Application of Determinants MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Application of Determinants - मोफत PDF डाउनलोड करा
Last updated on Mar 15, 2025
Latest Application of Determinants MCQ Objective Questions
Application of Determinants Question 1:
आणि
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Determinants Question 1 Detailed Solution
समीकरणांच्या नैकविध प्रणालीचा सारणिक शून्येतर असेल, तरच एक अद्वितीय क्षुल्लकेतर उकल असते. जर हा सारणिक शून्य असेल, तर प्रणालीकडे एकतर कोणतीही उकल नसते किंवा अनंत उकल असतात.
आता हे
आता प्रणालीची कोणतेही उकल नसण्यासाठी,
म्हणून
अशाप्रकारे,
म्हणून, उकलींची संख्या
Application of Determinants Question 2:
जर α, β ≠ 0, आणि f(n) = αⁿ + βⁿ, आणि
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Determinants Question 2 Detailed Solution
गणना:
दिलेले आहे, f(n) = αn + βn
⇒ f(1) = α + β, f(2) = α² +β², f(3) = α³ + β³ आणि f(4) = α⁴ + β⁴
∴ Δ =
=
=
=
= (1 - α)²(1 - β)²(α - β)²
= K(1 - α)²(1 - β)²(α - β)² (दिलेले आहे)
∴ K = 1
∴ K चे मूल्य 1 आहे.
पर्याय 3 योग्य आहे.
Application of Determinants Question 3:
(α, β) या रेखीय समीकरणांची प्रणाली असलेल्या क्रमबद्ध जोडीमध्ये
(1 + α)x + βy + z = 2
αx + (1 + β)y + z = 3
αx + βy + 2z = 2 कोणती एक एकमात्र उकल आहे?
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Determinants Question 3 Detailed Solution
संकल्पना:
- दिलेल्या समीकरणांसाठी स्थिर संज्ञा शून्य नसल्यामुळे Δ1, Δ2, आणि Δ3 ही मूल्ये शून्य असू शकतात किंवा 0 असू शकत नाहीत.
- एकमात्र उकलसाठी, गुणांकाच्या निर्धारकाचे मूल्य म्हणजे Δ शून्य नसावे.
Δ ≠ 0
जेथे Δ हा दिलेल्या एकसंध समीकरणाच्या गुणांकाने तयार केलेला निर्धारक आहे,
गणना
दिलेले आहे:
(1 + α)x + βy + z = 0
αx + (1 + β)y + z = 0
αx + βy + 2z = 0
⇒ Δ = (α + β + 2)
⇒ Δ = (α + β + 2)
⇒ Δ = (α + β + 2)
- एकमात्र उकलसाठी,
⇒ α + β + 2 ≠ 0
⇒ α + β ≠ -2.
- ही स्थिती केवळ अंतराल(2, 4) साठी समाधानकारक आहे
- तर, योग्य उत्तर पर्याय 3 आहे.
Application of Determinants Question 4:
जर समीकरण प्रणाली, x + 2y - 3z = 1, (k + 3)z = 3, (2k + 1) x + z = 0 ही विसंगत असेल, तर k चे मूल्य किती आहे?
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Determinants Question 4 Detailed Solution
संकल्पना:
- दिलेल्या समीकरणांसाठी स्थिर संज्ञा शून्य नसल्यामुळे Δ1, Δ2, आणि Δ3 ही मूल्ये शून्य असू शकतात किंवा 0 असू शकत नाहीत.
- उकल विसंगत असल्याने, दिलेल्या समीकरणांसाठी कोणतीही संभाव्य उकल नाही ते केवळ तेव्हाच शक्य आहे जेव्हा केवळ गुणांक निर्धारक म्हणजे Δ शून्य असेल आणि Δ1, Δ2, आणि Δ3 पैकी किमान एक शून्य असेल.
