Sequences and Series MCQ Quiz in தமிழ் - Objective Question with Answer for Sequences and Series - இலவச PDF ஐப் பதிவிறக்கவும்

பயன்படுத்தப்பட்ட கருத்து:

இயல் எண்களுடைய கனசதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைs = = (n × (n + 1) / 2)²

கணக்கீடு:

இந்த வழக்கில், n = 8 (நாம் 8 எண்கள் வரைக்குமான கனசதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிக்க விரும்புவதால்).

⇒ கூட்டுத்தொகை = (8 × (8 + 1) / 2)²

⇒ கூட்டுத்தொகை = (8 × 9 / 2)²

⇒ கூட்டுத்தொகை = (4 × 9)²

⇒ கூட்டுத்தொகை = 36²

⇒ கூட்டுத்தொகை = 1296

∴ முதல் 8 இயல் எண்களுக்கான கனசதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை 1296.

கொடுக்கப்பட்டது:

4 ஆல் முழுமையாக வகுபடும் அனைத்து இரு இலக்க எண்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் காண வேண்டும்.

சூத்திரம்:

வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை = \(\sum_{i=1}^{n} (\text{number})^2\)

கணக்கீடு:

4 ஆல் வகுபடும் இரு இலக்க எண்கள்: 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96

வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை = 12² + 16² + 20² + 24² + 28² + 32² + 36² + 40² + 44² + 48² + 52² + 56² + 60² + 64² + 68² + 72² + 76² + 80² + 84² + 88² + 92² + 96²

⇒ வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை = 144 + 256 + 400 + 576 + 784 + 1024 + 1296 + 1600 + 1936 + 2304 + 2704 + 3136 + 3600 + 4096 + 4624 + 5184 + 5776 + 6400 + 7056 + 7744 + 8464 + 9216

⇒ வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை = 78320

4 ஆல் முழுமையாக வகுபடும் அனைத்து இரு இலக்க எண்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 78320 ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்டது:

n உறுப்புகளின் தொடர் 6 + 66 + 666 +...

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்ட தொடர் வடிவியலில் இல்லை.

நாம் S_n = 6 (1 + 11 + 111 +.... n உறுப்புகளை) கண்டுபிடிக்க வேண்டும்

⇒ 6/9 (9 + 99 + 999 + .. முதல் n வரை) (9 ஆல் பெருக்கி வகுக்கவும்)

⇒ 2/3 ([(10 - 1) + (100 - 1) + (1000 - 1) + ..இலிருந்து n உறுப்புகள்]

⇒ 2/3 [(10 + 102 + 103 + 104.. முதல் n வரை) - n]

∴ S_n = 2/3 [10(10ⁿ - 1)/9 - n]

∴ விருப்பம் 2 சரியானது.

கொடுக்கப்பட்டது:

S_n = 1092

பயன்படுத்திய சூத்திரம்:

S_n =\(\frac{a(r^n - 1)}{r - 1}\)

am = an எனில்

பின்னர் m = n

கணக்கீடு:

a = 3

r = a2/a1 = 9/3 = 3 

⇒ 1092 = \(\frac{3(3^n - 1)}{3 - 1}\)

⇒ 1092 ×2 = \(3(3^n - 1)\) 

⇒ 728 = 3n - 1

⇒ 729 = 3n

⇒ 36 = 3n

⇒ n = 6

∴ 6 உறுப்புகளின் கூடுதல் 1092 ஆக இருக்கும்.

சரியான விருப்பம் 3 அதாவது 6

கொடுக்கப்பட்டது:

இரண்டு எண்களின் இசைச் சராசரி மற்றும் பெருக்கல் சராசரி முறையே 10 மற்றும் 12 ஆகும்

பயன்படுத்தப்பட்ட கருத்து:

(பெருக்கல் சராசரி) ² = இசைச் சராசரி x கூட்டு சராசரி

கணக்கீடுகள்:

மேலே கொடுக்கப்பட்ட சூத்திரத்தின் படி

(12) ² = 10 x கூட்டு சராசரி

⇒ கூட்டு சராசரி = 144/10

⇒ 14.4

∴ விருப்பம் 4 சரியான பதிலாக இருக்கும்.

