एक निकाय में उपस्थित N कण समान, विभेद्य और अन्योन्यक्रियाहीन हैं। इनमें से प्रत्येक के केवल दो ऊर्जा स्तर 0 तथा ϵ हैं। स्थिर आयतन (Cv) पर ताप धारिता की अभिव्यक्ति (β = 1/kBT) ______ द्वारा दी जाती है।

Question

Question

This question was previously asked in

CSIR-UGC (NET) Chemical Science: Held on (16 Feb 2022)

Answer 1

अवधारणा:

ऊष्मा धारिता किसी निकाय का स्थिर आयतन पर आंतरिक ऊर्जा में तापमान के सापेक्ष परिवर्तन है।
सांख्यिकीय ऊष्मागतिकी में, आंतरिक ऊर्जा दी जाती है: ,

जहाँ, q विभाजन फलन है

KB बोल्ट्ज़मान नियतांक है, T तापमान है और N कणों की संख्या है।

विभाजन फलन किसी निकाय के ऊष्मागतिक गुणों का सांख्यिकीय संबंध देता है। यह बोल्ट्ज़मान वितरण का उपयोग सुलभ ऊर्जा अवस्थाओं का माप देने के लिए करता है।
विभाजन फलन किसी भी निकाय की गणना इस प्रकार की जाती है;

व्याख्या:

सबसे पहले हमें दिए गए निकाय के लिए विभाजन फलन ज्ञात करना होगा। प्रश्न के अनुसार, दिए गए अविभेद्य कणों की केवल दो संभावित ऊर्जा अवस्थाएँ 0 और हैं।
इस प्रकार, विभाजन फलन (q) दी गई दो ऊर्जा अवस्थाओं में कणों के वितरण का योग होगा और इस प्रकार q को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

चूँकि, ऊर्जा अवस्थाएँ एकल अवनत हैं, इसे फिर से लिखा जा सकता है:

अब, इसे आंतरिक ऊर्जा के व्यंजक में रखने पर, हमारे पास होगा:

व्यंजक को हल करने पर मिलता है:

()

अब, अंत में प्राप्त U मान का उपयोग स्थिर आयतन पर आंशिक रूप से तापमान के सापेक्ष विभेदित करके ऊष्मा धारिता ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।

अर्थात,

से गुणा और भाग देने पर मिलता है

यह देता है,

निष्कर्ष:

N सर्वसम अविभेद्य कणों के दिए गए निकाय के लिए स्थिर आयतन पर ऊष्मा धारिता है: