2 मीटर लम्बी एक भार रहित स्प्रिंग जिसका बल नियतांक 25 न्यूटन/मीटर है छत से लटकती है और उसके निचले सिरे पर 1 किग्रा का द्रव्यमान लटका है। यदि उसे 10 सेमी नीचे खींचकर छोड़ दिया जाता है तो जब स्प्रिंग 5 सेमी ऊपर जा चुकी होती है तब उसकी गतिज ऊर्जा है:

अवधारणा :

• स्प्रिंग की गतिज ऊर्जा स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली की ऊर्जा होती है जब द्रव्यमान की गति अधिकतम होती है या स्प्रिंग तटस्थ स्थिति में होती है जहां सभी स्थितिज ऊर्जा, गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
• गतिज ऊर्जा = \(\frac{1}{2}\) kx ² ,
• जहाँ k स्प्रिंग स्थिरांक है,
• x वस्तु का विस्थापन है

स्पष्टीकरण :

जब स्प्रिंग अपनी सबसे निचली स्थिति से 5 सेमी या 0.05 मीटर ऊपर चली जाती है, तो गतिज ऊर्जा ज्ञात करने के लिए, हम ऊर्जा संरक्षण सिद्धांत का उपयोग करते हैं। प्रणाली में कुल यांत्रिक ऊर्जा (स्प्रिंग / द्रव्यमान) संरक्षित है क्योंकि केवल संरक्षी बल ही काम कर रहे हैं।

जब स्प्रिंग से जुड़ा द्रव्यमान शुरू में 10 सेमी या 0.1 मीटर नीचे खींचा जाता है, तो प्रणाली की पूरी ऊर्जा स्प्रिंग में स्थितिज उर्जा के रूप में संग्रहीत होती है। जैसे-जैसे द्रव्यमान ऊपर की ओर बढ़ता है, स्प्रिंग में संग्रहीत स्थितिज उर्जा गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के भीतर स्थिति में परिवर्तन के कारण द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाएगी। सबसे निचले बिंदु से 5 सेमी ऊपर, स्प्रिंग अभी भी अपनी प्राकृतिक लंबाई से 5 सेमी या 0.05 मीटर तक विस्तारित है क्योंकि इसे शुरू में 0.1 मीटर तक बढ़ाया गया था। 

स्प्रिंग PE_{प्रारंभिक} में संग्रहित स्थितिज ऊर्जा, जब इसे नीचे खींचा जाता है (0.1 मीटर और अभी तक मुक्त नहीं किया जाता है) स्प्रिंग में संग्रहित स्थितिज ऊर्जा के सूत्र द्वारा दी जाती है:

\(\text{PE}_{\text{initial}} = \frac{1}{2} k x^2\)

जहाँ

k = 25 N/m स्प्रिंग स्थिरांक है,
x = 0.1 मीटर प्रारंभिक विस्थापन है।
\(\text{PE}_{\text{initial}} = \frac{1}{2} \times 25 ~ \text{N/m} \times (0.1 ~ \text{m})^2 = 0.125 ~ \text{J}\)

यह प्रणाली की शुरुआत में कुल यांत्रिक ऊर्जा है, क्योंकि जब द्रव्यमान को नीचे खींचे जाने के बाद वह क्षण भर के लिए स्थिर रहता है तो गतिज ऊर्जा शून्य होती है।

जब स्प्रिंग 5 सेमी ऊपर जाती है, तो विस्थापन (x = 0.05 मीटर) के साथ स्प्रिंग PE_new में नई स्थितिज ऊर्जा है:

\( \text{PE}_{\text{new}} = \frac{1}{2} \times 25 ~ \text{N/m} \times (0.05 ~ \text{m})^2 = 0.03125 ~ \text{J} \)

इस बिंदु पर गतिज ऊर्जा (KE) को स्प्रिंग की इस नई स्थितिज ऊर्जा को कुल यांत्रिक ऊर्जा से घटाकर पाया जा सकता है जो कि प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है (चूँकि कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित होती है)। इसलिए,

\( \text{KE} = \text{PE}{\text{initial}} - \text{PE}{\text{new}} = 0.125 ~ \text{J} - 0.03125 ~ \text{J} = 0.09375 ~\text{J}\)

अतः निकटतम उत्तर: 0.0938 जूल है।