Application of Determinants MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Application of Determinants - मोफत PDF डाउनलोड करा

\(\begin{bmatrix} (k+2) & 10 \\ k & (k+3) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k \\ k-1 \end{bmatrix}\)

आता हे \(Ax=B\) या स्वरूपात आहे

आता प्रणालीची कोणतेही उकल नसण्यासाठी, \(A\) चे सारणिक \(0\) असले पाहिजे, जसे पुढीलप्रमाणे

\(\Rightarrow |A|=(k+2)(k+3)-k \times 10=0 \Rightarrow k^2-5k+6 =(k-2)(k-3)=0\)

म्हणून \(k=2,3\) साठी प्रणालीची कोणतीही उकल नसेल.

\(k=2\) साठी, समीकरणात \(k=2\) चे मूल्य ठेवल्यास अनंत उकल मिळतात.

अशाप्रकारे, \(k=3\)

म्हणून, उकलींची संख्या \(1\) आहे.

गणना:

दिलेले आहे, f(n) = αn + βn

⇒ f(1) = α + β, f(2) = α² +β², f(3) = α³ + β³ आणि f(4) = α⁴ + β⁴

∴ Δ = \(\left|\begin{array}{ccc}3 & 1+f(1) & 1+f(2) \\ 1+f(1) & 1+f(2) & 1+f(3) \\ 1+f(2) & 1+f(3) & 1+f(4)\end{array}\right|\)

= \(\begin{vmatrix} 3 & 1 + \alpha + \beta & 1 + \alpha^2 + \beta^2 \\ 1 + \alpha + \beta & 1 + \alpha^2 + \beta^2 & 1 + \alpha^3 + \beta^3 \\ 1 + \alpha^2 + \beta^2 & 1 + \alpha^3 + \beta^3 & 1 + \alpha^4 + \beta^4 \end{vmatrix}\)

= \(\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \alpha^2 \\ 1 & \beta & \beta^2 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \alpha^2 \\ 1 & \beta & \beta^2 \end{vmatrix}\)

= \(\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \alpha^2 \\ 1 & \beta & \beta^2 \end{array}\right|^2 \)

= (1 - α)²(1 - β)²(α - β)²

= K(1 - α)²(1 - β)²(α - β)² (दिलेले आहे)

∴ K = 1

∴ K चे मूल्य 1 आहे.

पर्याय 3 योग्य आहे.

संकल्पना:

• दिलेल्या समीकरणांसाठी स्थिर संज्ञा शून्य नसल्यामुळे Δ­1, Δ2, आणि Δ3 ही मूल्ये शून्य असू शकतात किंवा 0 असू शकत नाहीत.
• एकमात्र उकलसाठी, गुणांकाच्या निर्धारकाचे मूल्य म्हणजे Δ शून्य नसावे.

Δ  ≠  0

जेथे Δ हा दिलेल्या एकसंध समीकरणाच्या गुणांकाने तयार केलेला निर्धारक आहे, 

गणना

दिलेले आहे:

(1 + α)x + βy + z = 0 

αx + (1 + β)y + z = 0

αx + βy + 2z = 0

\(Δ =\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + α }&β &1\\ α &{1 + α }&1\\ α &β &2 \end{array}} \right|\)

⇒ Δ  = (α + β + 2)\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&β &1\\ 1&{1 + α }&1\\ 1&β &2 \end{array}} \right|\) [C1 → C1 + C2 + C3]

⇒ Δ = (α + β + 2)\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&β &1\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right|\) [R2 → R2 - R1 आणि R3 → R3 - R1]

⇒ Δ = (α + β + 2)

• एकमात्र उकलसाठी,

⇒ α + β + 2 ≠ 0 

⇒ α + β ≠ -2.

• ही स्थिती केवळ अंतराल(2, 4) साठी समाधानकारक आहे
• तर, योग्य उत्तर पर्याय 3 आहे.                                 

