Equation of a Line MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Equation of a Line - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

O(0, 0) మరియు A(2, 5) బిందువుల గుండా వెళ్ళే సరళరేఖ సమీకరణాన్ని కనుగొనడానికి, ఈ దశలను అనుసరించండి:

1. రేఖ వాలును కనుగొనండి:
   (x₁, y₁) మరియు (x₂, y₂) బిందువుల గుండా వెళ్ళే రేఖ వాలు m ఇలా ఇవ్వబడుతుంది:
   \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
   O(0, 0) మరియు A(2, 5) నిరూపకాలను ప్రతిక్షేపించండి:
   \[ m = \frac{5 - 0}{2 - 0} = \frac{5}{2} \]
2. బిందువు-వాలు రూపాన్ని ఉపయోగించండి:
   రేఖ యొక్క బిందువు-వాలు రూపం:
   \[ y - y_1 = m(x - x_1) \]
   వాలు m = \(\frac{5}{2} \) మరియు బిందువు O(0, 0) ను ఉపయోగించి:
   \[ y - 0 = \frac{5}{2}(x - 0) \]
   సరళీకరించండి:
   \[ y = \frac{5}{2}x \]
3. సమీకరణాన్ని ప్రామాణిక రూపంలో రాయండి:
   రేఖ యొక్క ప్రామాణిక రూపం Ax + By + C = 0. సమీకరణాన్ని తిరిగి అమర్చండి:
   \[ \frac{5}{2}x - y = 0 \]
   భిన్నాన్ని తొలగించడానికి 2తో గుణించండి:
   \[ 5x - 2y = 0 \]

చివరి సమాధానం:

O(0, 0) మరియు A(2, 5) బిందువుల గుండా వెళ్ళే సరళరేఖ సమీకరణం:

\[ \boxed{5x - 2y = 0} \]

మూలబిందువు గుండా వెళ్ళి, X-అక్షం యొక్క ధనాత్మక దిశతో 60⁰ కోణం చేసే సరళరేఖ సమీకరణాన్ని కనుగొనడానికి, ఈ దశలను అనుసరించండి:

1. రేఖ వాలును అర్థం చేసుకోండి:
   ఒక రేఖ వాలు m, అది X-అక్షం యొక్క ధనాత్మక దిశతో చేసే కోణం \(\theta\) తో ఈ సూత్రం ద్వారా సంబంధం కలిగి ఉంటుంది:
   \[ m = \tan(\theta) \]
   \(\theta = 60^\circ\) ఇవ్వబడింది, వాలు:
   \[ m = \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \]
2. బిందువు-వాలు రూపాన్ని ఉపయోగించండి:
   మూలబిందువు (0, 0) గుండా వెళ్ళే మరియు వాలు m కలిగిన రేఖ యొక్క బిందువు-వాలు రూపం:
   \[ y = mx \]
   m =\( \sqrt{3}\) ప్రతిక్షేపించండి:
   \[ y = \sqrt{3}x \]
3. సమీకరణాన్ని ప్రామాణిక రూపంలో రాయండి:
   ఒక రేఖ యొక్క ప్రామాణిక రూపం Ax + By + C = 0. సమీకరణాన్ని తిరిగి అమర్చండి:
   \[ \sqrt{3}x - y = 0 \]

చివరి సమాధానం:

మూలబిందువు గుండా వెళ్ళి, \(60^\circ \) X-అక్షం యొక్క ధనాత్మక దిశతో కోణం చేసే సరళరేఖ సమీకరణం:

\[ \boxed{\sqrt{3}x - y = 0} \]

A(-1,3) బిందువు గుండా వెళ్ళే మరియు B(2,-5) మరియు C(4,6) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండానికి సమాంతరంగా ఉండే సరళరేఖ సమీకరణాన్ని కనుగొనడానికి ఈ దశలను అనుసరించండి:

1. BC యొక్క వాలును కనుగొనండి:
   (x₁,y₁) మరియు (x_2, y₂) బిందువుల గుండా వెళ్ళే రేఖ యొక్క వాలు m ఇలా ఇవ్వబడుతుంది:
   \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
   B(2,-5) మరియు C(4,6) నిరూపకాలను ప్రతిక్షేపించండి:
   \[ m = \frac{6 - (-5)}{4 - 2} = \frac{11}{2} \]
2. బిందువు-వాలు రూపాన్ని ఉపయోగించండి:
   కావలసిన రేఖ BC కి సమాంతరంగా ఉండటం వలన, దాని వాలు m = \(\frac{11}{2}\) . A(-1,3) గుండా వెళ్ళే రేఖ యొక్క బిందువు-వాలు రూపం:
   \[ y - y_1 = m(x - x_1) \]
   m = \(\frac{11}{2}\) మరియు A(-1,3) ని ప్రతిక్షేపించండి:
   \[ y - 3 = \frac{11}{2}(x - (-1)) \]
   సరళీకరించండి:
   \[ y - 3 = \frac{11}{2}(x + 1) \]
3. సాధారణ రూపంలో సమీకరణాన్ని రాయండి:
   భిన్నాన్ని తొలగించడానికి 2తో గుణించండి:
   \[ 2(y - 3) = 11(x + 1) \]
   విస్తరించి సరళీకరించండి:
   \[ 2y - 6 = 11x + 11 \]
   Ax + By + C = 0 సాధారణ రూపంలోకి మార్చండి:
   \[ 11x - 2y + 17 = 0 \]

చివరి సమాధానం:

A(-1, 3) గుండా వెళ్ళే మరియు BC కి సమాంతరంగా ఉండే సరళరేఖ సమీకరణం:

\[ \boxed{11x - 2y + 17 = 0} \]

ఇచ్చిన:

పాయింట్లు (p + 1, 1) మరియు (2p + 1, 3) కలిపే లైన్ పాయింట్ (2p + 2, 2p) గుండా వెళుతుంది.

వాడిన ఫార్ములా:

రెండు పాయింట్లు \((x_1, y_1)\) మరియు \((x_2, y_2)\) కలిపే పంక్తి యొక్క వాలు దీని ద్వారా ఇవ్వబడింది:

\( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

ఒక పాయింట్ \((x_3, y_3)\) ఈ లైన్‌పై ఉంటే, అప్పుడు లైన్ యొక్క సమీకరణం పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను సంతృప్తిపరచాలి:

\( y_3 - y_1 = m (x_3 - x_1) \)

లెక్కింపు:

పాయింట్లు: \((p + 1, 1)\), \((2p + 1, 3)\), \((2p + 2, 2p)\)

వాలు \( మీ \):

\( m = \frac{3 - 1}{2p + 1 - (p + 1)} = \frac{2}{p} \)

పాయింట్ \((2p + 2, 2p)\) లైన్‌లో ఉందో లేదో తనిఖీ చేయడానికి వాలును ఉపయోగించడం:

\( 2p - 1 = \frac{2}{p} (2p + 2 - (p + 1)) \)

⇒ \( 2p - 1 = \frac{2}{p} (p + 1) \)

⇒ \( 2p - 1 = \frac{2(p + 1)}{p} \)

⇒ \( 2p - 1 = 2 \)

⇒ \( 2p^2 - p - 2 = 0 \)

వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం:

\( 2p^2 - p - 2 = 0 \)

చతుర్భుజ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి \( p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) ఇక్కడ \( a = 2 \), \( b = -1 \), \( c = -2 \):

⇒ \( p = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \times 2 \times (-2)}}{2 \times 2} \)

⇒ \( p = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{4} \)

⇒ \( p = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{4} \)

⇒ \( p = \frac{1 + \sqrt{17}}{4} \) లేదా \( p = \frac{1 - \sqrt{17}}{4} \)

కాబట్టి, \( p \) యొక్క సరైన విలువలు \( \frac{-1}{2} \) మరియు -2, ఇది ఎంపిక 1కి అనుగుణంగా ఉంటుంది.

