The Relativity of Length MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for The Relativity of Length - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

L = L₀ √(1 - v²/C²)

• विशिष्ट आपेक्षिकता में, v वेग से गतिमान वस्तु गति की दिशा में **लंबाई संकुचन** से गुजरती है।
• संकुचित लंबाई L सूत्र द्वारा दी जाती है:
• y-अक्ष के अनुदिश लंबाई घटक अपरिवर्तित रहता है।
• हम x और y के अनुदिश लंबाई घटकों को हल करते हैं और x-घटक पर लंबाई संकुचन लागू करते हैं।

गणना:

अपने विरामस्थ तंत्र में मीटर की छड़ की लंबाई, L₀ = 1 m

x-अक्ष के साथ कोण, θ = 45°

छड़ का वेग, v = (1/√2) C

प्रकाश की चाल, C

⇒ विरामस्थ तंत्र में लंबाई के घटक:

L₀ₓ = L₀ cos(θ) = 1 × cos 45° = 1/√2

L₀ᵧ = L₀ sin(θ) = 1 × sin 45° = 1/√2

⇒ x-दिशा में लंबाई संकुचन:

Lₓ = L₀ₓ √(1 - v²/C²)

⇒ Lₓ = (1/√2) √(1 - (1/2))

⇒ Lₓ = (1/√2) × (√1/√2) = 1/2

⇒ फ्रेम S में कुल लंबाई:

L = √(Lₓ² + L₀ᵧ²)

⇒ L = √((1/2)² + (1/√2)²)

⇒ L = √(1/4 + 1/2)

⇒ L = √(3/4)

⇒ L = √3 / 2

∴ फ्रेम S में छड़ की लंबाई √3/2 मीटर है।

हल:

इस हल में, प्राइमित राशियाँ (\( x_0, y_0 \)) गतिमान फ्रेम को संदर्भित करती हैं, जबकि अप्राइम्ड राशियाँ (\( x, y \)) स्थिर फ्रेम को संदर्भित करती हैं।

मान लीजिए \( x_0 - y_0 \) छड़ का स्थिर फ्रेम है, जैसा कि आरेख में दिखाया गया है। अपने स्थिर फ्रेम में, छड़ \( x_0 \)-अक्ष के साथ \( \theta_0' \) कोण बनाती है। छड़ का निचला सिरा \( x_0 - y_0 \) फ्रेम के मूल पर है, जबकि ऊपरी सिरा पर है:

• \( x_0 = l_0 \cos \theta_0' \)
• \( y_0 = l_0 \sin \theta_0' \)

स्थिर फ्रेम (\( x - y \)) में, छड़ वेग \( v \) के साथ दाईं ओर गतिमान है। माप \( t = t_0 = 0 \) पर किए जाते हैं, जब दोनों फ्रेम के मूल संपाती होते हैं।

\( x - y \) फ्रेम में छड़ की स्थिति की गणना करने के लिए, पूर्ण लोरेंज रूपांतरणों का उपयोग करना आवश्यक है:

• \( x_0 = \gamma (x - vt) \)
• \( y_0 = y \)

चरण 1: छड़ का निचला सिरा

\( t = 0 \) पर, छड़ का निचला सिरा पर है:

• \( x_0 = \gamma (x - 0) \Rightarrow x = 0 \)
• \( y_0 = y \Rightarrow y = 0 \)

चरण 2: छड़ का ऊपरी सिरा

\( t = 0 \) पर, छड़ का ऊपरी सिरा पर है:

• \( x_0 = l_0 \cos \theta_0' = \gamma x \Rightarrow x = \frac{l_0 \cos \theta_0'}{\gamma} \)
• \( y_0 = l_0 \sin \theta_0' = y \Rightarrow y = l_0 \sin \theta_0' \)

चरण 3: छड़ का अभिविन्यास

\( x - y \) फ्रेम में छड़ का कोण \( \theta \) इस प्रकार दिया गया है:

\( \theta = \arctan \left( \frac{y}{x} \right) = \arctan \left( \frac{\gamma l_0 \sin \theta_0'}{l_0 \cos \theta_0'} \right) = \arctan (\gamma \tan \theta_0') \)

