Special Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Special Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

हम जानते हैं कि

Γ(1/n)Γ(2/n)....Γ(1-1/n) = \((2\pi)^{\frac{n-1}2}\over\sqrt n\)

n = 10 रखने पर हमें मिलता है,

Γ(0.1) Γ(0.2) Γ(0.3)....Γ(0.9) = \(\rm \frac{(2\pi)^{9/2}}{\sqrt{10}}\)

विकल्प (2) सही है।

संकल्पना:

f(x) = |x| 

f(x) = \(\rm \left\{\begin{matrix} x & x > 0\\ -x & x < 0 \end{matrix}\right.\)

एक फलन f(x) x = a पर निरंतर है, यदि

\(\rm \lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x) = \lim_{x\rightarrow a^{+}} f(x) = \lim_{x\rightarrow a}f(x) \)

एक फलन f(x) x = a पर अवकलनीय है, यदि LHD = RHD

LHD = \(\rm \lim_{x\rightarrow a^{-}}f'(x) = \rm \lim_{h\rightarrow 0^{-}}\frac{f(a-h) - f(a)}{-h}\)

RHD = \(\rm \lim_{x\rightarrow a^{+}}f'(x) = \rm \lim_{h\rightarrow 0^{+}}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}\)

गणना​:

\(f(x) = \frac{[x]}{|x|}\)

f(x) = \(\rm \left\{\begin{matrix} \frac{-1}{-x} = \frac{1}{x} & -1 < x < 0 & \\ \frac{0}{x} = 0 & 0 < x < 1 & \\ \frac{1}{x} = \frac{1}{x} & 1 < x < 2 & \end{matrix}\right.\)

At x = 1

RHL = \(\lim_{x \to 0^+} =\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = 1\)

∴ The right-hand limit of f(x) at x = 1 is 1.

संकल्पना:

सबसे बड़ा पूर्णांक फलन: सबसे बड़ा पूर्णांक फलन [x] वास्तविक संख्या x के एक समाकल भाग को दर्शाता है जो x का निकटतम और सबसे छोटा पूर्णांक है। इसे x के फ्लोर के रूप में भी जाना जाता है। 

• सामान्यतौर पर यदि n ≤ x ≤ n+1 है, तो [x] = n है।  (n ∈ पूर्णांक)
• अर्थात् यदि x, [n, n+1) में है, तो x का सबसे बड़ा पूर्णांक फलन n होगा। 

उदाहरण:

x का भिन्नतामक भाग: भिन्नात्मक भाग सदैव गैर-ऋणात्मक होंगे। 

• इसे {x} द्वारा दर्शाया जाता है। 
• {x} = x - [x]

सीमा की मौजूदगी:

यदि\(\rm \displaystyle \lim_{x \to a^{-}}f(x)\) है, तो \( \rm \displaystyle \lim_{x \to a}f(x)\) मौजूद है और यदि \( \rm \displaystyle \lim_{x \to a^{-}}f(x) = \rm \displaystyle \lim_{x \to a^{+}}f(x)\) है, तो \(\rm \displaystyle \lim_{x \to a^{+}}f(x)\) मौजूद है। 

गणना:

निम्न को ज्ञात करने के लिए: \(\rm \displaystyle \lim_{x→ 0}\frac{\{x\}}{\sin\{x\}}\) का मान 

चूँकि हम जानते हैं {x} = x - [x]

\(\rm \displaystyle \lim_{x→ 0}\frac{\{x\}}{\sin\{x\}}= \rm \displaystyle \lim_{x→ 0}\frac{x- [x]}{\sin (x- [x])}\)

RHL = \(\rm \displaystyle \lim_{x→ 0^+}\frac{x- [x]}{\sin (x- [x])}\)

यदि x → 0⁺ है, तो [x] = 0 है। 

RHL = \(\rm \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{x}{\sin (x)} \)        [रूप (0/0)]

L - हॉस्पिटल नियम को लागू करने पर,

\(\rm RHL=\rm \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{1}{\cos (x)} = 1\)

RHL = 1

LHL = \(\rm \displaystyle \lim_{x→ 0^-}\frac{x- [x]}{\sin (x- [x])}\)

यदि x → 0^- है, तो [x] = -1 है। 

\(\rm LHL = \rm \displaystyle \lim_{x \to 0^{-}}\frac{x- (-1)}{\sin (x- (-1))}\\= \rm \displaystyle \lim_{x \to 0^{-}}\frac{x+1}{\sin (x+1)}\\=\frac{1}{\sin 1}\)

