Area under the curve MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Area under the curve - मोफत PDF डाउनलोड करा

गणना:

अन्वस्ताचे समीकरण: y² = 4kx ------(1)

समजा, O हा अन्वस्ताचा शिरोबिंदू, S हा नाभिबिंदू आणि LL' ही नाभीय रेषा आहे.

नाभीय रेषेचे समीकरण: x = k 

येथे अन्वस्त x-अक्षाभोवती सममित आहे.

आवश्यक क्षेत्रफळ, A = 2(OSL चे क्षेत्रफळ)

⇒ आवश्यक क्षेत्रफळ, A = 2 \(\displaystyle \int_0^ky\ dx\)

⇒ A = 2 \(\displaystyle \int_0^k2√ k\ √ x\ dx\)

⇒ A = 2.2√k \(\displaystyle \int_0^k \ x^{\frac{1}{2}} dx\)

⇒ A = 4√k \(\displaystyle \ \left [ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_0^k \)

⇒ A = \(\displaystyle \frac{8}{3}\ \sqrt k\ [k^\frac{3}{2}-0^\frac{3}{2}]\)

⇒ A = \(\displaystyle \frac{8}{3}\ k^2\)

दिलेल्या अन्वस्ताचे क्षेत्रफळ 24 आहे.

⇒ 24 = \(\displaystyle \frac{8}{3}\ k^2\)

⇒ k = ± 3

जसे k > 0 मूल्य आहे, म्हणून, k = 3.

∴ k चे मूल्य 3 आहे.

स्पष्टीकरण:

वर्तुळाचे समीकरण x² + y² = a² याद्वारे दर्शविले आहे

समजा पट्टी y-दिशेने घेतली आणि ती 0 ते 'a' मध्ये एकात्मित केली तर यामुळे चौकोनाच्या पहिल्या चतुर्थांशाचे क्षेत्रफळ मिळेल आणि वर्तुळाचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी 4 ने गुणाकार करावा.

\(y = \sqrt {x^2 - a^2}\)

चौकोनाच्या चतुर्थांशाचे क्षेत्रफळ = \(\mathop \smallint \limits_0^a y\;dx\) = \(\mathop \smallint \limits_0^a \sqrt {{a^2} - {x^2}} \;dx\)

वर्तुळाचे क्षेत्रफळ = 4 × \(\mathop \smallint \limits_0^a \sqrt {{a^2} - {x^2}} \;dx\)

संकल्पना:

एकीकरणाद्वारे वक्र अंतर्गत क्षेत्र:

क्षैतिज बेरीज करून या वक्राखालील क्षेत्रफळ शोधा.

या प्रकरणात, क्षेत्रफळ आयताची बेरीज आहे, उंची y = f(x) आणि रुंदी dx आहे.

आपल्याला डावीकडून उजवीकडे बेरीज करणे आवश्यक आहे.

∴ क्षेत्रफळ = \( \mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{ydx}} = {\rm{\;}}\mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}}\)

गणना:

येथे, आपल्याला वक्र y = x 2 , x-अक्ष आणि अंक x = -1 आणि x = 2 यांनी बांधलेल्या प्रदेशाचे क्षेत्रफळ शोधावे लागेल.

तर, दिलेल्या वक्रांनी बंद केलेले क्षेत्रफळ \(\rm \mathop \int \nolimits_{-1}^2{x^2}\;dx\) दिले आहे.

आपल्याला माहित आहे की, \(\smallint {{\rm{x}}^{\rm{n}}}{\rm{dx}} = \frac{{{{\rm{x}}^{{\rm{n}} + 1}}}}{{{\rm{n}} + 1}} + {\rm{C}}\)

क्षेत्रफळ = \(\rm \mathop \int \nolimits_{-1}^2{x^2}\;dx\)

= \( \rm \left[ {\frac{{{x^3}}}{3}} \right]_{-1}^2\)

= \(\left[\frac 83 - \frac {-1}{3}\right] = \frac 93=3\)

क्षेत्रफळ = 3 चौरस. एकक.

