Common Roots MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Common Roots - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఇవ్వబడింది:

సమీకరణాలు 2x² + kx - 5 = 0 మరియు x² - 3x - 4 = 0.

వీటికి ఒక ఉమ్మడి మూలం ఉంది.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ax² + bx + c = 0 అనే వర్గ సమీకరణానికి, α మరియు β లు మూలాలైతే:

మూలాల మొత్తం = -b/a

మూలాల లబ్ధం = c/a

గణన:

రెండవ సమీకరణం x² - 3x - 4 = 0 మూలాలను కనుగొందాం.

x² - 3x - 4 = 0 ను సాధించడం ద్వారా:

⇒ x² - 4x + x - 4 = 0

⇒ x(x - 4) + 1(x - 4) = 0

⇒ (x - 4)(x + 1) = 0

⇒ x = 4 లేదా x = -1

ఇప్పుడు, ఉమ్మడి మూలం 4 అని అనుకుందాం.

4 అనేది మొదటి సమీకరణం 2x² + kx - 5 = 0 యొక్క మూలం కాబట్టి, x = 4 ను దానిలో ప్రతిక్షేపించండి:

⇒ 2(4)² + k(4) - 5 = 0

⇒ 2(16) + 4k - 5 = 0

⇒ 32 + 4k - 5 = 0

⇒ 4k + 27 = 0

⇒ 4k = -27

⇒ k = -27/4

సరైన సమాధానం 2వ ఎంపిక.

భావన:

• α, β, γ లు ఒక ఘన సమీకరణం యొక్క మూలాలు అయితే, ఘన సమీకరణాన్ని ఈ విధంగా వ్రాయవచ్చు: x³ - (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + αγ)x - αβγ = 0.
• ఘన సమీకరణం ax3 + bx2 + cx + d = 0 రూపంలో ఉండి, α, β మరియు γ దాని మూలాలు అయితే:

i) \(\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}\)........(1)

ii) \(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a}\).........(2)

iii) \(\alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}\).........(3)

వివరణ:

2 మరియు 3 లు 2x3 + mx2 - 13x + n = 0 సమీకరణం యొక్క మూలాలు అని ఇవ్వబడింది

మూడవ మూలాన్ని δ అనుకుందాం.

(1) ను ఉపయోగించి,

2 + 3 + δ = \(-\frac{m}{2}\)

⇒ 5 + δ = \(-\frac{m}{2}\)........(4)

(2) ను ఉపయోగించి,

(2)(3) + 3δ + 2δ = \(\frac{-13}{2}\)

⇒ 6 + 5δ = \(\frac{-13}{2}\)

⇒ δ = \(-\frac{5}{2}\)

(3) ను ఉపయోగించి,

2 x 3 x δ = \(-\frac{n}{2}\)

\(⇒ 2 × 3 × -\frac{5}{2} = -\frac{n}{2}\)

⇒ n = 30

(4) ను ఉపయోగించి,

\(5+(-\frac{5}{2})=-\frac{m}{2}\)

⇒ m = -5

కాబట్టి, m = -5 మరియు n = 30.

భావన:

• α, β, γ లు ఒక ఘన సమీకరణం యొక్క మూలాలు అయితే, ఘన సమీకరణాన్ని ఈ విధంగా వ్రాయవచ్చు: x³ - (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + αγ)x - αβγ = 0.
• ఘన సమీకరణం ax3 + bx2 + cx + d = 0 రూపంలో ఉండి, α, β మరియు γ దాని మూలాలు అయితే:

i) \(\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}\)........(1)

ii) \(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a}\).........(2)

iii) \(\alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}\).........(3)

వివరణ:

2 మరియు 3 లు 2x3 + mx2 - 13x + n = 0 సమీకరణం యొక్క మూలాలు అని ఇవ్వబడింది

మూడవ మూలాన్ని δ అనుకుందాం.

(1) ను ఉపయోగించి,

2 + 3 + δ = \(-\frac{m}{2}\)

⇒ 5 + δ = \(-\frac{m}{2}\)........(4)

(2) ను ఉపయోగించి,

(2)(3) + 3δ + 2δ = \(\frac{-13}{2}\)

⇒ 6 + 5δ = \(\frac{-13}{2}\)

⇒ δ = \(-\frac{5}{2}\)

(3) ను ఉపయోగించి,

2 x 3 x δ = \(-\frac{n}{2}\)

\(⇒ 2 × 3 × -\frac{5}{2} = -\frac{n}{2}\)

⇒ n = 30

(4) ను ఉపయోగించి,

\(5+(-\frac{5}{2})=-\frac{m}{2}\)

⇒ m = -5

కాబట్టి, m = -5 మరియు n = 30.