O(0, 0) మరియు A(2, 5) బిందువుల గుండా వెళ్ళే సరళరేఖ సమీకరణాన్ని కనుగొనడానికి, ఈ దశలను అనుసరించండి:

1. రేఖ వాలును కనుగొనండి:
   (x₁, y₁) మరియు (x₂, y₂) బిందువుల గుండా వెళ్ళే రేఖ వాలు m ఇలా ఇవ్వబడుతుంది:
   \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
   O(0, 0) మరియు A(2, 5) నిరూపకాలను ప్రతిక్షేపించండి:
   \[ m = \frac{5 - 0}{2 - 0} = \frac{5}{2} \]
2. బిందువు-వాలు రూపాన్ని ఉపయోగించండి:
   రేఖ యొక్క బిందువు-వాలు రూపం:
   \[ y - y_1 = m(x - x_1) \]
   వాలు m = \(\frac{5}{2} \) మరియు బిందువు O(0, 0) ను ఉపయోగించి:
   \[ y - 0 = \frac{5}{2}(x - 0) \]
   సరళీకరించండి:
   \[ y = \frac{5}{2}x \]
3. సమీకరణాన్ని ప్రామాణిక రూపంలో రాయండి:
   రేఖ యొక్క ప్రామాణిక రూపం Ax + By + C = 0. సమీకరణాన్ని తిరిగి అమర్చండి:
   \[ \frac{5}{2}x - y = 0 \]
   భిన్నాన్ని తొలగించడానికి 2తో గుణించండి:
   \[ 5x - 2y = 0 \]

చివరి సమాధానం:

O(0, 0) మరియు A(2, 5) బిందువుల గుండా వెళ్ళే సరళరేఖ సమీకరణం:

\[ \boxed{5x - 2y = 0} \]

మూలబిందువు గుండా వెళ్ళి, X-అక్షం యొక్క ధనాత్మక దిశతో 60⁰ కోణం చేసే సరళరేఖ సమీకరణాన్ని కనుగొనడానికి, ఈ దశలను అనుసరించండి:

1. రేఖ వాలును అర్థం చేసుకోండి:
   ఒక రేఖ వాలు m, అది X-అక్షం యొక్క ధనాత్మక దిశతో చేసే కోణం \(\theta\) తో ఈ సూత్రం ద్వారా సంబంధం కలిగి ఉంటుంది:
   \[ m = \tan(\theta) \]
   \(\theta = 60^\circ\) ఇవ్వబడింది, వాలు:
   \[ m = \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \]
2. బిందువు-వాలు రూపాన్ని ఉపయోగించండి:
   మూలబిందువు (0, 0) గుండా వెళ్ళే మరియు వాలు m కలిగిన రేఖ యొక్క బిందువు-వాలు రూపం:
   \[ y = mx \]
   m =\( \sqrt{3}\) ప్రతిక్షేపించండి:
   \[ y = \sqrt{3}x \]
3. సమీకరణాన్ని ప్రామాణిక రూపంలో రాయండి:
   ఒక రేఖ యొక్క ప్రామాణిక రూపం Ax + By + C = 0. సమీకరణాన్ని తిరిగి అమర్చండి:
   \[ \sqrt{3}x - y = 0 \]

చివరి సమాధానం:

మూలబిందువు గుండా వెళ్ళి, \(60^\circ \) X-అక్షం యొక్క ధనాత్మక దిశతో కోణం చేసే సరళరేఖ సమీకరణం:

\[ \boxed{\sqrt{3}x - y = 0} \]

A(-1,3) బిందువు గుండా వెళ్ళే మరియు B(2,-5) మరియు C(4,6) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండానికి సమాంతరంగా ఉండే సరళరేఖ సమీకరణాన్ని కనుగొనడానికి ఈ దశలను అనుసరించండి:

1. BC యొక్క వాలును కనుగొనండి:
   (x₁,y₁) మరియు (x_2, y₂) బిందువుల గుండా వెళ్ళే రేఖ యొక్క వాలు m ఇలా ఇవ్వబడుతుంది:
   \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
   B(2,-5) మరియు C(4,6) నిరూపకాలను ప్రతిక్షేపించండి:
   \[ m = \frac{6 - (-5)}{4 - 2} = \frac{11}{2} \]
2. బిందువు-వాలు రూపాన్ని ఉపయోగించండి:
   కావలసిన రేఖ BC కి సమాంతరంగా ఉండటం వలన, దాని వాలు m = \(\frac{11}{2}\) . A(-1,3) గుండా వెళ్ళే రేఖ యొక్క బిందువు-వాలు రూపం:
   \[ y - y_1 = m(x - x_1) \]
   m = \(\frac{11}{2}\) మరియు A(-1,3) ని ప్రతిక్షేపించండి:
   \[ y - 3 = \frac{11}{2}(x - (-1)) \]
   సరళీకరించండి:
   \[ y - 3 = \frac{11}{2}(x + 1) \]
3. సాధారణ రూపంలో సమీకరణాన్ని రాయండి:
   భిన్నాన్ని తొలగించడానికి 2తో గుణించండి:
   \[ 2(y - 3) = 11(x + 1) \]
   విస్తరించి సరళీకరించండి:
   \[ 2y - 6 = 11x + 11 \]
   Ax + By + C = 0 సాధారణ రూపంలోకి మార్చండి:
   \[ 11x - 2y + 17 = 0 \]

చివరి సమాధానం:

A(-1, 3) గుండా వెళ్ళే మరియు BC కి సమాంతరంగా ఉండే సరళరేఖ సమీకరణం:

\[ \boxed{11x - 2y + 17 = 0} \]

ఇచ్చిన:

పాయింట్లు (p + 1, 1) మరియు (2p + 1, 3) కలిపే లైన్ పాయింట్ (2p + 2, 2p) గుండా వెళుతుంది.

వాడిన ఫార్ములా:

రెండు పాయింట్లు \((x_1, y_1)\) మరియు \((x_2, y_2)\) కలిపే పంక్తి యొక్క వాలు దీని ద్వారా ఇవ్వబడింది:

\( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

ఒక పాయింట్ \((x_3, y_3)\) ఈ లైన్‌పై ఉంటే, అప్పుడు లైన్ యొక్క సమీకరణం పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను సంతృప్తిపరచాలి:

\( y_3 - y_1 = m (x_3 - x_1) \)

లెక్కింపు:

పాయింట్లు: \((p + 1, 1)\), \((2p + 1, 3)\), \((2p + 2, 2p)\)

వాలు \( మీ \):

\( m = \frac{3 - 1}{2p + 1 - (p + 1)} = \frac{2}{p} \)

పాయింట్ \((2p + 2, 2p)\) లైన్‌లో ఉందో లేదో తనిఖీ చేయడానికి వాలును ఉపయోగించడం:

\( 2p - 1 = \frac{2}{p} (2p + 2 - (p + 1)) \)

⇒ \( 2p - 1 = \frac{2}{p} (p + 1) \)

⇒ \( 2p - 1 = \frac{2(p + 1)}{p} \)

⇒ \( 2p - 1 = 2 \)

⇒ \( 2p^2 - p - 2 = 0 \)

వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం:

\( 2p^2 - p - 2 = 0 \)

చతుర్భుజ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి \( p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) ఇక్కడ \( a = 2 \), \( b = -1 \), \( c = -2 \):

⇒ \( p = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \times 2 \times (-2)}}{2 \times 2} \)

⇒ \( p = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{4} \)

⇒ \( p = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{4} \)

⇒ \( p = \frac{1 + \sqrt{17}}{4} \) లేదా \( p = \frac{1 - \sqrt{17}}{4} \)

కాబట్టి, \( p \) యొక్క సరైన విలువలు \( \frac{-1}{2} \) మరియు -2, ఇది ఎంపిక 1కి అనుగుణంగా ఉంటుంది.