RHL ≠ LHL

अतः सीमा मौजूद नहीं है। 

अवधारणा :

आवधिक फलन:

एक फलन f को अवधि p के साथ आवधिक फलन कहा जाता है अगर f(x + p) = f(x) ∀ x।

sin x और cos x की अवधि 2π है

गणना:

कथन 1 : sin x अवधि 2π के साथ एक आवधिक फलन है

जैसा कि हम जानते हैं कि, sin x और cos x 2π के साथ एक आवधिक फलन हैं।

तो, कथन 1 सत्य है ।

कथन 2 : cos x अवधि 2π के साथ एक आवधिक फलन है

जैसा कि हम जानते हैं कि, sin x और cos x 2π के साथ एक आवधिक फलन हैं।

तो, कथन 2 सत्य है ।

इसलिए, विकल्प C सही उत्तर है।

संकल्पना:

1. महत्तम पूर्णांक फलन: महत्तम पूर्णांक फलन [x] वास्तविक संख्या x का एक समाकल भाग इंगित करता है जो निकटतम और x से छोटा पूर्णांक है। इसे x के तल के रूप में भी जाना जाता है।

• सामान्य तौर पर, यदि \(n \le x\; \le n + 1\) तो [x] = n     (n ∈ पूर्णांक)
• मतलब अगर x [n, n + 1) में है तो x का महत्तम पूर्णांक फलन n होगा।

उदाहरण:

2. एक फलन f(x) को उसके डोमेन में एक बिंदु x = a पर निरंतर होना कहा जाता है यदि \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{a}}} f\left( x \right) = f\left( a \right)\) मौजूद है या इसका आलेख एकल अभंग वक्र है।

f(x) x = a पर निरंतर है

⇔ \({\rm{\;}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\rm{a}}^ + }} f\left( x \right){\rm{\;}} = {\rm{\;}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\rm{a}}^ - }} f\left( x \right){\rm{\;}} = {\rm{\;}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{a}}} f\left( x \right)\)

गणना:

f(x) = [x] के लिए:

LHL = \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {0^ - }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{x}} \to {0^ - }} \left[ {\rm{x}} \right] = \left[ {0 - {\rm{h}}} \right] = - 1\)

\({\rm{RHL}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {0^ + }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {0^ + }} \left[ {\rm{x}} \right] = \left[ {0 + {\rm{h}}} \right] = 0\)

LHL ≠ RHL, इसलिए f(x) x = 0 पर अनिरंतर है

g(x) = sin x के लिए

\({\rm{LHL}} = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{x}} \to {0^ - }} {\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{\;}}\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{x}} \to {0^ - }} {\rm{sinx}} = 0\)

\({\rm{RHL}} = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{x}} \to {0^ + }} {\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{\;}}\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{x}} \to {0^ + }} {\rm{sinx}} = 0\)

g (0) = sin (0) = 0

LHL = RHL = g (0), इसलिए g (x) x = 0 पर निरंतर है

इसलिए, विकल्प (3) सही है।

संकल्पना:

1. महत्तम पूर्णांक फलन: महत्तम पूर्णांक फलन [x] वास्तविक संख्या x का एक समाकल भाग इंगित करता है जो निकटतम और x से छोटा पूर्णांक है। इसे x के तल के रूप में भी जाना जाता है।

• सामान्य तौर पर, यदि \(n \le x\; \le n + 1\) तो [x] = n     (n ∈ पूर्णांक)
• मतलब अगर x [n, n + 1) में है तो x का महत्तम पूर्णांक फलन n होगा।

उदाहरण:

2. एक फलन f(x) को उसके डोमेन में एक बिंदु x = a पर निरंतर होना कहा जाता है यदि \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{a}}} f\left( x \right) = f\left( a \right)\) मौजूद है या इसका आलेख एकल अभंग वक्र है।

f(x) x = a पर निरंतर है

⇔ \({\rm{\;}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\rm{a}}^ + }} f\left( x \right){\rm{\;}} = {\rm{\;}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\rm{a}}^ - }} f\left( x \right){\rm{\;}} = {\rm{\;}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{a}}} f\left( x \right)\)

गणना:

f(x) = [x] के लिए:

LHL = \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {0^ - }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{x}} \to {0^ - }} \left[ {\rm{x}} \right] = \left[ {0 - {\rm{h}}} \right] = - 1\)