ఇవ్వబడింది:

సమీకరణాలు 2x² + kx - 5 = 0 మరియు x² - 3x - 4 = 0.

వీటికి ఒక ఉమ్మడి మూలం ఉంది.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ax² + bx + c = 0 అనే వర్గ సమీకరణానికి, α మరియు β లు మూలాలైతే:

మూలాల మొత్తం = -b/a

మూలాల లబ్ధం = c/a

గణన:

రెండవ సమీకరణం x² - 3x - 4 = 0 మూలాలను కనుగొందాం.

x² - 3x - 4 = 0 ను సాధించడం ద్వారా:

⇒ x² - 4x + x - 4 = 0

⇒ x(x - 4) + 1(x - 4) = 0

⇒ (x - 4)(x + 1) = 0

⇒ x = 4 లేదా x = -1

ఇప్పుడు, ఉమ్మడి మూలం 4 అని అనుకుందాం.

4 అనేది మొదటి సమీకరణం 2x² + kx - 5 = 0 యొక్క మూలం కాబట్టి, x = 4 ను దానిలో ప్రతిక్షేపించండి:

⇒ 2(4)² + k(4) - 5 = 0

⇒ 2(16) + 4k - 5 = 0

⇒ 32 + 4k - 5 = 0

⇒ 4k + 27 = 0

⇒ 4k = -27

⇒ k = -27/4

సరైన సమాధానం 2వ ఎంపిక.

భావన:

• α, β, γ లు ఒక ఘన సమీకరణం యొక్క మూలాలు అయితే, ఘన సమీకరణాన్ని ఈ విధంగా వ్రాయవచ్చు: x³ - (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + αγ)x - αβγ = 0.
• ఘన సమీకరణం ax3 + bx2 + cx + d = 0 రూపంలో ఉండి, α, β మరియు γ దాని మూలాలు అయితే:

i) \(\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}\)........(1)

ii) \(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a}\).........(2)

iii) \(\alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}\).........(3)

వివరణ:

2 మరియు 3 లు 2x3 + mx2 - 13x + n = 0 సమీకరణం యొక్క మూలాలు అని ఇవ్వబడింది

మూడవ మూలాన్ని δ అనుకుందాం.

(1) ను ఉపయోగించి,

2 + 3 + δ = \(-\frac{m}{2}\)

⇒ 5 + δ = \(-\frac{m}{2}\)........(4)

(2) ను ఉపయోగించి,

(2)(3) + 3δ + 2δ = \(\frac{-13}{2}\)

⇒ 6 + 5δ = \(\frac{-13}{2}\)

⇒ δ = \(-\frac{5}{2}\)

(3) ను ఉపయోగించి,

2 x 3 x δ = \(-\frac{n}{2}\)

\(⇒ 2 × 3 × -\frac{5}{2} = -\frac{n}{2}\)

⇒ n = 30

(4) ను ఉపయోగించి,

\(5+(-\frac{5}{2})=-\frac{m}{2}\)

⇒ m = -5

కాబట్టి, m = -5 మరియు n = 30.

ఇవ్వబడింది:

సమీకరణాలు 2x² + kx - 5 = 0 మరియు x² - 3x - 4 = 0.

వీటికి ఒక ఉమ్మడి మూలం ఉంది.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ax² + bx + c = 0 అనే వర్గ సమీకరణానికి, α మరియు β లు మూలాలైతే:

మూలాల మొత్తం = -b/a

మూలాల లబ్ధం = c/a

గణన:

రెండవ సమీకరణం x² - 3x - 4 = 0 మూలాలను కనుగొందాం.

x² - 3x - 4 = 0 ను సాధించడం ద్వారా:

⇒ x² - 4x + x - 4 = 0

⇒ x(x - 4) + 1(x - 4) = 0

⇒ (x - 4)(x + 1) = 0

⇒ x = 4 లేదా x = -1

ఇప్పుడు, ఉమ్మడి మూలం 4 అని అనుకుందాం.

4 అనేది మొదటి సమీకరణం 2x² + kx - 5 = 0 యొక్క మూలం కాబట్టి, x = 4 ను దానిలో ప్రతిక్షేపించండి:

⇒ 2(4)² + k(4) - 5 = 0

⇒ 2(16) + 4k - 5 = 0

⇒ 32 + 4k - 5 = 0

⇒ 4k + 27 = 0

⇒ 4k = -27

⇒ k = -27/4

సరైన సమాధానం 2వ ఎంపిక.