Simplex Method MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Simplex Method - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on May 29, 2025
Latest Simplex Method MCQ Objective Questions
Simplex Method Question 1:
एकधा विधि के दौरान, अपभ्रष्टता (degeneracy) कब होती है, और इसका क्या निहितार्थ है?
Answer (Detailed Solution Below)
Simplex Method Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
एकधा विधि में अपभ्रष्टता (Degeneracy)
- रैखिक प्रोग्रामिंग के संदर्भ में, एकधा विधि के दौरान अपभ्रष्टता तब होती है जब समाधान में एक या अधिक आधार चर शून्य मान लेते हैं।
- यह स्थिति तब उत्पन्न हो सकती है जब समाधान आवश्यक से अधिक बाधाओं के प्रतिच्छेदन पर स्थित होता है, जिससे आधार में प्रवेश करने के लिए कई ध्रुवीय तत्व उम्मीदवार होते हैं।
निहितार्थ:
- अपभ्रष्टता एकधा विधि के प्रदर्शन और प्रगति को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित कर सकती है।
- महत्वपूर्ण निहितार्थों में से एक है चक्रण की संभावना, जहां एल्गोरिथ्म इष्टतमता की ओर प्रगति किए बिना बार-बार बुनियादी व्यवहार्य समाधानों के एक ही सेट पर जा सकता है।
- यह एकधा विधि को अनंत लूप में प्रवेश करने का कारण बन सकता है, जिससे इसे इष्टतम समाधान तक पहुँचने से रोका जा सकता है।
घटना:
- अपभ्रष्टता आमतौर पर तब होती है जब ध्रुवीय संक्रिया के बावजूद उद्देश्य फलन का मान नहीं बदलता है, यह दर्शाता है कि समाधान सुसंगत क्षेत्र के समान शीर्ष पर रहता है।
- यह स्थिति तब हो सकती है जब ध्रुवीय संक्रिया के दौरान एक आधार चर का गुणांक शून्य हो जाता है।
एकधा विधि की कुछ विशेष स्थितियाँ:
1. असीमित समाधान: एकधा विधि में, यदि चर को छोड़ने के लिए चुनते समय ध्रुवीय स्तंभ में सभी प्रविष्टियाँ ऋणात्मक या शून्य हैं, तो समाधान असीमित है।
2. असंगत समाधान: एकधा विधि में, यदि आधार में कृत्रिम चर मौजूद हैं, तो प्राप्त समाधान असंगत है।
3. विकृत समाधान: एकधा विधि में, यदि स्थिरांक स्तंभ में कुछ मान शून्य हैं, तो समाधान विकृत हो जाता है।
4. बहु समाधान: एकधा विधि में, यदि अंतिम एकधा तालिका में गैर-आधार चर किसी समस्या के इष्टतम समाधान को दर्शाता है, जिसमें शून्य योगदान है, तो बहु इष्टतम समाधान की स्थिति उत्पन्न होती है।
Simplex Method Question 2:
एकधा विधि समस्या को असंगत माना जाता है जब _______।
Answer (Detailed Solution Below)
Simplex Method Question 2 Detailed Solution
व्याख्या :-
एकधा विधि:
- रैखिक क्रमादेशन विधि एक इष्टतम समाधान के लिए रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने की एक मानक तकनीक है, जिसमें आमतौर पर एक फलन और कई बाधाओं को असमानताओं के रूप में व्यक्त किया जाता है।
- असमानताएँ एक बहुभुज क्षेत्र को परिभाषित करती हैं और समाधान आमतौर पर किसी एक शीर्ष पर होता है।
रैखिक क्रमादेशन विधि की कुछ विशेष शर्तें:
1. असीमित हल: सरल विधि में, यदि धुरी स्तंभ में सभी प्रविष्टियां ऋणात्मक या शून्य हैं, जब चर को छोड़ना चुनते हैं तो समाधान अबाधित होता है।
2. असंगत हल: एकधा विधि में, यदि आधार में कृत्रिम चर मौजूद हैं, तो प्राप्त समाधान असंगत है।