\( v \to c \) के लिए, \( \gamma \to \infty \), इसलिए \( \theta \to \pi/2 \) है। 

चरण 4: छड़ की लंबाई

\( x - y \) फ्रेम में छड़ की लंबाई \( l \) है:

\( l = \sqrt{x^2 + y^2} = l_0 \sqrt{\frac{\cos^2 \theta_0'}{\gamma^2} + \sin^2 \theta_0'} \)

\( v \to c \) के लिए, \( \gamma \to \infty \), और:

\( l = l_0 \sin \theta_0' \)

सही विकल्प 3) है।

सही उत्तर: 4) \(L_0 \sqrt{\frac{4 - v^2/c^2}{4}}\) है। 

व्याख्या:

दिया गया डेटा है
लम्बाई \(L_0\) की एक छड़ अपने स्थिर फ्रेम के x'y' तल में स्थित है, जो x' अक्ष के साथ \(60^\circ\) का कोण बनाती है।
छड़ प्रयोगशाला फ्रेम x, y के सापेक्ष वेग v के साथ दाईं ओर गति करती है।
हमें प्रयोगशाला फ्रेम में छड़ की लंबाई और अभिविन्यास ज्ञात करना है।

चूँकि छड़ प्रयोगशाला फ्रेम के सापेक्ष गतिमान है, इसलिए केवल गति की दिशा (अर्थात, प्रयोगशाला फ्रेम में x अक्ष के साथ) के अनुदिश छड़ की लंबाई का घटक लोरेंज संकुचन का अनुभव करेगा।
गति की दिशा (y अक्ष के साथ) के लंबवत लंबाई का घटक अपरिवर्तित रहेगा।

छड़ अपने स्वयं के फ्रेम में x' अक्ष के साथ \(60^\circ\) का कोण बनाती है, इसलिए हम लंबाई \(L_0\) को x' और y' घटकों में विभाजित कर सकते हैं:

\( L_{x'} = L_0 \cos(60^\circ) = \frac{L_0}{2}\)

\( L_{y'} = L_0 \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} L_0\)

लंबाई \(L_{x'} \) का x' घटक x अक्ष के साथ इसकी गति के कारण प्रयोगशाला फ्रेम में संकुचित हो जाएगा।
लोरेंज संकुचन के अनुसार, प्रयोगशाला फ्रेम में संकुचित लंबाई \(L_x \) इस प्रकार दी गई है:
\( L_x = L_{x'} \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{L_0}{2} \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \\\)

लंबाई \(L_{y'}\) का y घटक प्रयोगशाला फ्रेम में अपरिवर्तित रहता है, क्योंकि यह गति की दिशा के लंबवत है:

\( L_y = L_{y'} = \frac{\sqrt{3}}{2} L_0\)

प्रयोगशाला फ्रेम में छड़ की कुल लंबाई L को x और y घटकों को मिलाकर गणना की जा सकती है:

\( L = \sqrt{L_x^2 + L_y^2}\)

मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

\( L = \sqrt{\left(\frac{L_0}{2} \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} L_0\right)^2} \\\)
इस व्यंजक को सरल करने पर मिलता है:

\(L = L_0 \sqrt{\frac{1}{4}\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) + \frac{3}{4}} \\ L = L_0 \sqrt{\frac{1 - \frac{v^2}{c^2} + 3}{4}} \\ L = L_0 \sqrt{\frac{4 - v^2/c^2}{4}} = L_0 \sqrt{\frac{4 - v^2/c^2}{4}}\)

संकल्पना:

यदि हम अपने फ्रेम के सापेक्ष गतिमान किसी लंबाई का मापन करते हैं, तो हम पाते हैं कि इसकी लंबाई L उचित लंबाई L₀ से छोटी है, जिसे यदि वस्तु स्थिर होती है, तो मापा जाएगा।

आपेक्षिकीय गति पर, प्रकाश की गति के करीब, अलग-अलग पर्यवेक्षकों द्वारा मापन किए जाने पर मापी जाने वाली दूरी समान नहीं होती है।

लंबाई संकुचन:

लंबाई संकुचन एक उचित लंबाई से किसी वस्तु की मापन लंबाई में कमी है जब इसे एक संदर्भ फ्रेम में मापा जाता है जो वस्तु के संबंध में बढ़ रहा है।

इसे निम्न द्वारा दिया जाता है 

\(L = {L_{0}} \sqrt {1-{\frac{V^2}{C^2}}}\)

जहाँ L₀ वस्तु की लंबाई है जो उसकी विश्राम फ्रेम में है और L वेग V के साथ गतिमान फ्रेम की लंबाई है;

गणना:

दिया गया है L = 98 cm; L₀ = 1m = 100 cm;

\(98 = {100} \sqrt {1-{\frac{V^2}{C^2}}}\)

V = 0.199 C

अवधारणा:

• चिरसम्मत भौतिकी के अनुसार, निकाय का जड़त्वीय द्रव्यमान प्रकाश के वेग से स्वतंत्र होता है। यह स्थिर माना जाता है।
• हालांकि सापेक्षता का विशेष सिद्धांत हमें वेग के साथ द्रव्यमान की भिन्नता की अवधारणा की ओर ले जाता है।
• यह सापेक्षता के विशेष सिद्धांत के अनुसार है एक प्रेक्षक के संबंध में, सापेक्ष वेग v के साथ गतिमान निकाय का द्रव्यमान m अपने m0 से बड़ा होता है जब यह विराम में होता है।
• सापेक्षता के विशेष सिद्धांत के कुछ दिलचस्प परिणामों को उनके गणितीय व्युत्पन्न में जाने के बिना इस प्रकार संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है।

समय विस्फारण:

• चिरसम्मत भौतिकी के अनुसार समय निरपेक्ष राशि है। लेकिन सापेक्षता के विशेष सिद्धांत के अनुसार, समय एक निरपेक्ष राशि नहीं है । यह निर्देश तंत्र की गति पर निर्भर करता है।
• यदि समय का अंतराल (एक घड़ी की टिकिंग ) एक जड़त्वीय निर्देश तंत्र में दो संकेतों S से t, के बीच, तो इन दो संकेतों के बीच समय अंतराल  पहले के संबंध में इस प्रकार होगी-

\(t' = \frac{t}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\)

इसका मतलब यह है कि t’ बढ़ा है या घटा है । दूसरे शब्दों में, घड़ी धीमी गति से चलेगी ।

लंबाई संकुचन:

• पृथ्वी से एक चलती अंतरिक्ष यान में एक पर्यवेक्षक द्वारा मापे गए एक तारे के लिए दूरी पृथ्वी पर एक पर्यवेक्षक द्वारा मापा दूरी से छोटी प्रतीत होता है । अर्थात S’ < S

\(L = \frac{L'}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}⇒ L'=L\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}}\)

L' < L चूंकि v

द्रव्यमान की भिन्नता:

• द्रव्यमान भी अपरिवर्तनीय नहीं है।
• यदि विराम से एक निकाय एक द्रव्यमान m₀ पर है, जब यह वेग v के साथ गति करती है तो इसका द्रव्यमान m के रूप में बढ़ता है, जो इस प्रकार है-

\(m = \frac{{{m_o}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\)

गणना:

दिया गया है:

घन की लंबाई = L0

घन का आयतन होगा-

\(\Rightarrow V = (L_o)^3=L^3_o\)

• यदि घन अपने एक किनारे के समानांतर वेग v के साथ चलता है तो इसका आयतन होगा-

\(\Rightarrow V = L^3_o\sqrt{1-(\frac{v^2}{c^2})}\)

\(\Rightarrow V = L_0^3{\left[ {1 - \left( {\frac{{{V^2}}}{{{C^2}}}} \right)} \right]^{\frac{1}{2}}}\)

अवधारणा:

• शास्त्रीय भौतिकी के अनुसार, निकाय का जड़त्वीय द्रव्यमान प्रकाश के वेग से स्वतंत्र होता है। यह एक स्थिरांक के रूप में लिया जाता है।
• हालांकि सापेक्षता का विशेष सिद्धांत हमें वेग के साथ द्रव्यमान की परिवर्तनशीलता की अवधारणा की ओर ले जाता है।
• यह सापेक्षता के विशेष सिद्धांत का अनुसरण करता है कि एक प्रेक्षक के सापेक्ष सापेक्षकीय वेग v के साथ गतिमान निकाय का द्रव्यमान m अपने m0 से बड़ा होता है जब यह विरामावस्था पर होता है।
• सापेक्षता के विशेष सिद्धांत के कुछ दिलचस्प परिणामों को उनके गणितीय व्युत्पन्न में जाने के बिना इस प्रकार संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है।

लंबाई संकुचन:

एक चलती अंतरिक्ष यान में एक पर्यवेक्षक द्वारा मापी पृथ्वी से एक तारे की दूरी पृथ्वी पर एक पर्यवेक्षक द्वारा मापी दूरी से छोटी प्रतीत होती है अर्थात S’ < S।
\(L = \frac{L'}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}⇒ L'=L\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}}\)

L' < L चूंकि v

गणना:

दिया गया है:

तीर की लंबाई = 1 m और v = 0.8c​

एक पर्यवेक्षक द्वारा मापा गए के रूप में लोरेन्ट्ज़-फिजराल्ड संकुचन के कारण तीर की लंबाई है

\(⇒ L'=L\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}}\)

\(⇒ L'=1\sqrt {1 - (\frac{0.8c}{c})^2}=\sqrt{0.36}=0.60\,m\)

Important Points

द्रव्यमान की भिन्नता:

द्रव्यमान भी अपरिवर्तनीय नहीं है।

यदि विराम में एक निकाय का द्रव्यमान m0 जब यह वेग v के साथ चलता है तो इसका द्रव्यमान m हो जाता है जो यह इस प्रकार होगा-

\(m = \frac{{{m_o}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\)

समय विस्तारण:

• शास्त्रीय भौतिकी के अनुसार समय निरपेक्ष राशि है। लेकिन सापेक्षता के विशेष सिद्धांत के अनुसार, समय एक निरपेक्ष राशि नहीं है । यह गति के निर्देश तंत्र पर निर्भर करती है। 
• यदि एक जड़त्व निर्देश तंत्र S में दो सिग्नलों के बीच समय का अंतराल (जैसे कि एक घड़ी की टिकटिक) t है तो पहले के संबंध में गतिमान अन्य जड़त्वीय निर्देश तंत्र S' में इन्हीं दो सिग्नलों के बीच समय अंतराल इस प्रकार होगा-

\(t' = \frac{t}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\)

इसका मतलब यह है कि t' बढ़ गया है या विस्तारित हो गया है। दूसरे शब्दों में घड़ी धीमी हो जाएगी।

अवधारणा:

• आइंस्टीन के सापेक्षता के सिद्धांत के अनुसार, लंबाई संकुचन वह परिघटना है जिसमें किसी वस्तु की लंबाई को इसकी स्वभाविक लंबाई से कम मापा जाता है, जो वस्तु के विराम निर्देश तंत्र से मापी गई लम्बाई है।
• इसे लारेन्ट्ज़ संकुचन के रूप में भी जाना जाता है और मुख्य रूप से तब अस्तित्व में आता है जब जड़त्वीय निर्देश तंत्र प्रकाश की गति के पर्याप्त अंश के साथ गतिमान हो।
• यदि L0 विराम लंबाई या छड़ के स्थिर निर्देश तंत्र द्वारा मापी गई लंबाई है तो वेग v से गतिमान तंत्र द्वारा मापी गई छड की लम्बाई इस प्रकार होगी-

\(L={{L}_{0}}\sqrt{1-{{\left( \frac{v}{c} \right)}^{2}}}\) ... (i)

व्याख्या:

• लंबाई का संकुचन केवल उस दिशा में देखा जाता है जिसमें वस्तु यात्रा कर रहा है।
• हालांकि, गति की लंबवत दिशा में लंबाई में कोई बदलाव नहीं आया है।

संकल्पना:

यदि हम अपने फ्रेम के सापेक्ष गतिमान किसी लंबाई का मापन करते हैं, तो हम पाते हैं कि इसकी लंबाई L उचित लंबाई L₀ से छोटी है, जिसे यदि वस्तु स्थिर होती है, तो मापा जाएगा।

आपेक्षिकीय गति पर, प्रकाश की गति के करीब, अलग-अलग पर्यवेक्षकों द्वारा मापन किए जाने पर मापी जाने वाली दूरी समान नहीं होती है।

लंबाई संकुचन:

लंबाई संकुचन एक उचित लंबाई से किसी वस्तु की मापन लंबाई में कमी है जब इसे एक संदर्भ फ्रेम में मापा जाता है जो वस्तु के संबंध में बढ़ रहा है।

इसे निम्न द्वारा दिया जाता है 

\(L = {L_{0}} \sqrt {1-{\frac{V^2}{C^2}}}\)

जहाँ L₀ वस्तु की लंबाई है जो उसकी विश्राम फ्रेम में है और L वेग V के साथ गतिमान फ्रेम की लंबाई है;

गणना:

दिया गया है L = 98 cm; L₀ = 1m = 100 cm;

\(98 = {100} \sqrt {1-{\frac{V^2}{C^2}}}\)

V = 0.199 C

अवधारणा:

L = L₀ √(1 - v²/C²)

• विशिष्ट आपेक्षिकता में, v वेग से गतिमान वस्तु गति की दिशा में **लंबाई संकुचन** से गुजरती है।
• संकुचित लंबाई L सूत्र द्वारा दी जाती है:
• y-अक्ष के अनुदिश लंबाई घटक अपरिवर्तित रहता है।
• हम x और y के अनुदिश लंबाई घटकों को हल करते हैं और x-घटक पर लंबाई संकुचन लागू करते हैं।

गणना:

अपने विरामस्थ तंत्र में मीटर की छड़ की लंबाई, L₀ = 1 m

x-अक्ष के साथ कोण, θ = 45°

छड़ का वेग, v = (1/√2) C

प्रकाश की चाल, C

⇒ विरामस्थ तंत्र में लंबाई के घटक:

L₀ₓ = L₀ cos(θ) = 1 × cos 45° = 1/√2

L₀ᵧ = L₀ sin(θ) = 1 × sin 45° = 1/√2

⇒ x-दिशा में लंबाई संकुचन:

Lₓ = L₀ₓ √(1 - v²/C²)

⇒ Lₓ = (1/√2) √(1 - (1/2))

⇒ Lₓ = (1/√2) × (√1/√2) = 1/2

⇒ फ्रेम S में कुल लंबाई:

L = √(Lₓ² + L₀ᵧ²)

⇒ L = √((1/2)² + (1/√2)²)

⇒ L = √(1/4 + 1/2)

⇒ L = √(3/4)

⇒ L = √3 / 2

∴ फ्रेम S में छड़ की लंबाई √3/2 मीटर है।

अवधारणा:

• चिरसम्मत भौतिकी के अनुसार, निकाय का जड़त्वीय द्रव्यमान प्रकाश के वेग से स्वतंत्र होता है। यह स्थिर माना जाता है।
• हालांकि सापेक्षता का विशेष सिद्धांत हमें वेग के साथ द्रव्यमान की भिन्नता की अवधारणा की ओर ले जाता है।
• यह सापेक्षता के विशेष सिद्धांत के अनुसार है एक प्रेक्षक के संबंध में, सापेक्ष वेग v के साथ गतिमान निकाय का द्रव्यमान m अपने m0 से बड़ा होता है जब यह विराम में होता है।
• सापेक्षता के विशेष सिद्धांत के कुछ दिलचस्प परिणामों को उनके गणितीय व्युत्पन्न में जाने के बिना इस प्रकार संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है।

समय विस्फारण:

• चिरसम्मत भौतिकी के अनुसार समय निरपेक्ष राशि है। लेकिन सापेक्षता के विशेष सिद्धांत के अनुसार, समय एक निरपेक्ष राशि नहीं है । यह निर्देश तंत्र की गति पर निर्भर करता है।
• यदि समय का अंतराल (एक घड़ी की टिकिंग ) एक जड़त्वीय निर्देश तंत्र में दो संकेतों S से t, के बीच, तो इन दो संकेतों के बीच समय अंतराल  पहले के संबंध में इस प्रकार होगी-

\(t' = \frac{t}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\)

इसका मतलब यह है कि t’ बढ़ा है या घटा है । दूसरे शब्दों में, घड़ी धीमी गति से चलेगी ।

लंबाई संकुचन:

• पृथ्वी से एक चलती अंतरिक्ष यान में एक पर्यवेक्षक द्वारा मापे गए एक तारे के लिए दूरी पृथ्वी पर एक पर्यवेक्षक द्वारा मापा दूरी से छोटी प्रतीत होता है । अर्थात S’ < S

\(L = \frac{L'}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}⇒ L'=L\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}}\)

L' < L चूंकि v

द्रव्यमान की भिन्नता:

• द्रव्यमान भी अपरिवर्तनीय नहीं है।
• यदि विराम से एक निकाय एक द्रव्यमान m₀ पर है, जब यह वेग v के साथ गति करती है तो इसका द्रव्यमान m के रूप में बढ़ता है, जो इस प्रकार है-

\(m = \frac{{{m_o}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\)

गणना:

दिया गया है:

घन की लंबाई = L0

घन का आयतन होगा-

\(\Rightarrow V = (L_o)^3=L^3_o\)

• यदि घन अपने एक किनारे के समानांतर वेग v के साथ चलता है तो इसका आयतन होगा-

\(\Rightarrow V = L^3_o\sqrt{1-(\frac{v^2}{c^2})}\)

\(\Rightarrow V = L_0^3{\left[ {1 - \left( {\frac{{{V^2}}}{{{C^2}}}} \right)} \right]^{\frac{1}{2}}}\)

सही उत्तर: 4) \(L_0 \sqrt{\frac{4 - v^2/c^2}{4}}\) है। 

व्याख्या:

दिया गया डेटा है
लम्बाई \(L_0\) की एक छड़ अपने स्थिर फ्रेम के x'y' तल में स्थित है, जो x' अक्ष के साथ \(60^\circ\) का कोण बनाती है।
छड़ प्रयोगशाला फ्रेम x, y के सापेक्ष वेग v के साथ दाईं ओर गति करती है।
हमें प्रयोगशाला फ्रेम में छड़ की लंबाई और अभिविन्यास ज्ञात करना है।

चूँकि छड़ प्रयोगशाला फ्रेम के सापेक्ष गतिमान है, इसलिए केवल गति की दिशा (अर्थात, प्रयोगशाला फ्रेम में x अक्ष के साथ) के अनुदिश छड़ की लंबाई का घटक लोरेंज संकुचन का अनुभव करेगा।
गति की दिशा (y अक्ष के साथ) के लंबवत लंबाई का घटक अपरिवर्तित रहेगा।

छड़ अपने स्वयं के फ्रेम में x' अक्ष के साथ \(60^\circ\) का कोण बनाती है, इसलिए हम लंबाई \(L_0\) को x' और y' घटकों में विभाजित कर सकते हैं:

\( L_{x'} = L_0 \cos(60^\circ) = \frac{L_0}{2}\)

\( L_{y'} = L_0 \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} L_0\)

लंबाई \(L_{x'} \) का x' घटक x अक्ष के साथ इसकी गति के कारण प्रयोगशाला फ्रेम में संकुचित हो जाएगा।
लोरेंज संकुचन के अनुसार, प्रयोगशाला फ्रेम में संकुचित लंबाई \(L_x \) इस प्रकार दी गई है:
\( L_x = L_{x'} \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{L_0}{2} \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \\\)

लंबाई \(L_{y'}\) का y घटक प्रयोगशाला फ्रेम में अपरिवर्तित रहता है, क्योंकि यह गति की दिशा के लंबवत है:

\( L_y = L_{y'} = \frac{\sqrt{3}}{2} L_0\)

प्रयोगशाला फ्रेम में छड़ की कुल लंबाई L को x और y घटकों को मिलाकर गणना की जा सकती है:

\( L = \sqrt{L_x^2 + L_y^2}\)

मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

\( L = \sqrt{\left(\frac{L_0}{2} \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} L_0\right)^2} \\\)
इस व्यंजक को सरल करने पर मिलता है:

\(L = L_0 \sqrt{\frac{1}{4}\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) + \frac{3}{4}} \\ L = L_0 \sqrt{\frac{1 - \frac{v^2}{c^2} + 3}{4}} \\ L = L_0 \sqrt{\frac{4 - v^2/c^2}{4}} = L_0 \sqrt{\frac{4 - v^2/c^2}{4}}\)

अवधारणा:

• शास्त्रीय भौतिकी के अनुसार, निकाय का जड़त्वीय द्रव्यमान प्रकाश के वेग से स्वतंत्र होता है। यह एक स्थिरांक के रूप में लिया जाता है।
• हालांकि सापेक्षता का विशेष सिद्धांत हमें वेग के साथ द्रव्यमान की परिवर्तनशीलता की अवधारणा की ओर ले जाता है।
• यह सापेक्षता के विशेष सिद्धांत का अनुसरण करता है कि एक प्रेक्षक के सापेक्ष सापेक्षकीय वेग v के साथ गतिमान निकाय का द्रव्यमान m अपने m0 से बड़ा होता है जब यह विरामावस्था पर होता है।
• सापेक्षता के विशेष सिद्धांत के कुछ दिलचस्प परिणामों को उनके गणितीय व्युत्पन्न में जाने के बिना इस प्रकार संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है।

लंबाई संकुचन:

एक चलती अंतरिक्ष यान में एक पर्यवेक्षक द्वारा मापी पृथ्वी से एक तारे की दूरी पृथ्वी पर एक पर्यवेक्षक द्वारा मापी दूरी से छोटी प्रतीत होती है अर्थात S’ < S।
\(L = \frac{L'}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}⇒ L'=L\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}}\)

L' < L चूंकि v

गणना:

दिया गया है:

तीर की लंबाई = 1 m और v = 0.8c​

एक पर्यवेक्षक द्वारा मापा गए के रूप में लोरेन्ट्ज़-फिजराल्ड संकुचन के कारण तीर की लंबाई है

\(⇒ L'=L\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}}\)

\(⇒ L'=1\sqrt {1 - (\frac{0.8c}{c})^2}=\sqrt{0.36}=0.60\,m\)

Important Points

द्रव्यमान की भिन्नता:

द्रव्यमान भी अपरिवर्तनीय नहीं है।

यदि विराम में एक निकाय का द्रव्यमान m0 जब यह वेग v के साथ चलता है तो इसका द्रव्यमान m हो जाता है जो यह इस प्रकार होगा-

\(m = \frac{{{m_o}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\)

समय विस्तारण:

• शास्त्रीय भौतिकी के अनुसार समय निरपेक्ष राशि है। लेकिन सापेक्षता के विशेष सिद्धांत के अनुसार, समय एक निरपेक्ष राशि नहीं है । यह गति के निर्देश तंत्र पर निर्भर करती है। 
• यदि एक जड़त्व निर्देश तंत्र S में दो सिग्नलों के बीच समय का अंतराल (जैसे कि एक घड़ी की टिकटिक) t है तो पहले के संबंध में गतिमान अन्य जड़त्वीय निर्देश तंत्र S' में इन्हीं दो सिग्नलों के बीच समय अंतराल इस प्रकार होगा-

\(t' = \frac{t}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\)

इसका मतलब यह है कि t' बढ़ गया है या विस्तारित हो गया है। दूसरे शब्दों में घड़ी धीमी हो जाएगी।