প্রদত্ত ফাংশন \(\rm f(x)=\sin x+3x-\frac{2}{\pi}(x^2+x)\) যেখানে x ∈ \(\rm \left[0, \frac{\pi}{2}\right]\) নিম্নলিখিত দুটি বিবৃতি বিবেচনা করুন:

(I) \(\rm \left(0,\frac{\pi}{2}\right)\) অন্তরালে f ক্রমবর্ধমান

(II) \(\rm \left(0,\frac{\pi}{2}\right)\) অন্তরালে f' ক্রমহ্রাসমান

উপরোক্ত দুটি বিবৃতির মধ্যে,

গণনা:

প্রদত্ত, \(f(x)=\sin x+3 x-\frac{2}{\pi}\left(x^2+x\right)\) \(x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\)

⇒ \(f^{\prime}(x)=\cos x+3-\frac{2}{\pi}(2 x+1)>0 \quad f(x) \uparrow\)

⇒ \(f^{\prime\prime}(x)=-\sin x-\frac{4}{\pi}<0\)

\(0<{x}<\frac{\pi}{2}\)

⇒ \(-\frac{2}{\pi}(\underset{+1}{0}<\underset{+1}{2 x}<\underset{+1}{\pi})\)

∴ \(\rm \left(0,\frac{\pi}{2}\right)\) অন্তরালে f ক্রমবর্ধমান।

সঠিক উত্তর হল বিকল্প 1।