மாற்று முறை

கருத்து:

a மற்றும் b இடையே AM = \(a+b \over 2\)

a மற்றும் b இடையே GM = \(\sqrt{ab} \)

a மற்றும் b இடையே HM = \(2ab\ over a+b \)

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்டவை, GM = 12, HM = 10

\(GM = \sqrt{ab} \)

\(12^2 = ab\)

ab = 144 ........(1)

\(HM=\frac{2ab}{a+b}\)

\(10=\frac{2ab}{a+b}\)

2ab = 10a + 10b

ab = 5 (a + b)........(2)

சமன்பாடு (1) மற்றும் (2) இலிருந்து

144 = 5 (a + b)

\(\frac{144}{5}=a+b\)

\(\frac{144}{10}=\frac{a+b}{2}\)

\(\frac{a+b}{2}=14.4\)

ஆனால், நாம் அறிந்த படி

a மற்றும் b இடையே AM = \(a+b \over 2\)

எனவே, AM = 14.4

கருத்து:

= \({s_\infty } = \;\frac{a}{{1\; - \;r}}\); |r| < 1

கணக்கீடு:

இங்கே, தொடரின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் \(3 - 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{9} + \ldots \)

கருத்து:

• பொது வித்தியாசம் “d”= a2 – a1 = a3 – a2 = …. = an – an – 1
• A.P இன் n வது எண் ஆனது a_n = a + (n – 1) d ஆல் வழங்கப்படுகிறது

an = a + (n – 1) d

146 = 2 + (n - 1) (4)

⇒ n - 1 = 144/4

⇒ n = 36 + 1 = 37

a₁₉ = 2 + (19 - 1) × 4

= 2 + 72 

= 74

எனவே, விருப்பம் (3) சரியானது.

கருத்து:

• பொதுவான விகிதம் = r = \(\frac{{{{\rm{a}}_2}}}{{{{\rm{a}}_1}}} = \frac{{{{\rm{a}}_3}}}{{{{\rm{a}}_2}}} = \ldots = \frac{{{{\rm{a}}_{\rm{n}}}}}{{{{\rm{a}}_{{\rm{n}} - 1}}}}\)
• பெருக்குத்தொடரின் உறுப்பு a_n = arn−1
• பெருக்குத்தொடரின் n உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை = sn = \(\frac{{{\rm{a\;}}\left( {{{\rm{r}}^{\rm{n}}} - 1} \right)}}{{{\rm{r}} - {\rm{\;}}1}}\); இங்கே r >1
• பெருக்குத்தொடரின் n உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை = sn = \(\frac{{{\rm{a\;}}\left( {1 - {\rm{\;}}{{\rm{r}}^{\rm{n}}}} \right)}}{{1 - {\rm{\;r}}}}\); இங்கே r <1
• முடிவிலி பெருக்குத்தொடரின் கூட்டுத்தொகை = \({{\rm{s}}_\infty } = {\rm{\;}}\frac{{\rm{a}}}{{1{\rm{\;}} - {\rm{\;r}}}}{\rm{\;}}\) ; |r| < 1

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்ட தொடர் 4, 8, 16, ...

இங்கே, a = 4, r = 2

n எண்களின் கூட்டுத்தொகை = s_n = 2044

கண்டறிவதற்கு: n நாம் அறிந்தபடி, பெருக்குத்தொடரின் n உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை = s_n = \(\frac{{{\rm{a\;}}\left( {{{\rm{r}}^{\rm{n}}} - 1} \right)}}{{{\rm{r}} - {\rm{\;}}1}}\); இங்கே r >1

∴ sn = \(\frac{{{\rm{4\;}}\left( {{{\rm{2}}^{\rm{n}}} - 1} \right)}}{{{\rm{2}} - {\rm{\;}}1}}\)

2044 = 4 × (2ⁿ - 1)

⇒ 511 = (2n - 1)

⇒ 2ⁿ = 512

⇒ 2n = 2⁹

∴ n = 9

கருத்து:

வடிவியல் சராசரி n எண்களின் பெருக்கத்தின் n வது மூலமாக வரையறுக்கப்படுகிறது.

