एक निकाय में उपस्थित N कण समान, विभेद्य और अन्योन्यक्रियाहीन हैं। इनमें से प्रत्येक के केवल दो ऊर्जा स्तर 0 तथा ϵ हैं। स्थिर आयतन (Cv) पर ताप धारिता की अभिव्यक्ति (β = 1/kBT) ______ द्वारा दी जाती है।

अवधारणा:

• ऊष्मा धारिता किसी निकाय का स्थिर आयतन पर आंतरिक ऊर्जा में तापमान के सापेक्ष परिवर्तन है। \(C_V=\left (\frac{\partial U}{\partial T} \right )_V \)
• सांख्यिकीय ऊष्मागतिकी में, आंतरिक ऊर्जा दी जाती है: \(U=NK_BT^2\frac{\mathrm{d} lnq}{\mathrm{d} T} \),

​ जहाँ, q विभाजन फलन है

KB बोल्ट्ज़मान नियतांक है, T तापमान है और N कणों की संख्या है।

• विभाजन फलन किसी निकाय के ऊष्मागतिक गुणों का सांख्यिकीय संबंध देता है। यह बोल्ट्ज़मान वितरण का उपयोग सुलभ ऊर्जा अवस्थाओं का माप देने के लिए करता है।
• विभाजन फलन किसी भी निकाय की गणना इस प्रकार की जाती है;

​\(q=\sum g_ie^{-\beta\epsilon _i}\)

व्याख्या:

• सबसे पहले हमें दिए गए निकाय के लिए विभाजन फलन ज्ञात करना होगा। प्रश्न के अनुसार, दिए गए अविभेद्य कणों की केवल दो संभावित ऊर्जा अवस्थाएँ 0 और \(\epsilon\) हैं।
• इस प्रकार, विभाजन फलन (q) दी गई दो ऊर्जा अवस्थाओं में कणों के वितरण का योग होगा और इस प्रकार q को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\(q= g_0e^{-\beta 0 }+ g_1e^{-\beta \epsilon }\)

चूँकि, ऊर्जा अवस्थाएँ एकल अवनत हैं, इसे फिर से लिखा जा सकता है:

\(q= 1+ e^{-\beta \epsilon }\)

अब, इसे आंतरिक ऊर्जा के व्यंजक में रखने पर, हमारे पास होगा:

\(U=NK_BT^2\frac{\mathrm{d}ln(1+e^{-\beta \epsilon }) }{\mathrm{d} T}\)

व्यंजक को हल करने पर मिलता है:

\(U =NK_BT^2\left ( \frac{1}{1+ e^{-\beta\epsilon}} \right ) \times (e^{-\beta\epsilon})\times\frac{\mathrm{d} (-\beta\epsilon)}{\mathrm{d} T}\)

\(U =NK_BT^2\left ( \frac{1}{1+ e^{-\beta\epsilon}} \right ) \times (e^{-\beta\epsilon})\times\frac{\mathrm{d} (-\epsilon/K_BT)}{\mathrm{d} T}\) (\(\because \beta=\frac{1}{K_BT}\))

\(U =NK_BT^2\left ( \frac{1}{1+ e^{-\beta\epsilon}} \right ) \times (e^{-\beta\epsilon})\times\frac{\epsilon}{K_BT^2}\)

\(U=\frac{N\epsilon e^{-\beta\epsilon}}{(1+e^{-\frac{\epsilon }{K_BT}})}\)

अब, अंत में प्राप्त U मान का उपयोग स्थिर आयतन पर आंशिक रूप से तापमान के सापेक्ष विभेदित करके ऊष्मा धारिता ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।

अर्थात,

\(C_V=\frac{\partial }{\partial T}\frac{N\epsilon e^{-\beta\epsilon}}{(1+e^{-\frac{\epsilon }{K_BT}})}\)

\(=N\epsilon\left [ (1+e^{-\epsilon \beta}) \frac{\partial e^{-\epsilon \beta} }{\partial T}-(e^{-\epsilon \beta})\frac{\partial (1+ e^{-\epsilon \beta} )}{\partial x}\right ](1+ e^{-\epsilon\beta})^{-2}\)

\(=\frac{N\epsilon^2}{K_BT^2}\times\frac{ e^{- \epsilon\beta } }{(1+ e^{-\epsilon\beta})^2}\)

\(K_B\; e^{2\epsilon\beta}\) से गुणा और भाग देने पर मिलता है

\(=\frac{N\epsilon^2}{K_B^2T^2}\times\frac{e^{ \epsilon\beta }}{(1+ e^{\epsilon\beta})^2}\)

यह देता है,

\(C_V=NK_B\left ( \frac{\epsilon \beta e^{\epsilon \beta /2}}{1+e^{\epsilon \beta }} \right )^2 \)

निष्कर्ष:

N सर्वसम अविभेद्य कणों के दिए गए निकाय के लिए स्थिर आयतन पर ऊष्मा धारिता है:

\(C_V=NK_B\left ( \frac{\epsilon \beta e^{\epsilon \beta /2}}{1+e^{\epsilon \beta }} \right )^2 \)