- जिथे Δ हा दिलेल्या समीकरणाच्या गुणांकाने बनलेला निर्धारक आहे आणि Δi हा दिलेल्या समीकरणाच्या स्थिर संज्ञा स्तंभासह ith स्तंभाच्या जागी तयार होणारा निर्धारक आहे
गणना
दिलेले आहे:
- समीकरण विसंगत होण्यासाठी,
Δ = 0
⇒ Δ =
तसेच, Δ1 = \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 3}\\ 3&0&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right|\) ≠ 0
- त्यामुळे ती प्रणाली k साठी विसंगत आहे = - 3.
- म्हणून, योग्य उत्तर पर्याय 1 आहे.
Application of Determinants Question 5:
k च्या मूल्यांची संख्या ज्यासाठी रेखीय समीकरणे ही आहेत
4x + ky + 2z = 0
kx + 4y + z = 0
2x + 2y + z = 0
त्यांची शून्य नसलेली उकल पुढीलपैकी कोणती आहे?
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Determinants Question 5 Detailed Solution
संकल्पना:
- एकसंध समीकरणाच्या दिलेल्या प्रणालीसाठी Δ1, Δ2 आणि Δ3 चे मूल्य शून्य असल्याने शून्य नसलेल्या किंवा क्षुल्लकेतर उकलसाठी,
Δ = 0
जेथे Δ हा दिलेल्या एकसंध समीकरणाच्या x, y आणि z च्या गुणांकाने तयार केलेला निर्धारक आहे.
गणना
दिलेले आहे:
⇒ Δ = 0
⇒ 8 - k(k - 2) + 2(2k - 8) = 0
⇒ 8 - k2 + 2k + 4k -16 = 0
⇒ - k2 + 6k - 8 = 0
⇒ k2 - 6k + 8 = 0
⇒ (k - 2) (k - 4) = 0
⇒ k = 2, 4
∴ k च्या मूल्यांची संख्या 2 आहे.
म्हणून, योग्य उत्तर पर्याय 2 आहे.
Top Application of Determinants MCQ Objective Questions
जर
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Determinants Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
जर
क्षेत्रफळ =
निर्धारकांचे गुणधर्म
गणना:
जर
क्षेत्रफळ =
दिलेले आहे: क्षेत्रफळ 'k' चौरस एकक आहे
⇒ k =
⇒
आता,
=
=
= 16.(2k)(2k)
= 64k2
जर (a, b), (x1, y1) आणि (x2, y2) त्रिकोणाचे शिरोबिंदू असतील तर x-निर्देशांक a, x1, x2 हे सामान्य गुणोत्तर r सह भूमिति श्रेढीमध्ये असतील आणि y-निर्देशांक b, y1, y2 सामान्य गुणोत्तर जर s सह भूमिति श्रेढीमध्ये असतील, तर त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ किती आहे?
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Determinants Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
सारणिक वापरून त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे दर्शविले जाते-
वापरलेले सूत्र:
GP चे n वे पद खालीलप्रमाणे दर्शविले जाते;
Tn = a.r(n - 1) ----(2)
जेथे a = पहिले पद आणि r = समान गुणोत्तर.
गणना:
जसे a, x1, x2 समान गुणोत्तर r सह GP मध्ये आहेत,
⇒ x1 = a.r, x2 = a.r2 [(2) वापरून]
जसे b, y1, y2 समान गुणोत्तर s सह GP मध्ये आहेत,
⇒ y1 = b.s, y2 = b.s2 [(2) वापरून]
∴ त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे दर्शविले जाते-
C1 → C1 - C3 आणि C2 → C2 - C3 लागू केल्यास, आपणास मिळते,
म्हणून, त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ
3x - 4y = 5 आणि 12x - 16y = 20 समीकरणे आहेत:
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Determinants Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
जर दोन रेषीय समीकरणे
a1x + b1y = c1 आणि a2x + b2y = c2. तर,
(a) जर a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 आहे, तर प्रणाली सुसंगत आहे आणि त्यात अनेक समाधान आहेत.
