Work energy theorem MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Work energy theorem - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:
कार्य-ऊर्जा प्रमेय लागू करना (कुल किया गया कार्य = यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन):

गणना:

सभी बलों द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा (KE) में परिवर्तन के बराबर है:

4 सेकंड के बाद अंतिम वेग सदिश:
v = v₀ + a × t = (2i + 2j) × 4 = (8i + 8j)

अंतिम वेग का परिमाण:
|v| = √(8² + 8²) = 8√2

प्राप्त गतिज ऊर्जा:
KE = (1 / 2) × 2 × (8√2)² = 128 J

इसलिए, सभी बलों द्वारा किया गया कार्य = 128 J

प्रयुक्त अवधारणा:

स्थिरवैद्युत क्षेत्र में एक आवेश को गतिमान करने में किया गया कार्य प्रारंभिक और अंतिम बिंदुओं के बीच विभवांतर पर निर्भर करता है।

चूँकि बिंदु A, B और C एक अर्धवृत्त पर हैं और आवेश q केंद्र पर है, इसलिए इन सभी की विभव समान है।

समान विभव वाले बिंदुओं के बीच एक आवेश को गतिमान करने में किया गया कार्य समान होता है।

गणना:

दिया गया है:

बिंदु A, B और C केंद्र पर आवेश q से समदूरस्थ हैं।

⇒ V_A = V_B = V_C

⇒ P से A, B या C तक आवेश को गतिमान करने में किया गया कार्य समान है।

⇒ W_A = W_B = W_C

चूँकि P से A, B या C तक गतिमान करने के लिए कार्य की आवश्यकता होती है, इसलिए किया गया कार्य शून्य नहीं है।

∴ सही उत्तर W_A = W_B = W_C ≠ 0 है।

संकल्पना:

कार्य-ऊर्जा प्रमेय:

कार्य-ऊर्जा प्रमेय कहता है कि किसी वस्तु पर कार्य करने वाले सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।

गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

W = ΔKE = KE_f - KE_i

किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा (KE) इस प्रकार दी जाती है:

KE = (1/2) mv²

किसी बल द्वारा किया गया कार्य (W) बल और विस्थापन का गुणनफल होता है:

W = F × d

वस्तु का भार (W) गुरुत्वाकर्षण के कारण वस्तु पर कार्य करने वाला बल होता है:

W = mg

जहाँ, m वस्तु का द्रव्यमान है और g गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (9.8 m/s²) है।

गणना:

दिया गया है,

v = 7 m/s

d = 10 m

W = mg

स्कूटर की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा है:

KE = (1/2) mv² = (1/2) m (7)² = 49m/2

प्रतिरोधी बल द्वारा किया गया कार्य है:

कार्य = F × d = F × 10

कार्य-ऊर्जा प्रमेय द्वारा, हम किए गए कार्य को प्रारंभिक गतिज ऊर्जा के बराबर करते हैं:

F × 10 = 49m/2

न्यूटन के दूसरे नियम से, हम जानते हैं कि m = W/g

उपरोक्त समीकरण में m = W/g प्रतिस्थापित करें:

⇒ F × 10 = (49/2) × (W/g)

⇒ F = (49W)/(20g)

g = 9.8 m/s² प्रतिस्थापित करें:

F = (49W)/(20 × 9.8) = (49W)/196 = W/4

इसलिए, स्कूटर की गति का कुल प्रतिरोध W/4 है।
अतः, सही विकल्प 2) W/4 है।

अवधारणा:

कार्य-ऊर्जा प्रमेय: यह बताता है कि एक निकाय पर कार्य करने वाले सभी बलों द्वारा किए गए कार्य का योग निकाय की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है अर्थात,

सभी बलों द्वारा किया गया कार्य = Kf - Ki

\(W = \frac{1}{2}m{v^2} - \frac{1}{2}m{u^2} = {\bf{Δ }}K\)

जहाँ v = अंतिम वेग, u = प्रारंभिक वेग और m = निकाय का द्रव्यमान

गणना:

यह दिया गया है कि
प्रारंभिक वेग (u) = 30 km/h = (30 × 1000/3600) = 25/3 m/s

प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (KE_i) = 52000 = \(\frac{1}{2}mu^2\)

अंतिम वेग (v) = 60 km/h = (60 × 1000/3600) = 50/3 m/s = 2u

अंतिम गतिज ऊर्जा (KE_f) = \(\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m (2u)^2 =4 KE_i \)

KE_f  = 4 × 52000 = 208000 J

कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,

⇒  किया गया कार्य = K.E में परिवर्तन
⇒  किया गया कार्य (W) = Δ K.E = KE_f - KE_i = 208000 - 52000 = 156000 J

अवधारणा:

• कार्य-ऊर्जा प्रमेय: इसके अनुसार निकाय पर कार्य करने वाली सभी बलों द्वारा किए गए कार्य का योग निकाय की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है अर्थात