संकल्पना:

x = a आणि x = b मधील वक्र y = f(x ) अंतर्गत क्षेत्रफळ (A) दिलेले आहे,

A = \(\rm \displaystyle\int_a^b f(x) \ dx\)

गणना:

येथे, वक्र x = f(y) आणि रेषा y = a आणि y = b

∴क्षेत्रफळ = \(\rm \int _a^bf(y)dy \cdots (\text{function is f(y)})\)

= \(\rm \displaystyle\int_a^b x \ dy\)

(∵ f(y) = x)

म्हणून, पर्याय (3) योग्य आहे.

संकल्पना:

|x| < a ⇒ - a < x < a

x-अक्षाचे समीकरण y = 0 द्वारे दिले जाते

जर y = a ≠ 0 आणि a > 0 असेल, तर y = a हे x-अक्षाच्या समांतर आणि x-अक्षाच्या वर असलेल्या रेषेचे समीकरण दर्शवते.

y = a ≠ 0 आणि a < 0 असल्यास, y = a हे x-अक्षाच्या समांतर आणि x-अक्षाच्या खाली असलेल्या रेषेचे समीकरण दर्शवते.

गणना:

दिलेल्याप्रमाणे: |x| < 5, y = 0 आणि y = 8

खालील आकृतीत दर्शविल्याप्रमाणे वरील समीकरणे प्लॉट करून आणि समीकरण समतल समतलात:

छायांकित भाग दिलेल्या समीकरणांनी आणि समीकरणाने बांधलेला प्रदेश दर्शवतो.

जसे आपण पाहू शकतो की बद्ध प्रदेश हा लांबी l = 10 एकके आणि रुंदी b = 8 एकके असलेला आयत आहे.

⇒ बांधलेल्या प्रदेशाचे क्षेत्रफळ = l × b = 10 × 8 = 80 चौरस. एकके

स्पष्टीकरण:

वर्तुळाचे समीकरण x² + y² = a² याद्वारे दर्शविले आहे

समजा पट्टी y-दिशेने घेतली आणि ती 0 ते 'a' मध्ये एकात्मित केली तर यामुळे चौकोनाच्या पहिल्या चतुर्थांशाचे क्षेत्रफळ मिळेल आणि वर्तुळाचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी 4 ने गुणाकार करावा.

\(y = \sqrt {x^2 - a^2}\)

चौकोनाच्या चतुर्थांशाचे क्षेत्रफळ = \(\mathop \smallint \limits_0^a y\;dx\) = \(\mathop \smallint \limits_0^a \sqrt {{a^2} - {x^2}} \;dx\)

वर्तुळाचे क्षेत्रफळ = 4 × \(\mathop \smallint \limits_0^a \sqrt {{a^2} - {x^2}} \;dx\)

संकल्पना:

एकीकरणाद्वारे वक्र अंतर्गत क्षेत्र:

क्षैतिज बेरीज करून या वक्राखालील क्षेत्रफळ शोधा.

या प्रकरणात, क्षेत्रफळ आयताची बेरीज आहे, उंची y = f(x) आणि रुंदी dx आहे.

आपल्याला डावीकडून उजवीकडे बेरीज करणे आवश्यक आहे.

∴ क्षेत्रफळ = \( \mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{ydx}} = {\rm{\;}}\mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}}\)

गणना:

येथे, आपल्याला वक्र y = x 2 , x-अक्ष आणि अंक x = -1 आणि x = 2 यांनी बांधलेल्या प्रदेशाचे क्षेत्रफळ शोधावे लागेल.

तर, दिलेल्या वक्रांनी बंद केलेले क्षेत्रफळ \(\rm \mathop \int \nolimits_{-1}^2{x^2}\;dx\) दिले आहे.

आपल्याला माहित आहे की, \(\smallint {{\rm{x}}^{\rm{n}}}{\rm{dx}} = \frac{{{{\rm{x}}^{{\rm{n}} + 1}}}}{{{\rm{n}} + 1}} + {\rm{C}}\)

क्षेत्रफळ = \(\rm \mathop \int \nolimits_{-1}^2{x^2}\;dx\)

= \( \rm \left[ {\frac{{{x^3}}}{3}} \right]_{-1}^2\)

= \(\left[\frac 83 - \frac {-1}{3}\right] = \frac 93=3\)

क्षेत्रफळ = 3 चौरस. एकक.