(b) जर a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 आहे, तर प्रणालीकडे कोणताही समाधान नाही आणि तो विसंगत आहे
गणना:
3x − 4y = 5 आणि 12x − 16y = 20 समीकरणांमध्ये
3/12 = -4/-16 = 5/20 ⇒ ¼ = ¼ = ¼
त्यामुळे प्रणाली सुसंगत आहे आणि अनंतपणे अनेक समाधान आहेत
∴ त्यांच्याकडे दोनपेक्षा जास्त समान समाधान आहेत.
Application of Determinants Question 9:
जर
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Determinants Question 9 Detailed Solution
संकल्पना:
जर
क्षेत्रफळ =
निर्धारकांचे गुणधर्म
गणना:
जर
क्षेत्रफळ =
दिलेले आहे: क्षेत्रफळ 'k' चौरस एकक आहे
⇒ k =
⇒
आता,
=
=
= 16.(2k)(2k)
= 64k2
Application of Determinants Question 10:
जर (a, b), (x1, y1) आणि (x2, y2) त्रिकोणाचे शिरोबिंदू असतील तर x-निर्देशांक a, x1, x2 हे सामान्य गुणोत्तर r सह भूमिति श्रेढीमध्ये असतील आणि y-निर्देशांक b, y1, y2 सामान्य गुणोत्तर जर s सह भूमिति श्रेढीमध्ये असतील, तर त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ किती आहे?
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Determinants Question 10 Detailed Solution
संकल्पना:
सारणिक वापरून त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे दर्शविले जाते-
वापरलेले सूत्र:
GP चे n वे पद खालीलप्रमाणे दर्शविले जाते;
Tn = a.r(n - 1) ----(2)
जेथे a = पहिले पद आणि r = समान गुणोत्तर.
गणना:
जसे a, x1, x2 समान गुणोत्तर r सह GP मध्ये आहेत,
⇒ x1 = a.r, x2 = a.r2 [(2) वापरून]
जसे b, y1, y2 समान गुणोत्तर s सह GP मध्ये आहेत,
⇒ y1 = b.s, y2 = b.s2 [(2) वापरून]
∴ त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे दर्शविले जाते-
C1 → C1 - C3 आणि C2 → C2 - C3 लागू केल्यास, आपणास मिळते,
म्हणून, त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ
Application of Determinants Question 11:
जर समीकरण प्रणाली, x + 2y - 3z = 1, (k + 3)z = 3, (2k + 1) x + z = 0 ही विसंगत असेल, तर k चे मूल्य किती आहे?
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Determinants Question 11 Detailed Solution
संकल्पना:
- दिलेल्या समीकरणांसाठी स्थिर संज्ञा शून्य नसल्यामुळे Δ1, Δ2, आणि Δ3 ही मूल्ये शून्य असू शकतात किंवा 0 असू शकत नाहीत.
- उकल विसंगत असल्याने, दिलेल्या समीकरणांसाठी कोणतीही संभाव्य उकल नाही ते केवळ तेव्हाच शक्य आहे जेव्हा केवळ गुणांक निर्धारक म्हणजे Δ शून्य असेल आणि Δ1, Δ2, आणि Δ3 पैकी किमान एक शून्य असेल.
- जिथे Δ हा दिलेल्या समीकरणाच्या गुणांकाने बनलेला निर्धारक आहे आणि Δi हा दिलेल्या समीकरणाच्या स्थिर संज्ञा स्तंभासह ith स्तंभाच्या जागी तयार होणारा निर्धारक आहे
गणना
दिलेले आहे:
- समीकरण विसंगत होण्यासाठी,
Δ = 0
⇒ Δ =
तसेच, Δ1 = \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 3}\\ 3&0&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right|\) ≠ 0
- त्यामुळे ती प्रणाली k साठी विसंगत आहे = - 3.
- म्हणून, योग्य उत्तर पर्याय 1 आहे.
Application of Determinants Question 12:
(α, β) या रेखीय समीकरणांची प्रणाली असलेल्या क्रमबद्ध जोडीमध्ये
(1 + α)x + βy + z = 2
αx + (1 + β)y + z = 3
αx + βy + 2z = 2 कोणती एक एकमात्र उकल आहे?