\({\rm{RHL}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {0^ + }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {0^ + }} \left[ {\rm{x}} \right] = \left[ {0 + {\rm{h}}} \right] = 0\)

LHL ≠ RHL, इसलिए f(x) x = 0 पर अनिरंतर है

g(x) = sin x के लिए

\({\rm{LHL}} = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{x}} \to {0^ - }} {\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{\;}}\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{x}} \to {0^ - }} {\rm{sinx}} = 0\)

\({\rm{RHL}} = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{x}} \to {0^ + }} {\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{\;}}\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{x}} \to {0^ + }} {\rm{sinx}} = 0\)

g (0) = sin (0) = 0

LHL = RHL = g (0), इसलिए g (x) x = 0 पर निरंतर है

इसलिए, विकल्प (3) सही है।

संकल्पना:

सबसे बड़ा पूर्णांक फलन: सबसे बड़ा पूर्णांक फलन [x] वास्तविक संख्या x के एक समाकल भाग को दर्शाता है जो x का निकटतम और सबसे छोटा पूर्णांक है। इसे x के फ्लोर के रूप में भी जाना जाता है। 

• सामान्यतौर पर यदि n ≤ x ≤ n+1 है, तो [x] = n है।  (n ∈ पूर्णांक)
• अर्थात् यदि x, [n, n+1) में है, तो x का सबसे बड़ा पूर्णांक फलन n होगा। 

उदाहरण:

x का भिन्नतामक भाग: भिन्नात्मक भाग सदैव गैर-ऋणात्मक होंगे। 

• इसे {x} द्वारा दर्शाया जाता है। 
• {x} = x - [x]

सीमा की मौजूदगी:

यदि\(\rm \displaystyle \lim_{x \to a^{-}}f(x)\) है, तो \( \rm \displaystyle \lim_{x \to a}f(x)\) मौजूद है और यदि \( \rm \displaystyle \lim_{x \to a^{-}}f(x) = \rm \displaystyle \lim_{x \to a^{+}}f(x)\) है, तो \(\rm \displaystyle \lim_{x \to a^{+}}f(x)\) मौजूद है। 

गणना:

निम्न को ज्ञात करने के लिए: \(\rm \displaystyle \lim_{x→ 0}\frac{\{x\}}{\sin\{x\}}\) का मान 

चूँकि हम जानते हैं {x} = x - [x]

\(\rm \displaystyle \lim_{x→ 0}\frac{\{x\}}{\sin\{x\}}= \rm \displaystyle \lim_{x→ 0}\frac{x- [x]}{\sin (x- [x])}\)

RHL = \(\rm \displaystyle \lim_{x→ 0^+}\frac{x- [x]}{\sin (x- [x])}\)

यदि x → 0⁺ है, तो [x] = 0 है। 

RHL = \(\rm \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{x}{\sin (x)} \)        [रूप (0/0)]

L - हॉस्पिटल नियम को लागू करने पर,

\(\rm RHL=\rm \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{1}{\cos (x)} = 1\)

RHL = 1

LHL = \(\rm \displaystyle \lim_{x→ 0^-}\frac{x- [x]}{\sin (x- [x])}\)

यदि x → 0^- है, तो [x] = -1 है। 

\(\rm LHL = \rm \displaystyle \lim_{x \to 0^{-}}\frac{x- (-1)}{\sin (x- (-1))}\\= \rm \displaystyle \lim_{x \to 0^{-}}\frac{x+1}{\sin (x+1)}\\=\frac{1}{\sin 1}\)

RHL ≠ LHL

अतः सीमा मौजूद नहीं है। 

संकल्पना:

f(x) = |x| 

f(x) = \(\rm \left\{\begin{matrix} x & x > 0\\ -x & x < 0 \end{matrix}\right.\)

एक फलन f(x) x = a पर निरंतर है, यदि

\(\rm \lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x) = \lim_{x\rightarrow a^{+}} f(x) = \lim_{x\rightarrow a}f(x) \)

एक फलन f(x) x = a पर अवकलनीय है, यदि LHD = RHD

LHD = \(\rm \lim_{x\rightarrow a^{-}}f'(x) = \rm \lim_{h\rightarrow 0^{-}}\frac{f(a-h) - f(a)}{-h}\)

RHD = \(\rm \lim_{x\rightarrow a^{+}}f'(x) = \rm \lim_{h\rightarrow 0^{+}}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}\)

गणना​:

\(f(x) = \frac{[x]}{|x|}\)

f(x) = \(\rm \left\{\begin{matrix} \frac{-1}{-x} = \frac{1}{x} & -1 < x < 0 & \\ \frac{0}{x} = 0 & 0 < x < 1 & \\ \frac{1}{x} = \frac{1}{x} & 1 < x < 2 & \end{matrix}\right.\)

At x = 1

RHL = \(\lim_{x \to 0^+} =\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = 1\)

∴ The right-hand limit of f(x) at x = 1 is 1.

