Rolle's Theorem MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Rolle's Theorem - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్
Last updated on Mar 17, 2025
Latest Rolle's Theorem MCQ Objective Questions
Rolle's Theorem Question 1:
\(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + x}&{if\;x < 0}\\ {\left( {1 - x} \right)\left( {px + q} \right)}&{if\;x \ge 0} \end{array}} \right.\) అయితే
విరామం [-1, 1]లో రోల్ యొక్క సిద్ధాంతం యొక్క ఊహను సంతృప్తపరుస్తుంది, ఆపై క్రమం చేసిన జత (p, q)
Answer (Detailed Solution Below)
Rolle's Theorem Question 1 Detailed Solution
కాన్సెప్ట్:
పైన పేర్కొన్న ప్రమేయం f(x) విరామం [-1, 1]లో రోల్ యొక్క సిద్ధాంతం యొక్క ఊహను సంతృప్తిపరుస్తుంది
f(x) [-1, 1]లో నిరంతరంగా ఉంటుంది
(-1, 1)లో F(x) భేదం ఉంది
F(-1) = f(1)
కొనసాగింపు కోసం
LHL = RHL = 0 వద్ద ప్రమేయ విలువ అంటే f(0)
\(LHL = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \left( {1 + x} \right)\)
= 1
\(\begin{array}{l} RHL = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \left( {1 - x} \right)\left( {px + q} \right)\\ = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {0^ + }} \left( {px + q - p{x^2} - qx} \right) \end{array}\)
= q
∴ LHL = RHL
⇒ q = 1
భేదం కోసం కూడా
LHD = RHD
\(\Rightarrow \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right)\)
\(\frac{d}{{dx}}\left( {1 + x} \right) = \frac{d}{{dx}}\left[ {\left( {1 - x} \right)\left( {px + q} \right)} \right]\;\)
x = 0 వద్ద
\(\Rightarrow 1 = \frac{d}{{dx}}\left[ {px + q - p{x^2} - qx} \right]\)
\(⇒[p+0-2px-q]=1 \)
x = 0 వద్ద
p – q = 1
⇒ p = 1 + q
⇒ p = 1 + 1
⇒ p = 2
∴ చేసిన జత (p, q) (2, 1)Top Rolle's Theorem MCQ Objective Questions
Rolle's Theorem Question 2:
\(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + x}&{if\;x < 0}\\ {\left( {1 - x} \right)\left( {px + q} \right)}&{if\;x \ge 0} \end{array}} \right.\) అయితే
విరామం [-1, 1]లో రోల్ యొక్క సిద్ధాంతం యొక్క ఊహను సంతృప్తపరుస్తుంది, ఆపై క్రమం చేసిన జత (p, q)
Answer (Detailed Solution Below)
Rolle's Theorem Question 2 Detailed Solution
కాన్సెప్ట్:
పైన పేర్కొన్న ప్రమేయం f(x) విరామం [-1, 1]లో రోల్ యొక్క సిద్ధాంతం యొక్క ఊహను సంతృప్తిపరుస్తుంది
f(x) [-1, 1]లో నిరంతరంగా ఉంటుంది
(-1, 1)లో F(x) భేదం ఉంది
F(-1) = f(1)
కొనసాగింపు కోసం
LHL = RHL = 0 వద్ద ప్రమేయ విలువ అంటే f(0)
\(LHL = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \left( {1 + x} \right)\)
= 1
\(\begin{array}{l} RHL = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \left( {1 - x} \right)\left( {px + q} \right)\\ = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {0^ + }} \left( {px + q - p{x^2} - qx} \right) \end{array}\)
= q
∴ LHL = RHL
⇒ q = 1
భేదం కోసం కూడా
LHD = RHD
\(\Rightarrow \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right)\)
\(\frac{d}{{dx}}\left( {1 + x} \right) = \frac{d}{{dx}}\left[ {\left( {1 - x} \right)\left( {px + q} \right)} \right]\;\)
x = 0 వద్ద
\(\Rightarrow 1 = \frac{d}{{dx}}\left[ {px + q - p{x^2} - qx} \right]\)
\(⇒[p+0-2px-q]=1 \)
x = 0 వద్ద
p – q = 1
⇒ p = 1 + q
⇒ p = 1 + 1
⇒ p = 2
∴ చేసిన జత (p, q) (2, 1)