सीधी रेखा \(\frac{{x - 3}}{0} = \frac{{y + 1}}{{\;1}} = \frac{{z - 2}}{1}\) और समतल 2x - 4y + 4z - 7 = 0 के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

Question

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सीधी रेखा \(\frac{{x - 3}}{0} = \frac{{y + 1}}{{\;1}} = \frac{{z - 2}}{1}\) और समतल 2x - 4y + 4z - 7 = 0 के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

1 1
11/3
11/6
इनमें से कोई नहीं

Answer 1

संकल्पना:

किसी समतल से एक बिंदु की लंबवत दूरी

माना कि हम कार्तीय समीकरण Ax + By + Cz = d द्वारा दिए गए एक समतल और उस बिंदु को लेते हैं, जिसका निर्देशांक (x1, y1, z1) है।

अब, बिंदु और समतल के बीच की दूरी = \(\left| {\frac{{A{x_1}\; + \;B{y_1}\; + \;C{z_1} - \;d}}{{\sqrt {{A^2}\; + \;\;{B^2}\; + \;{C^2}} }}} \right|\)

गणना:

दिया गया है: रेखा का समीकरण \(\frac{{x - 3}}{0} = \frac{{y + 1}}{{\;1}} = \frac{{z - 2}}{1}\) और समतल का समीकरण 2x - 4y + 4z - 7 = 0 है।

सर्वप्रथम यह ज्ञात करते हैं कि दी गयी रेखा समतल के समानांतर है या नहीं।

चूँकि हम देख सकते हैं कि, दिए गए रेखा के दिशा अनुपात निम्न हैं: (0, 1, 1)

उसीप्रकार, दिए गए समतल के लंब के दिशा अनुपात निम्न हैं: (2, -4, 4)

⇒ 2 × 0 - 1 × 4 + 1 × 4 = 0

इसलिए, दी गयी रेखा दिए गए समतल के समांनातर है।

दिए गए रेखा पर एक बिंदु ज्ञात करते हैं।

चूँकि हम देख सकते हैं कि, बिंदु Q (3, - 1, 2) रेखा पर है। .

इसलिए, बिंदु Q और दिए गए समतल के बीच की दूरी ज्ञात करना दी गयी रेखा और समतल के बीच की दूरी ज्ञात करने के समान है।

चूँकि हम जानते हैं कि, एक बिंदु और एक समतल के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\left| {\frac{{A{x_1}\; + \;B{y_1}\; + \;C{z_1} - \;d}}{{\sqrt {{A^2}\; + \;\;{B^2}\; + \;{C^2}} }}} \right|\)

यहाँ, x1 = 3, y1 = - 1 और z1 = 2

⇒ \(d = \left| {\frac{{2\times {3}\; - \;4 \times {(- 1)}\; + \;4 \times {2} - \ 7}}{{\sqrt {{2^2}\; + \;\;{(- 4)^2}\; + \;{4^2}} }}} \right| = \frac{11}{6} \ units\)

इसलिए, विकल्प C सही उत्तर है।

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Question

सीधी रेखा \(\frac{{x - 3}}{0} = \frac{{y + 1}}{{\;1}} = \frac{{z - 2}}{1}\) और समतल 2x - 4y + 4z - 7 = 0 के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

Answer (Detailed Solution Below)

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