संकल्पना:

• दिलेल्या समीकरणांसाठी स्थिर संज्ञा शून्य नसल्यामुळे Δ­1, Δ2, आणि Δ3 ही मूल्ये शून्य असू शकतात किंवा 0 असू शकत नाहीत.
• उकल विसंगत असल्याने, दिलेल्या समीकरणांसाठी कोणतीही संभाव्य उकल नाही ते केवळ तेव्हाच शक्य आहे जेव्हा केवळ गुणांक निर्धारक म्हणजे Δ शून्य असेल आणि Δ­1, Δ2, आणि Δ3 पैकी किमान एक शून्य असेल.
• जिथे Δ हा दिलेल्या समीकरणाच्या गुणांकाने बनलेला निर्धारक आहे आणि Δ_i हा दिलेल्या समीकरणाच्या स्थिर संज्ञा स्तंभासह i^th स्तंभाच्या जागी तयार होणारा निर्धारक आहे 

गणना

दिलेले आहे:

• समीकरण विसंगत होण्यासाठी,

 Δ = 0

⇒ Δ = \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 3}\\ 0&0&{k + 3}\\ {2k + 1}&0&1 \end{array}} \right|\) = 0 ⇒ k = -3

तसेच, Δ1 = \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 3}\\ 3&0&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right|\) ≠ 0

• त्यामुळे ती प्रणाली k साठी विसंगत आहे = - 3.
• म्हणून, योग्य उत्तर पर्याय 1 आहे.

संकल्पना:

• एकसंध समीकरणाच्या दिलेल्या प्रणालीसाठी Δ1, Δ2 आणि Δ3 चे मूल्य शून्य असल्याने शून्य नसलेल्या किंवा क्षुल्लकेतर उकलसाठी,

Δ = 0

जेथे Δ हा दिलेल्या एकसंध समीकरणाच्या x, y आणि z च्या गुणांकाने तयार केलेला निर्धारक आहे.

गणना

दिलेले आहे:

 \(Δ =\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&k&2\\ k&4&1\\ 2&2&1 \end{array}} \right|\)

⇒ Δ = 0 

⇒ 8 - k(k - 2) + 2(2k - 8) = 0 

⇒ 8 - k² + 2k + 4k -16 = 0 

⇒ - k² + 6k - 8 = 0

⇒ k² - 6k + 8 = 0 

⇒ (k - 2) (k - 4) = 0 

⇒ k = 2, 4

∴ k च्या मूल्यांची संख्या 2 आहे. 

म्हणून, योग्य उत्तर पर्याय 2 आहे.

संकल्पना:

जर \(\rm (x_1, y_1), (x_2, y_2)\)आणि \(\rm (x_3, y_3)\)हे त्रिकोणाचे शिरोबिंदू असतील तर,

क्षेत्रफळ = \(\rm \dfrac 12 \begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & 1 \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & 1 \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & 1 \end{vmatrix}\)

निर्धारकांचे गुणधर्म

\(\rm \begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & kx \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & ky \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & kz \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & x \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & y \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & z \end{vmatrix}\)

गणना:

जर \(\rm (x_1, y_1), (x_2, y_2)\)आणि \(\rm (x_3, y_3)\)हे त्रिकोणाचे शिरोबिंदू असतील तर,

क्षेत्रफळ = \(\rm \dfrac 12 \begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & 1 \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & 1 \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & 1 \end{vmatrix}\)

दिलेले आहे: क्षेत्रफळ 'k' चौरस एकक आहे

⇒ k = \(\rm \dfrac 12 \begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & 1 \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & 1 \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & 1 \end{vmatrix}\)

⇒ \(\rm \begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & 1 \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & 1 \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & 1 \end{vmatrix} = 2k\)

आता,  \(\begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & 4 \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & 4 \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & 4 \end{vmatrix}^2\)

= \(\begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & 4 \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & 4 \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & 4 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & 4 \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & 4 \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & 4 \end{vmatrix}\)

= \(4\begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & 1 \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & 1 \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & 1 \end{vmatrix}.4\begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & 1 \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & 1 \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & 1 \end{vmatrix}\)

= 16.(2k)(2k)

= 64k²

संकल्पना:

सारणिक वापरून त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे दर्शविले जाते-

\(\Delta = \frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_{1} &y_{1} &1 \\ x_{2} &y_{2} &1 \\ x_{3} &y_{3} &1 \end{vmatrix}\)      ----(1)

वापरलेले सूत्र:

GP चे n वे पद खालीलप्रमाणे दर्शविले जाते;

T_n = a.r^{(n - 1)}      ----(2)

जेथे a = पहिले पद आणि r = समान गुणोत्तर.