संकल्पना:

x = a आणि x = b मधील वक्र y = f(x ) अंतर्गत क्षेत्रफळ (A) दिलेले आहे,

A = \(\rm \displaystyle\int_a^b f(x) \ dx\)

गणना:

येथे, वक्र x = f(y) आणि रेषा y = a आणि y = b

∴क्षेत्रफळ = \(\rm \int _a^bf(y)dy \cdots (\text{function is f(y)})\)

= \(\rm \displaystyle\int_a^b x \ dy\)

(∵ f(y) = x)

म्हणून, पर्याय (3) योग्य आहे.

गणना:

अन्वस्ताचे समीकरण: y² = 4kx ------(1)

समजा, O हा अन्वस्ताचा शिरोबिंदू, S हा नाभिबिंदू आणि LL' ही नाभीय रेषा आहे.

नाभीय रेषेचे समीकरण: x = k 

येथे अन्वस्त x-अक्षाभोवती सममित आहे.

आवश्यक क्षेत्रफळ, A = 2(OSL चे क्षेत्रफळ)

⇒ आवश्यक क्षेत्रफळ, A = 2 \(\displaystyle \int_0^ky\ dx\)

⇒ A = 2 \(\displaystyle \int_0^k2√ k\ √ x\ dx\)

⇒ A = 2.2√k \(\displaystyle \int_0^k \ x^{\frac{1}{2}} dx\)

⇒ A = 4√k \(\displaystyle \ \left [ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_0^k \)

⇒ A = \(\displaystyle \frac{8}{3}\ \sqrt k\ [k^\frac{3}{2}-0^\frac{3}{2}]\)

⇒ A = \(\displaystyle \frac{8}{3}\ k^2\)

दिलेल्या अन्वस्ताचे क्षेत्रफळ 24 आहे.

⇒ 24 = \(\displaystyle \frac{8}{3}\ k^2\)

⇒ k = ± 3

जसे k > 0 मूल्य आहे, म्हणून, k = 3.

∴ k चे मूल्य 3 आहे.

संकल्पना:

|x| < a ⇒ - a < x < a

x-अक्षाचे समीकरण y = 0 द्वारे दिले जाते

जर y = a ≠ 0 आणि a > 0 असेल, तर y = a हे x-अक्षाच्या समांतर आणि x-अक्षाच्या वर असलेल्या रेषेचे समीकरण दर्शवते.

y = a ≠ 0 आणि a < 0 असल्यास, y = a हे x-अक्षाच्या समांतर आणि x-अक्षाच्या खाली असलेल्या रेषेचे समीकरण दर्शवते.

गणना:

दिलेल्याप्रमाणे: |x| < 5, y = 0 आणि y = 8

खालील आकृतीत दर्शविल्याप्रमाणे वरील समीकरणे प्लॉट करून आणि समीकरण समतल समतलात:

छायांकित भाग दिलेल्या समीकरणांनी आणि समीकरणाने बांधलेला प्रदेश दर्शवतो.

जसे आपण पाहू शकतो की बद्ध प्रदेश हा लांबी l = 10 एकके आणि रुंदी b = 8 एकके असलेला आयत आहे.

⇒ बांधलेल्या प्रदेशाचे क्षेत्रफळ = l × b = 10 × 8 = 80 चौरस. एकके

संकल्पना:

Y-अक्षासह परिवलयाचे समीकरण: (x – h)² = ±4a (y - k),

येथे, बिंदू(h, k) हा परिवलयाचा शिरोबिंदू आहे , 4a =नाभीलंबाची लांबी आणि नाभी (0, ±a)

गणना:

दिलेले परिवलय: x² = 20y

x² = 4ay ⇒ a = 5 आणि शिरोबिंदू= (0, 0)

∴ नाभी = (0, 5)

x² = 20(5) = 100                

⇒ x = ± 10

AB = 10 + 10 = 20

OM = 5

∴ त्रिकोनाचे क्षेत्रफळ OAB = ½ × पाया × उंची

= 1/2 × (20) × (5)

= 50 चौरस युनिट

म्हणून, पर्याय (4) योग्य आहे.

स्पष्टीकरण:

वर्तुळाचे समीकरण x² + y² = a² याद्वारे दर्शविले आहे

समजा पट्टी y-दिशेने घेतली आणि ती 0 ते 'a' मध्ये एकात्मित केली तर यामुळे चौकोनाच्या पहिल्या चतुर्थांशाचे क्षेत्रफळ मिळेल आणि वर्तुळाचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी 4 ने गुणाकार करावा.

