Sum of First n Natural Numbers MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Sum of First n Natural Numbers - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

यदि a1, a2, a3,..गुणोत्तर श्रेणी में सार्व अनुपात r के साथ हैं,

 \(​​​​r=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{a_{4}}{a_{3}}\)

यदि a प्रथम पद हो, r किसी गुणोत्तर श्रेणी का उभयनिष्ठ अनुपात हो तो,

\(\rm S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}\)

गणना:

गणना:

माना अभीष्ट योग S है।

⇒ S = \(\frac{1}{2} + \frac{3}{4}+\frac{7}{8}+\frac{15}{16}+...\)

⇒ S =\(\frac{2-1}{2} + \frac{4-1}{4}+\frac{8-1}{8}+\frac{16-1}{16}+...\)

⇒ S = \(1-\frac{1}{2} +1- \frac{1}{4}+1-\frac{1}{8}+1-\frac{1}{16}+...n\ term\)

⇒ S = \( n-[\frac{1}{2} + \frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...n\ term]\)

इस प्रकार, a = 1/2 और r = 1/2

हम जानते हैं कि गुणोत्तर श्रेणी (r <1) के n^वें पद का योग निम्न है

\(\rm S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}\)

⇒ S = \(n- \frac{(1/2)[1-(1/2)^n]}{1-1/2}\)         (∵ 1/an = a-n)

⇒ S = n - 1 + 2-n

∴ S = n + 2-n -1

संकल्पना:

1. समांतर श्रेणी के nवें पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है;

an = a + (n – 1) d

2. पहला पद a और सार्व अंतर d वाले एक समांतर श्रेणी के n पदों का योग निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\rm {S_n} = \frac{n}{2} × \left[ {2a + \left( {n - 1} \right)d} \right]\)     ----(1)

या

\({S_n} = \frac{n}{2} × \left[ {a + l} \right]\)

जहां,

an = nवां पद और l = अंतिम पद

गणना:

दिया गया है:

\(3 + \dfrac{9}{2} + 6 + \dfrac{15}{2} + .....\)

d = 3/2

n = 25

a = 3

समीकरण (1) से;

\(S_{25} = \dfrac{25}{2} [2a + (25-1) \times d] \)

\(= \dfrac{25}{2} \left[ 2 \times 3 + (24) \times \dfrac{3}{2} \right]\)

\(= \dfrac{25}{2} \times 42 = 25 \times 21 = 525\)

संकल्पना:

1 से n तक क्रमागत संख्याओं का योग: \( \rm 1 + 2 + 3 +\ ...\ + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\)।

गणना:

दी गई श्रृंखला के पहले 24 पदों का योग इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\(\rm \sqrt{2}+ \sqrt{8}+\sqrt{18}+\sqrt{32}+\ ...\)

\(\rm =\sqrt{2}+ 2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+4\sqrt{2}+\ ...\ +24\sqrt2\)

\(\rm =\sqrt2(1+2+\ ...\ +24)\)

\(\rm =\sqrt2\times \dfrac{24\times25}{2}=300\sqrt2\).

दिया गया है:

पहले 'n' प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) है।

गणना:

माना कि आवश्यक योग S है।

⇒ S = 12 - 22 + 32 - 42 + 52 - ...n2

प्रश्नानुसार, n सम है = 2m (माना कि)

S = 12 - 22 + 32 - 42 + 52 - ...(2m)2

हम जानते हैं कि, a² - b² = (a - b)(a + b)

⇒ S = (1 + 2)(1 - 2) + (3 + 4)(3 - 4) + ....(2m -1 + 2m)(2m - 1 - 2m) 

⇒ S = -1{1 + 2 + 3 + .....2m}

उपरोक्त श्रृंखला पहले 2m प्राकृतिक संख्या के योग को दर्शाता है।

प्रश्नानुसार,

पहले 'n' प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) है।

⇒ S = -[\(\frac{2m(2m+1)}{2}\)]

लेकिन 2m = n है।

⇒ 12 - 22 + 32 - 42 + 52 - ...n2 = -[\(\frac{n(n+1)}{2}\)] 

∴ केवल कथन III सही है।

प्रयुक्त सूत्र:

पहले n धनात्मक पूर्णांकों का योग सूत्र द्वारा दिया गया है:

\(1 + 2 + 3 + \ldots + n = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2} \)

प्रथम n पूर्ण वर्गों का योग सूत्र द्वारा दिया गया है:

\(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2= \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)

स्पष्टीकरण:

दिया गया है: P(n): 1.6 + 2.9 + 3.12 + ----- + n(3n + 3)

इसे हम ∑k(3k + 3) के रूप में लिख सकते हैं

जहाँ k, 1 से n तक का पूर्णांक है।

इन पदों का योग ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक पद का प्रसार कर सकते हैं और फिर समांतर श्रेणी के योग के लिए सूत्र का प्रयोग कर सकते हैं।

∑ k(3k + 3) = ∑ 3k² + 3k 

⇒ ∑ k(3k + 3) = \( 3 \cdot \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + 3 \cdot \frac{n(n + 1)}{2} \) [योग के लिए सूत्र का प्रयोग करना]

⇒ ∑ k(3k + 3)  =\( \frac{1}{2} n(n + 1)(2n + 1) + \frac{3}{2} n(n + 1) \)

⇒ ∑ k(3k + 3) = \( \frac{1}{2} n(n + 1)(2n + 4) \)

⇒ ∑ k(3k + 3) = \(\frac{1}{2} n(n + 1)(n + 2) \times 2\)

⇒ ∑ k(3k + 3) = \(n(n + 1)(n + 2)\)  

इस प्रकार, अभीष्ट योग n(n + 1)(n + 2) है।

संकल्पना:

1 से n तक के क्रमागत संख्याओं का योग:

\( \rm 1 + 2 + 3 +\ ...\ + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\)

गणना:

दी गयी श्रृंखला में पहले 20 पदों के योग को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

\(\rm \sqrt{5}+ \sqrt{20}+\sqrt{45}+\sqrt{80}+\ ...\)

\(\rm =\sqrt{5}+ 2\sqrt{5}+3\sqrt{5}+4\sqrt{5}+\ ...\ +20\sqrt5\)

\(\rm =\sqrt5(1+2+\ ...\ +20)\)

\(\rm =\sqrt5\times \dfrac{20\times21}{2}=210\sqrt5\)

संकल्पना:

1 से n तक क्रमागत संख्याओं का योग:

\(\rm1 + 2 + 3 +\ ...\ + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\).

गणना:

दी गयी श्रृंखला में पहले 18 पदों के योग को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

3 + 6 + 9 + 12 + 15, ....... 

⇒ 3(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ....)

⇒ \(\frac{3 \times 18 \times 19}{2} = 513\) 

संकल्पना:

1 से n तक क्रमागत संख्याओं का योग: \( \rm 1 + 2 + 3 +\ ...\ + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\)।

गणना:

दी गई श्रृंखला के पहले 24 पदों का योग इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\(\rm \sqrt{2}+ \sqrt{8}+\sqrt{18}+\sqrt{32}+\ ...\)

\(\rm =\sqrt{2}+ 2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+4\sqrt{2}+\ ...\ +24\sqrt2\)

\(\rm =\sqrt2(1+2+\ ...\ +24)\)

\(\rm =\sqrt2\times \dfrac{24\times25}{2}=300\sqrt2\).

सही उत्तर \(300\sqrt{2}\) है 

संकल्पना:

1 से n तक क्रमागत संख्याओं का योग:\( \rm 1 + 2 + 3 +\ ...\ + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\)

गणना:

दी गई श्रृंखला के पहले 24 पदों का योग इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\(\rm \sqrt{2}+ \sqrt{8}+\sqrt{18}+\sqrt{32}+\ ...\)

\(\rm =\sqrt{2}+ 2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+4\sqrt{2}+\ ...\ +24\sqrt2\)

\(\rm =\sqrt2(1+2+\ ...\ +24)\)

\(\rm =\sqrt2\times \dfrac{24\times25}{2}=300\sqrt2\)

संकल्पना:

1 से n तक क्रमागत संख्याओं का योग:

\(\rm1 + 2 + 3 +\ ...\ + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\).

गणना:

दी गयी श्रृंखला के पहले 12 पदों के योग को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

\(\rm \sqrt{3}+ \sqrt{12}+\sqrt{27}+\sqrt{48}+\ ...\)

\(\rm =\sqrt{3}+ 2\sqrt{3}+3\sqrt{3}+4\sqrt{3}+\ ...\ +12\sqrt3\)

\(\rm =\sqrt3(1+2+\ ...\ +12)\)

\(\rm =\sqrt3\times \dfrac{12\times13}{2}=78\sqrt3\)

प्रयुक्त सूत्र:

n संख्याओं के वर्ग का योग = \(\frac{n(n +1)(2n + 1)}{6}\)

n पदों का योग = \(\frac{n(n +1)}{2}\)

हिसाब:

a1 = 1

a2 = 1 + 8 = 9

a3 = 9 + 8 + 7 = 24

a4 = 24 + 8 + 7 + 7 =  46

तो, K^वां पद होगा:

⇒ ak = 1 + 8(k - 1) + 7\(\frac{(k -1)(k - 2)}{2}\)

⇒ ak = 7k2/2 - 5k/2

पहले n पद का योग:

\(⇒ \frac{7}{2} \times \frac{1}{6}n(n +1)(2n + 1) - \frac{5}{2} \times \frac{1}{2}n(n + 1)\)

\(⇒ \frac{1}{12}n(n + 1).[7(2n + 1) - 15]\)

\(⇒ \frac{1}{12}n(n + 1).(14n - 8)\)

\(∴ \frac{1}{6}n(n + 1).(7n - 4)\)

सही विकल्प 4 है अर्थात \(\frac{1}{6}n(n + 1).(7n - 4)\)

संकल्पना:

1. समांतर श्रेणी के nवें पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है;

an = a + (n – 1) d

2. पहला पद a और सार्व अंतर d वाले एक समांतर श्रेणी के n पदों का योग निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\rm {S_n} = \frac{n}{2} × \left[ {2a + \left( {n - 1} \right)d} \right]\)     ----(1)

या

\({S_n} = \frac{n}{2} × \left[ {a + l} \right]\)

जहां,

an = nवां पद और l = अंतिम पद

गणना:

दिया गया है:

\(3 + \dfrac{9}{2} + 6 + \dfrac{15}{2} + .....\)

d = 3/2

n = 25

a = 3

समीकरण (1) से;

\(S_{25} = \dfrac{25}{2} [2a + (25-1) \times d] \)

\(= \dfrac{25}{2} \left[ 2 \times 3 + (24) \times \dfrac{3}{2} \right]\)

\(= \dfrac{25}{2} \times 42 = 25 \times 21 = 525\)

प्रयुक्त सूत्र:

प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग = n(n +1)/2

a^m × aⁿ = a^{m + n}

गणना:

10 तक प्राकृतिक संख्याओं का योग = 10(10 + 1)/2 = 55

तो, प्रश्न के अनुसार:

5 × 52 × 53....(10 पद) = 5⁵⁵

∴ 5 × 52 × 53....(10 पद) = 5⁵⁵

संकल्पना:

1 से n तक क्रमागत संख्याओं का योग:

\(\rm1 + 2 + 3 +\ ...\ + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\).

गणना:

दी गयी श्रृंखला के पहले 12 पदों के योग को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

\(\rm \sqrt{3}+ \sqrt{12}+\sqrt{27}+\sqrt{48}+\ ...\)

\(\rm =\sqrt{3}+ 2\sqrt{3}+3\sqrt{3}+4\sqrt{3}+\ ...\ +12\sqrt3\)

\(\rm =\sqrt3(1+2+\ ...\ +12)\)

\(\rm =\sqrt3\times \dfrac{12\times13}{2}=78\sqrt3\)

संकल्पना:

1 से n तक क्रमागत संख्याओं का योग:

\(\rm1 + 2 + 3 +\ ...\ + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\).

गणना:

दी गयी श्रृंखला में पहले 18 पदों के योग को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

3 + 6 + 9 + 12 + 15, ....... 

⇒ 3(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ....)

⇒ \(\frac{3 \times 18 \times 19}{2} = 513\)