    सभी बलों द्वारा किया गया कार्य = Kf - Ki

\(W = \frac{1}{2}m{v^2} - \frac{1}{2}m{u^2} = {\bf{Δ }}K\)
जहां v = अंतिम वेग, u = प्रारंभिक वेग और m= निकाय का द्रव्यमान

व्याख्या:

• कार्य- ऊर्जा प्रमेय के अनुसार किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होगा।

इसलिए विकल्प 3 सही है।

सही उत्तर विकल्प 4 ) है अर्थात् सभी प्रकार के बलों के लिए

अवधारणा :

• कार्य ऊर्जा प्रमेय: यह बताता है कि किसी वस्तु पर बलों द्वारा किया गया शुद्ध कार्य इसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।

किया गया कार्य, \(W = \Delta KE = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mu^2\)

जहाँ m वस्तु का द्रव्यमान है, v, वस्तु का अंतिम वेग है और u, वस्तु का प्रारंभिक वेग है।

व्याख्या:

• ऊर्जा और कार्य अदिश मात्राएँ हैं।
  • इसलिए, उनके मान बलों द्वारा किए गए व्यक्तिगत कार्यों के योग पर निर्भर करते हैं। यदि ये बल विस्थापन का कारण बनते हैं, तो यह किए गए कार्यों के लिए जिम्मेदार होगा।
• कार्य-ऊर्जा प्रमेय को संरक्षी बल, असंरक्षी बल, आंतरिक बल, बाहरी बल और आगे की सभी स्थितियों में लागू किया जा सकता है।
• इस प्रकार, कार्य-ऊर्जा प्रमेय सभी प्रकार के बलों के लिए मान्य है।

Key Points 

• कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार किसी वस्तु पर किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
• किसी वस्तु पर लगाए गए कुल बल द्वारा किए गए कार्य के परिणामस्वरूप गतिज ऊर्जा में परिवर्तन होता है, जो सीधे प्रमेय से संबंधित है।
• गणितीय रूप से , इसे W = ΔKE के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ W वस्तु पर किया गया कार्य है औरΔKE गतिज ऊर्जा में परिवर्तन है।  ΔKE" id="MathJax-Element-6-Frame" role="presentation" style=" word-spacing: 0px; position: relative;" tabindex="0">ΔKE Δ𝐾
• भौतिकी में बल और ऊर्जा से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए इस प्रमेय को समझना महत्वपूर्ण है।

Additional Information

अवधारणा:

कार्य

• कार्य को किसी बल द्वारा किया गया तब कहा जाता है जब निकाय को लागू बल की दिशा में कुछ दूरी के माध्यम से वास्तव में विस्थापित किया जाता है।
• चूँकि निकाय को F की दिशा में विस्थापित किया जाना है, इसलिए दूरी s के माध्यम से निकाय को विस्थापित करने में बल द्वारा किये गए कार्य को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

\(W = \vec F \cdot \vec s\)

या, W = Fs cos θ

कार्य-ऊर्जा प्रमेय:

• कार्य-ऊर्जा प्रमेय बताता है कि एक वस्तु पर बलों द्वारा किया गया शुद्ध कार्य इसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।​

⇒ W = ΔKE

जहाँ W = किया गया कार्य और ΔKE = गतिज ऊर्जा में परिवर्तन

गणना:

दिया गया है,

गतिज ऊर्जा में परिवर्तन = ΔKE = 3 kJ = 3000 J

बल गति की रेखा F = 1000 N के साथ है।

बल और विस्थापन के बीच का कोण θ = 0°

कार्य ऊर्जा प्रमेय द्वारा

W = Fs cos θ = 3000 J

1000 N × s cos 0° = 3000 जूल

1000 N × s = 3000 जूल

s = 3 मीटर

इसलिए विस्थापन 3 मीटर है।

अवधारणा:

• गतिज ऊर्जा: जब कोई पिंड रैखिक गति में होता है, तो गति के कारण जो ऊर्जा होती है वह गतिज ऊर्जा है।

K = 1/2 × m × v2

जहाँ K पिंड की गतिज ऊर्जा है, और m पिंड का द्रव्यमान है, और v इसका वेग है।

• कार्य-ऊर्जा प्रमेय: किसी पिंड पर किया गया शुद्ध कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है।

W = ΔK

W = Kf -Ki 

जहां W किया गया कार्य है, K_f अंतिम गतिज ऊर्जा है और  K_i आरंभिक गतिज ऊर्जा है।

गणना:

दिया गया है:

आरंभिक वेग = v

अंतिम वेग = 2v

मान ट्रक का द्रव्यमान m है।

इसलिए आरंभिक गतिज ऊर्जा  K_i = 1/2 × m × v2

अंतिम गतिज ऊर्जा K_f = 1/2 × m × (2v)2 = 2 × m × v²

कुल किया गया कार्य: W = ΔK = Kf -Ki =  2 × m × v2 -  1/2 × m × v²

W = 3/2 × m × v2

W = 3 K_i

इसलिए किया गया शुद्ध कार्य द्रव्यमान की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा या इसे स्थिर से v तक बढ़ाने में  किए गए कार्य का तीन गुना होता है। इसलिए सही उत्तर विकल्प 1 है।

सही उत्तर विकल्प 2) अर्थात वस्तु पर बल द्वारा किया गया शुद्ध कार्य है।

अवधारणा :

• कार्य ऊर्जा प्रमेय: यह बताता है कि किसी वस्तु पर बलों द्वारा किया गया शुद्ध कार्य इसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।

किया गया कार्य, \(W = \Delta KE = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mu^2\)

जहाँ m वस्तु का द्रव्यमान, v वस्तु का अंतिम वेग और u वस्तु का प्रारंभिक वेग है।

व्याख्या:

• कार्य-ऊर्जा प्रमेय से, किसी वस्तु पर बलों द्वारा किया गया शुद्ध कार्य इसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
• अतः, सही उत्तर विकल्प 2) है।

अवधारणा:

• कार्य-ऊर्जा प्रमेय: इसके अनुसार निकाय पर कार्य करने वाले बल द्वारा किया गया कार्य निकाय की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है अर्थात

⇒ W = Kf - Ki

\(⇒ W = \frac{1}{2}m{v^2} - \frac{1}{2}m{u^2} = {\bf{\Delta }}K\)

जहाँ v = अंतिम वेग, u = प्रारंभिक वेग और m = निकाय का द्रव्यमान

गणना:

दिया गया है:

द्रव्यमान(m) = 120 kg, प्रारंभिक वेग (u) = 0 km/hr = 0 m/s और अंतिम वेग (v) = 18 km/hr = 5 m/s

• लड़के द्वारा किया गया कार्य है

\(⇒ W = \frac{1}{2}m({v^2} - {u^2} )\)

\(⇒ W = \frac{1}{2}\times 120\times ({25} - {0} )=1500\, J\)

अवधारणा:

• गतिज ऊर्जा: जब कोई निकाय रेखीय गति में है, तो गति की वजह से ऊर्जा होती है। गणितीय रूप से-

⇒ K = 1/2 × m × v²

जहां K निकाय की गतिज ऊर्जा है, और m निकाय का द्रव्यमान है, और v इसका वेग है।

• कार्य-ऊर्जा प्रमेय: किसी वस्तु पर किया गया शुद्ध कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है।

⇒ W = ΔK

⇒ W = Kf -Ki 

जहां W किया गया कार्य है, K_f अंतिम गतिज ऊर्जा है और K_i प्रारंभिक गतिज ऊर्जा है।

स्पष्टीकरण:

• चूंकि गेंद उसी वेग के साथ प्रतिघात करती है। इसलिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तन शून्य है। इसलिए, दीवार पर गेंद द्वारा किया गया कार्य शून्य है

संकल्पना:

• एक बल द्वारा किया गया कार्य इस प्रकार परिभाषित किया जाता है: विस्थापन की दिशा में ब्लॉक पर लागू बल के घटक और विस्थापन का परिमाण के गुणनफल को  किया गया कार्य कहा जाता है।
• कार्य-ऊर्जा प्रमेय को कार्य और गतिज ऊर्जा का सिद्धांत भी कहा जाता है।
• कार्य-ऊर्जा प्रमेय में कहा गया है कि सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य कण की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
• किया गया कुल कार्य = गतिज ऊर्जा में परिवर्तन

⇒ किया गया कुल कार्य  (W) = KE_f – KE_i

\(⇒ W = \frac{1}{2}m\;{v^2} - \frac{1}{2}m\;{u^2}\)

जहाँ KE_f अंतिम गतिज ऊर्जा, KE_i प्रारंभिक गतिज ऊर्जा, u प्रारंभिक वेग और V अंतिम वेग है।

एक परिवर्ती बल के लिए ,कार्य -ऊर्जा प्रमेय को निम्न द्वारा दिया जाता है:

\(⇒ Work\;done\;\left( W \right) = \mathop \smallint \nolimits_{{x_1}}^{{x_2}} F.\;dx = \frac{1}{2}m\;{V^2} - \frac{1}{2}m\;{v^2}\)

स्पष्टीकरण:

• ऊपर दिए गए स्पष्टीकरण से, हम देख सकते हैं कि गतिज ऊर्जा और कार्य के बीच का संबंध कार्य-ऊर्जा प्रमेय द्वारा दिया जाता है
• और कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार किया गया कार्य, W = ΔK.E
• इससे हम देख सकते हैं कि यदि किसी वस्तु पर किए गए कार्य में वृद्धि होती है, तो इससे संबंधित गतिज ऊर्जा में भी वृद्धि होगी। इसलिए विकल्प 2 सही है।