\(y = \sqrt {x^2 - a^2}\)

चौकोनाच्या चतुर्थांशाचे क्षेत्रफळ = \(\mathop \smallint \limits_0^a y\;dx\) = \(\mathop \smallint \limits_0^a \sqrt {{a^2} - {x^2}} \;dx\)

वर्तुळाचे क्षेत्रफळ = 4 × \(\mathop \smallint \limits_0^a \sqrt {{a^2} - {x^2}} \;dx\)

संकल्पना:

एकीकरणाद्वारे वक्र अंतर्गत क्षेत्र:

क्षैतिज बेरीज करून या वक्राखालील क्षेत्रफळ शोधा.

या प्रकरणात, क्षेत्रफळ आयताची बेरीज आहे, उंची y = f(x) आणि रुंदी dx आहे.

आपल्याला डावीकडून उजवीकडे बेरीज करणे आवश्यक आहे.

∴ क्षेत्रफळ = \( \mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{ydx}} = {\rm{\;}}\mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}}\)

गणना:

येथे, आपल्याला वक्र y = x 2 , x-अक्ष आणि अंक x = -1 आणि x = 2 यांनी बांधलेल्या प्रदेशाचे क्षेत्रफळ शोधावे लागेल.

तर, दिलेल्या वक्रांनी बंद केलेले क्षेत्रफळ \(\rm \mathop \int \nolimits_{-1}^2{x^2}\;dx\) दिले आहे.

आपल्याला माहित आहे की, \(\smallint {{\rm{x}}^{\rm{n}}}{\rm{dx}} = \frac{{{{\rm{x}}^{{\rm{n}} + 1}}}}{{{\rm{n}} + 1}} + {\rm{C}}\)

क्षेत्रफळ = \(\rm \mathop \int \nolimits_{-1}^2{x^2}\;dx\)

= \( \rm \left[ {\frac{{{x^3}}}{3}} \right]_{-1}^2\)

= \(\left[\frac 83 - \frac {-1}{3}\right] = \frac 93=3\)

क्षेत्रफळ = 3 चौरस. एकक.

संकल्पना:

x = a आणि x = b मधील वक्र y = f(x ) अंतर्गत क्षेत्रफळ (A) दिलेले आहे,

A = \(\rm \displaystyle\int_a^b f(x) \ dx\)

गणना:

येथे, वक्र x = f(y) आणि रेषा y = a आणि y = b

∴क्षेत्रफळ = \(\rm \int _a^bf(y)dy \cdots (\text{function is f(y)})\)

= \(\rm \displaystyle\int_a^b x \ dy\)

(∵ f(y) = x)

म्हणून, पर्याय (3) योग्य आहे.

गणना:

अन्वस्ताचे समीकरण: y² = 4kx ------(1)

समजा, O हा अन्वस्ताचा शिरोबिंदू, S हा नाभिबिंदू आणि LL' ही नाभीय रेषा आहे.

नाभीय रेषेचे समीकरण: x = k 

येथे अन्वस्त x-अक्षाभोवती सममित आहे.

आवश्यक क्षेत्रफळ, A = 2(OSL चे क्षेत्रफळ)

⇒ आवश्यक क्षेत्रफळ, A = 2 \(\displaystyle \int_0^ky\ dx\)

⇒ A = 2 \(\displaystyle \int_0^k2√ k\ √ x\ dx\)

⇒ A = 2.2√k \(\displaystyle \int_0^k \ x^{\frac{1}{2}} dx\)

⇒ A = 4√k \(\displaystyle \ \left [ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_0^k \)

⇒ A = \(\displaystyle \frac{8}{3}\ \sqrt k\ [k^\frac{3}{2}-0^\frac{3}{2}]\)

⇒ A = \(\displaystyle \frac{8}{3}\ k^2\)

दिलेल्या अन्वस्ताचे क्षेत्रफळ 24 आहे.

⇒ 24 = \(\displaystyle \frac{8}{3}\ k^2\)

⇒ k = ± 3

जसे k > 0 मूल्य आहे, म्हणून, k = 3.

∴ k चे मूल्य 3 आहे.