தரவுத்தொகுப்பு \(\rm {\textstyle \left\{a_{1},a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}\right\}}\) இன் வடிவியல் சராசரி:

\(\rm GM = \rm {\textstyle \left\{a_{1}\times a_{2}\times\,\ldots \times\,a_{n}\right\}}^{\frac{1}{n}}\)

கணக்கீடு:

கண்டுபிடிக்க வேண்டியவை: 6, 8, 16 மற்றும் 27 இன் வடிவியல் சராசரி

இங்கே n = 4

இப்போது,

 \(\rm GM = \rm ({{6 \times 8 \times 16 \times 27}})^{\frac{1}{4}}\)

\(= \rm ({{2 \times 3 \times 2^3 \times 2^4 \times 3^3}})^{\frac{1}{4}} \\ =(2^8 \times 3^4)^{\frac{1}{4}}\\ = (2^2 \times 3)\\=12\)

கருத்து:

a1, a2,...,an எண்களின் வடிவியல் சராசரி ⇔ G = 

\(\rm (a_1\times a_2\cdots \times a_n)^{\frac 1 n}\) ஆல் வழங்கப்படுகிறது
 

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்ட தரவு: 2, 4, 8,16, 32?

பெருக்கல் சராசரி  = \((2 \times 4 \times8 \times 16 \times 32)^{\frac 1 5}\)

\(=(2^1 \times 2^2\times 2^3\times 2^4\times 2^5)^{\frac1 5}\)

\(=(2^{15})^{\frac1 5}\)

= 2³

= 8

எனவே, விருப்பம் (3) சரியானது.

கருத்து:

a, b, c கூட்டுத்தொடரில் (AP) இருந்தால்

a + c = 2b

கணக்கீடு:

கூட்டுத்தொடரின் மூன்றுஎண்கள்

a - d, a, a + d

கேள்வியின் படி,

a - d + a + a + d = 51

⇒ 3a = 51

⇒ a = 17 ----(1)

மேலும், கேள்வியின் படி

(a - d)(a + d) = 273

∵ (x - y)(x + y) = x² - y²

⇒ a² - d² = 273

⇒ 289 - d² = 273 [சமன்பாட்டிலிருந்து (1)]

⇒ d² = 16

⇒ d = 4

பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரம்:

a, b, c ஆகியவை AP இல் இருந்தால்

2b = a + c

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்டது,

\(\frac{1}{b+c},\ \frac{1}{c+a},\ \frac{1}{a+b}\) AP இல் உள்ளன,

⇒ \(\frac{2}{c+a}=\ \frac{1}{b+c}+\ \frac{1}{a+b}\)

⇒ \(\frac{2}{c+a}=\ \frac{b+c + a +b }{(a+b)(b+c)}\)

⇒ 2(a + b)(b + c) = (a + c)(a + 2b + c)

⇒ 2ab + 2ac + 2b2 + 2bc = a2 + 2ab + 2ac + 2bc + c2

⇒ 2b2 = a2 + c2

எனவே, a 2 , b 2 , c 2 ஆகியவை AP இல் உள்ளன.

கருத்து:

a 1 , a 2 , a 3 வரிசையை கருத்தில் கொள்வோம் .... a n என்பது AP

பொதுவான வேறுபாடு “d”= a 2 – a 1 = a 3 – a 2 =…. = a n – a n – 1

AP இன் n வது எண் வழங்கப்படுகிறது

T n = a + (n – 1) d

எங்கே,

a = முதல் எண், d = பொதுவான வேறுபாடு, n = சொற்களின் எண்ணிக்கை,

T n = n வது எண் 

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்ட தொடர் உள்ளது

5, 8, 11, 14,... என்பது 320

தொடரின் n ^வது கால அளவு 320 ஆகும்

எனவே,

a = 5, d = 3, Tn = 320

∵ Tn = a + (n – 1) d

320 = 5 + (n - 1) × 3

⇒ 105 = n - 1

⇒ n = 106

Additional Information முதல் n விதிமுறைகளின் தொகை

S  = \(\rm \frac{n}{2}\) [2a + (n - 1) × d]

S = \(\rm \frac{n}{2}\) (a + l)