गणना:

जसे a, x₁, x₂ समान गुणोत्तर r सह GP मध्ये आहेत,

⇒ x₁ = a.r, x₂ = a.r²      [(2) वापरून]

जसे b, y1, y2 समान गुणोत्तर s सह GP मध्ये आहेत,

⇒ y1 = b.s, y2 = b.s²      [(2) वापरून]

∴ त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे दर्शविले जाते-

\(\Delta = \frac{1}{2}\begin{vmatrix} a &b &1 \\ x_{1} &y_{1} &1 \\ x_{2} &y_{2} &1 \end{vmatrix}\)      [(1) वापरून]

\(\Rightarrow \Delta = \frac{1}{2}\begin{vmatrix} a &b &1 \\ ar &bs &1 \\ ar^{2} &bs^{2} &1 \end{vmatrix}\)

\(\Rightarrow \Delta = \frac{1}{2}ab\begin{vmatrix} 1 &1 &1 \\ r &s &1 \\ r^{2} &s^{2} &1 \end{vmatrix}\)

C₁ → C₁ - C₃ आणि C₂ → C₂ - C₃ लागू केल्यास​, आपणास मिळते,

\(\Rightarrow \Delta = \frac{1}{2}ab\begin{vmatrix} 0 &0 &1 \\ r-1 &s-1 &1 \\ r^{2}-1 &s^{2}-1 &1 \end{vmatrix}\)

\(\Rightarrow \Delta = \frac{1}{2}ab(r-1)(s-1)\begin{vmatrix} 0 &0 &1 \\ 1 &1 &1 \\ r+1 &s+1 &1 \end{vmatrix}\)      (∵ (a - b)(a + b) = a² - b²)

\(\Rightarrow \Delta = \frac{1}{2}ab(r-1)(s-1)(s-r)\)

म्हणून, त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ \(\dfrac{1}{2}ab(r-1)(s-1)(s-r) \)आहे.

संकल्पना:

जर दोन रेषीय समीकरणे

a₁​x + b₁y ​= c₁​ आणि a₂​x + b₂y ​= c₂​. तर,

(a) जर a₁​​/a₂ = b₁​​/b₂ ​​= c₁​​/c₂ आहे​​, तर प्रणाली सुसंगत आहे आणि त्यात अनेक समाधान आहेत.

(b) जर a₁​​/a₂ = b₁​​/b₂ ≠ c₁​​/c₂ आहे​​, तर प्रणालीकडे कोणताही समाधान नाही आणि तो विसंगत आहे

गणना:

3x − 4y = 5 आणि 12x − 16y = 20 समीकरणांमध्ये

3/12 = -4/-16 = 5/20 ⇒ ¼ = ¼ = ¼

त्यामुळे प्रणाली सुसंगत आहे आणि अनंतपणे अनेक समाधान आहेत

∴ त्यांच्याकडे दोनपेक्षा जास्त समान समाधान आहेत.

संकल्पना:

जर \(\rm (x_1, y_1), (x_2, y_2)\)आणि \(\rm (x_3, y_3)\)हे त्रिकोणाचे शिरोबिंदू असतील तर,

क्षेत्रफळ = \(\rm \dfrac 12 \begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & 1 \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & 1 \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & 1 \end{vmatrix}\)

निर्धारकांचे गुणधर्म

\(\rm \begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & kx \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & ky \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & kz \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & x \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & y \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & z \end{vmatrix}\)

गणना:

जर \(\rm (x_1, y_1), (x_2, y_2)\)आणि \(\rm (x_3, y_3)\)हे त्रिकोणाचे शिरोबिंदू असतील तर,

क्षेत्रफळ = \(\rm \dfrac 12 \begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & 1 \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & 1 \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & 1 \end{vmatrix}\)

दिलेले आहे: क्षेत्रफळ 'k' चौरस एकक आहे

⇒ k = \(\rm \dfrac 12 \begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & 1 \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & 1 \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & 1 \end{vmatrix}\)

⇒ \(\rm \begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & 1 \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & 1 \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & 1 \end{vmatrix} = 2k\)

आता,  \(\begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & 4 \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & 4 \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & 4 \end{vmatrix}^2\)

= \(\begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & 4 \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & 4 \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & 4 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & 4 \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & 4 \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & 4 \end{vmatrix}\)

= \(4\begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & 1 \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & 1 \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & 1 \end{vmatrix}.4\begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & 1 \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & 1 \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & 1 \end{vmatrix}\)

= 16.(2k)(2k)

= 64k²

संकल्पना:

सारणिक वापरून त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे दर्शविले जाते-

\(\Delta = \frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_{1} &y_{1} &1 \\ x_{2} &y_{2} &1 \\ x_{3} &y_{3} &1 \end{vmatrix}\)      ----(1)

वापरलेले सूत्र:

GP चे n वे पद खालीलप्रमाणे दर्शविले जाते;

T_n = a.r^{(n - 1)}      ----(2)

जेथे a = पहिले पद आणि r = समान गुणोत्तर.