अवधारणा :

आवधिक फलन:

एक फलन f को अवधि p के साथ आवधिक फलन कहा जाता है अगर f(x + p) = f(x) ∀ x।

sin x और cos x की अवधि 2π है

गणना:

कथन 1 : sin x अवधि 2π के साथ एक आवधिक फलन है

जैसा कि हम जानते हैं कि, sin x और cos x 2π के साथ एक आवधिक फलन हैं।

तो, कथन 1 सत्य है ।

कथन 2 : cos x अवधि 2π के साथ एक आवधिक फलन है

जैसा कि हम जानते हैं कि, sin x और cos x 2π के साथ एक आवधिक फलन हैं।

तो, कथन 2 सत्य है ।

इसलिए, विकल्प C सही उत्तर है।

संकल्पना:

1. महत्तम पूर्णांक फलन: महत्तम पूर्णांक फलन [x] वास्तविक संख्या x का एक समाकल भाग इंगित करता है जो निकटतम और x से छोटा पूर्णांक है। इसे x के तल के रूप में भी जाना जाता है।

• सामान्य तौर पर, यदि \(n \le x\; \le n + 1\) तो [x] = n     (n ∈ पूर्णांक)
• मतलब अगर x [n, n + 1) में है तो x का महत्तम पूर्णांक फलन n होगा।

उदाहरण:

2. एक फलन f(x) को उसके डोमेन में एक बिंदु x = a पर निरंतर होना कहा जाता है यदि \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{a}}} f\left( x \right) = f\left( a \right)\) मौजूद है या इसका आलेख एकल अभंग वक्र है।

f(x) x = a पर निरंतर है

⇔ \({\rm{\;}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\rm{a}}^ + }} f\left( x \right){\rm{\;}} = {\rm{\;}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\rm{a}}^ - }} f\left( x \right){\rm{\;}} = {\rm{\;}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{a}}} f\left( x \right)\)

गणना:

f(x) = [x] के लिए:

LHL = \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {0^ - }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{x}} \to {0^ - }} \left[ {\rm{x}} \right] = \left[ {0 - {\rm{h}}} \right] = - 1\)

\({\rm{RHL}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {0^ + }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {0^ + }} \left[ {\rm{x}} \right] = \left[ {0 + {\rm{h}}} \right] = 0\)

LHL ≠ RHL, इसलिए f(x) x = 0 पर अनिरंतर है

g(x) = sin x के लिए

\({\rm{LHL}} = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{x}} \to {0^ - }} {\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{\;}}\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{x}} \to {0^ - }} {\rm{sinx}} = 0\)

\({\rm{RHL}} = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{x}} \to {0^ + }} {\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{\;}}\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{x}} \to {0^ + }} {\rm{sinx}} = 0\)

g (0) = sin (0) = 0

LHL = RHL = g (0), इसलिए g (x) x = 0 पर निरंतर है

इसलिए, विकल्प (3) सही है।

संकल्पना:

सबसे बड़ा पूर्णांक फलन: सबसे बड़ा पूर्णांक फलन [x] वास्तविक संख्या x के एक समाकल भाग को दर्शाता है जो x का निकटतम और सबसे छोटा पूर्णांक है। इसे x के फ्लोर के रूप में भी जाना जाता है। 

• सामान्यतौर पर यदि n ≤ x ≤ n+1 है, तो [x] = n है।  (n ∈ पूर्णांक)
• अर्थात् यदि x, [n, n+1) में है, तो x का सबसे बड़ा पूर्णांक फलन n होगा। 

उदाहरण:

x का भिन्नतामक भाग: भिन्नात्मक भाग सदैव गैर-ऋणात्मक होंगे। 

• इसे {x} द्वारा दर्शाया जाता है। 
• {x} = x - [x]

सीमा की मौजूदगी:

यदि\(\rm \displaystyle \lim_{x \to a^{-}}f(x)\) है, तो \( \rm \displaystyle \lim_{x \to a}f(x)\) मौजूद है और यदि \( \rm \displaystyle \lim_{x \to a^{-}}f(x) = \rm \displaystyle \lim_{x \to a^{+}}f(x)\) है, तो \(\rm \displaystyle \lim_{x \to a^{+}}f(x)\) मौजूद है। 

गणना:

निम्न को ज्ञात करने के लिए: \(\rm \displaystyle \lim_{x→ 0}\frac{\{x\}}{\sin\{x\}}\) का मान 

चूँकि हम जानते हैं {x} = x - [x]

\(\rm \displaystyle \lim_{x→ 0}\frac{\{x\}}{\sin\{x\}}= \rm \displaystyle \lim_{x→ 0}\frac{x- [x]}{\sin (x- [x])}\)

RHL = \(\rm \displaystyle \lim_{x→ 0^+}\frac{x- [x]}{\sin (x- [x])}\)

यदि x → 0⁺ है, तो [x] = 0 है। 

RHL = \(\rm \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{x}{\sin (x)} \)        [रूप (0/0)]

L - हॉस्पिटल नियम को लागू करने पर,

\(\rm RHL=\rm \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{1}{\cos (x)} = 1\)

RHL = 1

LHL = \(\rm \displaystyle \lim_{x→ 0^-}\frac{x- [x]}{\sin (x- [x])}\)

यदि x → 0^- है, तो [x] = -1 है। 

\(\rm LHL = \rm \displaystyle \lim_{x \to 0^{-}}\frac{x- (-1)}{\sin (x- (-1))}\\= \rm \displaystyle \lim_{x \to 0^{-}}\frac{x+1}{\sin (x+1)}\\=\frac{1}{\sin 1}\)

RHL ≠ LHL

अतः सीमा मौजूद नहीं है। 

संकल्पना:

f(x) = |x| 

f(x) = \(\rm \left\{\begin{matrix} x & x > 0\\ -x & x < 0 \end{matrix}\right.\)

एक फलन f(x) x = a पर निरंतर है, यदि

\(\rm \lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x) = \lim_{x\rightarrow a^{+}} f(x) = \lim_{x\rightarrow a}f(x) \)

एक फलन f(x) x = a पर अवकलनीय है, यदि LHD = RHD

LHD = \(\rm \lim_{x\rightarrow a^{-}}f'(x) = \rm \lim_{h\rightarrow 0^{-}}\frac{f(a-h) - f(a)}{-h}\)

RHD = \(\rm \lim_{x\rightarrow a^{+}}f'(x) = \rm \lim_{h\rightarrow 0^{+}}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}\)

गणना​:

\(f(x) = \frac{[x]}{|x|}\)

f(x) = \(\rm \left\{\begin{matrix} \frac{-1}{-x} = \frac{1}{x} & -1 < x < 0 & \\ \frac{0}{x} = 0 & 0 < x < 1 & \\ \frac{1}{x} = \frac{1}{x} & 1 < x < 2 & \end{matrix}\right.\)

At x = 1

RHL = \(\lim_{x \to 0^+} =\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = 1\)

∴ The right-hand limit of f(x) at x = 1 is 1.

अवधारणा :

आवधिक फलन:

एक फलन f को अवधि p के साथ आवधिक फलन कहा जाता है अगर f(x + p) = f(x) ∀ x।

sin x और cos x की अवधि 2π है

गणना:

कथन 1 : sin x अवधि 2π के साथ एक आवधिक फलन है

जैसा कि हम जानते हैं कि, sin x और cos x 2π के साथ एक आवधिक फलन हैं।

तो, कथन 1 सत्य है ।

कथन 2 : cos x अवधि 2π के साथ एक आवधिक फलन है

जैसा कि हम जानते हैं कि, sin x और cos x 2π के साथ एक आवधिक फलन हैं।

तो, कथन 2 सत्य है ।

इसलिए, विकल्प C सही उत्तर है।

व्याख्या:

हम जानते हैं कि

Γ(1/n)Γ(2/n)....Γ(1-1/n) = \((2\pi)^{\frac{n-1}2}\over\sqrt n\)

n = 10 रखने पर हमें मिलता है,

Γ(0.1) Γ(0.2) Γ(0.3)....Γ(0.9) = \(\rm \frac{(2\pi)^{9/2}}{\sqrt{10}}\)

विकल्प (2) सही है।