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Determinants Question 12 Detailed Solution
संकल्पना:
- दिलेल्या समीकरणांसाठी स्थिर संज्ञा शून्य नसल्यामुळे Δ1, Δ2, आणि Δ3 ही मूल्ये शून्य असू शकतात किंवा 0 असू शकत नाहीत.
- एकमात्र उकलसाठी, गुणांकाच्या निर्धारकाचे मूल्य म्हणजे Δ शून्य नसावे.
Δ ≠ 0
जेथे Δ हा दिलेल्या एकसंध समीकरणाच्या गुणांकाने तयार केलेला निर्धारक आहे,
गणना
दिलेले आहे:
(1 + α)x + βy + z = 0
αx + (1 + β)y + z = 0
αx + βy + 2z = 0
⇒ Δ = (α + β + 2)
⇒ Δ = (α + β + 2)
⇒ Δ = (α + β + 2)
- एकमात्र उकलसाठी,
⇒ α + β + 2 ≠ 0
⇒ α + β ≠ -2.
- ही स्थिती केवळ अंतराल(2, 4) साठी समाधानकारक आहे
- तर, योग्य उत्तर पर्याय 3 आहे.
Application of Determinants Question 13:
जर α, β ≠ 0, आणि f(n) = αⁿ + βⁿ, आणि
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Determinants Question 13 Detailed Solution
गणना:
दिलेले आहे, f(n) = αn + βn
⇒ f(1) = α + β, f(2) = α² +β², f(3) = α³ + β³ आणि f(4) = α⁴ + β⁴
∴ Δ =
=
=
=
= (1 - α)²(1 - β)²(α - β)²
= K(1 - α)²(1 - β)²(α - β)² (दिलेले आहे)
∴ K = 1
∴ K चे मूल्य 1 आहे.
पर्याय 3 योग्य आहे.
Application of Determinants Question 14:
3x - 4y = 5 आणि 12x - 16y = 20 समीकरणे आहेत:
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Determinants Question 14 Detailed Solution
संकल्पना:
जर दोन रेषीय समीकरणे
a1x + b1y = c1 आणि a2x + b2y = c2. तर,
(a) जर a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 आहे, तर प्रणाली सुसंगत आहे आणि त्यात अनेक समाधान आहेत.
(b) जर a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 आहे, तर प्रणालीकडे कोणताही समाधान नाही आणि तो विसंगत आहे
गणना:
3x − 4y = 5 आणि 12x − 16y = 20 समीकरणांमध्ये
3/12 = -4/-16 = 5/20 ⇒ ¼ = ¼ = ¼
त्यामुळे प्रणाली सुसंगत आहे आणि अनंतपणे अनेक समाधान आहेत
∴ त्यांच्याकडे दोनपेक्षा जास्त समान समाधान आहेत.
Application of Determinants Question 15:
k च्या मूल्यांची संख्या ज्यासाठी रेखीय समीकरणे ही आहेत
4x + ky + 2z = 0
kx + 4y + z = 0
2x + 2y + z = 0
त्यांची शून्य नसलेली उकल पुढीलपैकी कोणती आहे?
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Determinants Question 15 Detailed Solution
संकल्पना:
- एकसंध समीकरणाच्या दिलेल्या प्रणालीसाठी Δ1, Δ2 आणि Δ3 चे मूल्य शून्य असल्याने शून्य नसलेल्या किंवा क्षुल्लकेतर उकलसाठी,
Δ = 0
जेथे Δ हा दिलेल्या एकसंध समीकरणाच्या x, y आणि z च्या गुणांकाने तयार केलेला निर्धारक आहे.
गणना
दिलेले आहे:
⇒ Δ = 0
⇒ 8 - k(k - 2) + 2(2k - 8) = 0
⇒ 8 - k2 + 2k + 4k -16 = 0
⇒ - k2 + 6k - 8 = 0
⇒ k2 - 6k + 8 = 0
⇒ (k - 2) (k - 4) = 0
⇒ k = 2, 4
∴ k च्या मूल्यांची संख्या 2 आहे.
म्हणून, योग्य उत्तर पर्याय 2 आहे.