गणना:

जसे a, x₁, x₂ समान गुणोत्तर r सह GP मध्ये आहेत,

⇒ x₁ = a.r, x₂ = a.r²      [(2) वापरून]

जसे b, y1, y2 समान गुणोत्तर s सह GP मध्ये आहेत,

⇒ y1 = b.s, y2 = b.s²      [(2) वापरून]

∴ त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे दर्शविले जाते-

\(\Delta = \frac{1}{2}\begin{vmatrix} a &b &1 \\ x_{1} &y_{1} &1 \\ x_{2} &y_{2} &1 \end{vmatrix}\)      [(1) वापरून]

\(\Rightarrow \Delta = \frac{1}{2}\begin{vmatrix} a &b &1 \\ ar &bs &1 \\ ar^{2} &bs^{2} &1 \end{vmatrix}\)

\(\Rightarrow \Delta = \frac{1}{2}ab\begin{vmatrix} 1 &1 &1 \\ r &s &1 \\ r^{2} &s^{2} &1 \end{vmatrix}\)

C₁ → C₁ - C₃ आणि C₂ → C₂ - C₃ लागू केल्यास​, आपणास मिळते,

\(\Rightarrow \Delta = \frac{1}{2}ab\begin{vmatrix} 0 &0 &1 \\ r-1 &s-1 &1 \\ r^{2}-1 &s^{2}-1 &1 \end{vmatrix}\)

\(\Rightarrow \Delta = \frac{1}{2}ab(r-1)(s-1)\begin{vmatrix} 0 &0 &1 \\ 1 &1 &1 \\ r+1 &s+1 &1 \end{vmatrix}\)      (∵ (a - b)(a + b) = a² - b²)

\(\Rightarrow \Delta = \frac{1}{2}ab(r-1)(s-1)(s-r)\)

म्हणून, त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ \(\dfrac{1}{2}ab(r-1)(s-1)(s-r) \)आहे.

संकल्पना:

• दिलेल्या समीकरणांसाठी स्थिर संज्ञा शून्य नसल्यामुळे Δ­1, Δ2, आणि Δ3 ही मूल्ये शून्य असू शकतात किंवा 0 असू शकत नाहीत.
• उकल विसंगत असल्याने, दिलेल्या समीकरणांसाठी कोणतीही संभाव्य उकल नाही ते केवळ तेव्हाच शक्य आहे जेव्हा केवळ गुणांक निर्धारक म्हणजे Δ शून्य असेल आणि Δ­1, Δ2, आणि Δ3 पैकी किमान एक शून्य असेल.
• जिथे Δ हा दिलेल्या समीकरणाच्या गुणांकाने बनलेला निर्धारक आहे आणि Δ_i हा दिलेल्या समीकरणाच्या स्थिर संज्ञा स्तंभासह i^th स्तंभाच्या जागी तयार होणारा निर्धारक आहे 

गणना

दिलेले आहे:

• समीकरण विसंगत होण्यासाठी,

 Δ = 0

⇒ Δ = \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 3}\\ 0&0&{k + 3}\\ {2k + 1}&0&1 \end{array}} \right|\) = 0 ⇒ k = -3

तसेच, Δ1 = \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 3}\\ 3&0&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right|\) ≠ 0

• त्यामुळे ती प्रणाली k साठी विसंगत आहे = - 3.
• म्हणून, योग्य उत्तर पर्याय 1 आहे.

संकल्पना:

• दिलेल्या समीकरणांसाठी स्थिर संज्ञा शून्य नसल्यामुळे Δ­1, Δ2, आणि Δ3 ही मूल्ये शून्य असू शकतात किंवा 0 असू शकत नाहीत.
• एकमात्र उकलसाठी, गुणांकाच्या निर्धारकाचे मूल्य म्हणजे Δ शून्य नसावे.

