किसी दिए गए तापमान पर, एक परमाणु का क्रमश:, 0 kBT, 0.5 kBT तथा 0.5 kBT, ऊर्जाओं के 2S1/2, 2P1/2 तथा 2P3/2 परमाणु अवस्थाओं तक पहुँच है। P अवस्थाओं में परमाणुओं का अंश है

संकल्पना:

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, तापीय साम्यावस्था में किसी दिए गए अवस्था में कणों का अंश बोल्ट्जमान गुणक द्वारा निर्धारित होता है। अवस्था की पतनता भी एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है, जो उपलब्ध सूक्ष्म अवस्थाओं की संख्या को प्रभावित करती है।

• बोल्ट्जमान वितरण: किसी दिए गए तापमान पर, किसी परमाणु के E ऊर्जा वाली अवस्था में होने की प्रायिकता ( ) के समानुपाती होती है, जहाँ ( kB ) बोल्ट्जमान स्थिरांक है और T केल्विन में तापमान है।

  • ​ऊर्जा पर घातीय निर्भरता के कारण उच्च ऊर्जा अवस्थाओं में संख्या कम होती है।

  • पतनता किसी अवस्था के अधिक संख्या होने की प्रायिकता को बढ़ाती है, क्योंकि यह समान ऊर्जा वाली कई सूक्ष्म अवस्थाओं का प्रतिनिधित्व करती है।

  • विभाजन फलन सभी संभावित अवस्थाओं में प्रायिकताओं को सामान्य करता है।

• पतनता: किसी अवस्था की पतनता (g) समान ऊर्जा स्तर के अनुरूप विभिन्न सूक्ष्म अवस्थाओं की संख्या को संदर्भित करती है। उच्च पतनता वाली अवस्थाओं में उच्च प्रायिकता होती है।

• विभाजन फलन: विभाजन फलन ( ) सभी ऊर्जा स्तरों पर योग करता है और प्रत्येक अवस्था के बोल्ट्जमान गुणक और पतनता दोनों को ध्यान में रखता है।

व्याख्या:

• परमाणु तीन अवस्थाओं तक पहुँचता है: , , और जिनकी ऊर्जाएँ क्रमशः 0, 0.5 k_BT, और 0.5 k_BT हैं।

• ²S_1/2 अवस्था के लिए पतनता 2 है, ²P_1/2 के लिए 2 है, और ²P_3/2 के लिए 4 है।

• बोल्ट्जमान वितरण का उपयोग करके, कुल विभाजन फलन की गणना इस प्रकार की जाती है:

• P अवस्था में परमाणुओं का अंश तब कुल संख्या के लिए P अवस्थाओं (दोनों ²P_1/2 और ²P_3/2) में परमाणुओं के अनुपात के रूप में गणना की जाती है:

निष्कर्ष:

• P अवस्थाओं में परमाणुओं का सही अंश है, जो विकल्प 1 से मेल खाता है।