 0.z = 1

x - y + 2z = -2

0.x + 2y + 4z = 6

\(Δ_{\rm {x}}=\left|\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 0 \\ -2 & -1 & 2 \\ 6 & 2 & 4 \end{array}\right|\)

= -8 + 2 (-20)

⇒Δx = -48 ≠ 0

k = 2 के लिए,Δx ≠ 0

⇒ k = 2 के लिए, निकाय का कोई हल नहीं है।

∴ (A) यदि k ≠ 2,k ≠ −2 तो निकाय का अद्वितीय हल होगा और (D) यदि k = 2 तो निकाय का कोई हल नहीं होगा।

सही उत्तर विकल्प 3 है।