Δ  ≠  0

जेथे Δ हा दिलेल्या एकसंध समीकरणाच्या गुणांकाने तयार केलेला निर्धारक आहे, 

गणना

दिलेले आहे:

(1 + α)x + βy + z = 0 

αx + (1 + β)y + z = 0

αx + βy + 2z = 0

\(Δ =\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + α }&β &1\\ α &{1 + α }&1\\ α &β &2 \end{array}} \right|\)

⇒ Δ  = (α + β + 2)\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&β &1\\ 1&{1 + α }&1\\ 1&β &2 \end{array}} \right|\) [C1 → C1 + C2 + C3]

⇒ Δ = (α + β + 2)\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&β &1\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right|\) [R2 → R2 - R1 आणि R3 → R3 - R1]

⇒ Δ = (α + β + 2)

• एकमात्र उकलसाठी,

⇒ α + β + 2 ≠ 0 

⇒ α + β ≠ -2.

• ही स्थिती केवळ अंतराल(2, 4) साठी समाधानकारक आहे
• तर, योग्य उत्तर पर्याय 3 आहे.                                 

गणना:

दिलेले आहे, f(n) = αn + βn

⇒ f(1) = α + β, f(2) = α² +β², f(3) = α³ + β³ आणि f(4) = α⁴ + β⁴

∴ Δ = \(\left|\begin{array}{ccc}3 & 1+f(1) & 1+f(2) \\ 1+f(1) & 1+f(2) & 1+f(3) \\ 1+f(2) & 1+f(3) & 1+f(4)\end{array}\right|\)

= \(\begin{vmatrix} 3 & 1 + \alpha + \beta & 1 + \alpha^2 + \beta^2 \\ 1 + \alpha + \beta & 1 + \alpha^2 + \beta^2 & 1 + \alpha^3 + \beta^3 \\ 1 + \alpha^2 + \beta^2 & 1 + \alpha^3 + \beta^3 & 1 + \alpha^4 + \beta^4 \end{vmatrix}\)

= \(\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \alpha^2 \\ 1 & \beta & \beta^2 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \alpha^2 \\ 1 & \beta & \beta^2 \end{vmatrix}\)

= \(\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \alpha^2 \\ 1 & \beta & \beta^2 \end{array}\right|^2 \)

= (1 - α)²(1 - β)²(α - β)²

= K(1 - α)²(1 - β)²(α - β)² (दिलेले आहे)

∴ K = 1

∴ K चे मूल्य 1 आहे.

पर्याय 3 योग्य आहे.

संकल्पना:

जर दोन रेषीय समीकरणे

a₁​x + b₁y ​= c₁​ आणि a₂​x + b₂y ​= c₂​. तर,

(a) जर a₁​​/a₂ = b₁​​/b₂ ​​= c₁​​/c₂ आहे​​, तर प्रणाली सुसंगत आहे आणि त्यात अनेक समाधान आहेत.

(b) जर a₁​​/a₂ = b₁​​/b₂ ≠ c₁​​/c₂ आहे​​, तर प्रणालीकडे कोणताही समाधान नाही आणि तो विसंगत आहे

गणना:

3x − 4y = 5 आणि 12x − 16y = 20 समीकरणांमध्ये

3/12 = -4/-16 = 5/20 ⇒ ¼ = ¼ = ¼

त्यामुळे प्रणाली सुसंगत आहे आणि अनंतपणे अनेक समाधान आहेत

∴ त्यांच्याकडे दोनपेक्षा जास्त समान समाधान आहेत.

संकल्पना:

• एकसंध समीकरणाच्या दिलेल्या प्रणालीसाठी Δ1, Δ2 आणि Δ3 चे मूल्य शून्य असल्याने शून्य नसलेल्या किंवा क्षुल्लकेतर उकलसाठी,

Δ = 0

जेथे Δ हा दिलेल्या एकसंध समीकरणाच्या x, y आणि z च्या गुणांकाने तयार केलेला निर्धारक आहे.

गणना

दिलेले आहे:

 \(Δ =\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&k&2\\ k&4&1\\ 2&2&1 \end{array}} \right|\)

⇒ Δ = 0 

⇒ 8 - k(k - 2) + 2(2k - 8) = 0 

⇒ 8 - k² + 2k + 4k -16 = 0 

⇒ - k² + 6k - 8 = 0

⇒ k² - 6k + 8 = 0 

⇒ (k - 2) (k - 4) = 0 

⇒ k = 2, 4

∴ k च्या मूल्यांची संख्या 2 आहे. 

म्हणून, योग्य उत्तर पर्याय 2 आहे.