3. अपभ्रष्ट हल: रैखिक क्रमादेशन विधि में, यदि स्थिर कॉलम में कुछ मान शून्य हैं, तो समाधान अपभ्रष्ट हो जाता है।
4. एकाधिक हल: रैखिक क्रमादेशन विधि में, यदि किसी समस्या के इष्टतम समाधान को दर्शाने वाली अंतिम रेखिक क्रमादेशन तालिका में गैर-मूल चर का शुद्ध शून्य योगदान होता है, तो कई इष्टतम समाधानों की स्थिति उत्पन्न होती है।
Simplex Method Question 3:
एकधा विधि समस्या को असंगत माना जाता है जब _______।
Answer (Detailed Solution Below)
Simplex Method Question 3 Detailed Solution
व्याख्या :-
एकधा विधि:
- रैखिक क्रमादेशन विधि एक इष्टतम समाधान के लिए रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने की एक मानक तकनीक है, जिसमें आमतौर पर एक फलन और कई बाधाओं को असमानताओं के रूप में व्यक्त किया जाता है।
- असमानताएँ एक बहुभुज क्षेत्र को परिभाषित करती हैं और समाधान आमतौर पर किसी एक शीर्ष पर होता है।
रैखिक क्रमादेशन विधि की कुछ विशेष शर्तें:
1. असीमित हल: सरल विधि में, यदि धुरी स्तंभ में सभी प्रविष्टियां ऋणात्मक या शून्य हैं, जब चर को छोड़ना चुनते हैं तो समाधान अबाधित होता है।
2. असंगत हल: एकधा विधि में, यदि आधार में कृत्रिम चर मौजूद हैं, तो प्राप्त समाधान असंगत है।
3. अपभ्रष्ट हल: रैखिक क्रमादेशन विधि में, यदि स्थिर कॉलम में कुछ मान शून्य हैं, तो समाधान अपभ्रष्ट हो जाता है।
4. एकाधिक हल: रैखिक क्रमादेशन विधि में, यदि किसी समस्या के इष्टतम समाधान को दर्शाने वाली अंतिम रेखिक क्रमादेशन तालिका में गैर-मूल चर का शुद्ध शून्य योगदान होता है, तो कई इष्टतम समाधानों की स्थिति उत्पन्न होती है।
Simplex Method Question 4:
सिम्प्लेक्स विधि में यदि पिवट स्तम्भ में सभी प्रविष्टियाँ ऋणात्मक या शून्य हैं, तो त्वक्त चर का चयन करते समय, यह _______।
Answer (Detailed Solution Below)
Simplex Method Question 4 Detailed Solution
व्याख्या:
सिम्प्लेक्स विधि: यह एक चरणबद्ध विधि है जिसमें प्रारंभिक व्यवहार्य समाधान के साथ समाधान शुरू किया जाता है और अगले चरण में प्रारंभिक व्यवहार्य समाधान में सुधार किया जाता है, इष्टतम समाधान तक पहुंचने तक चरणों को दोहराया जाता है।
निम्नलिखित सिम्पलेक्स विधि में चरों के समूह हैं।
- कृत्रिम चर
- इस चर को गैर-ऋणात्मकता बाधा का उल्लंघन नहीं करने के लिए बाधा के प्रकार से बड़े या बराबर होने की स्थिति में पेश किया जाता है।
- मूल चर
- उन्हें उस चर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो शून्य के अलावा किसी भी मान को ले सकते हैं।
- गैर-मूल चर
- यह चर मूल हल में नहीं है और इसमें शून्य मान है।
- शिथिल चर
- इस चर को, से कम (<) बाधा को हटाने के लिए सिम्पलेक्स विधि में पेश किया जाता है।
- अधिशेष चर
- इस चर को, से बड़े (>) बाधा को हटाने के लिए सिम्पलेक्स विधि में पेश किया जाता है।
दिए गए उद्देश्य फलन और बाधाओं के उदाहरण के लिए एक सिंप्लेक्स तालिका नीचे दिखाई गई है
अधिकतम Z = 4 x1 + 6 x2 + x3
2 x1 - x2 + 3 x3 ≤ 5 के अधीन
x2 ≤ 2
x1, x2, x3 ≥ 0
सिंप्लेक्स विधि के विशेष मामले निम्नलिखित हैं:
सिम्प्लेक्स विधि के तहत, कई इष्टतम समाधानों के अस्तित्व को एक ऐसी स्थिति से दर्शाया जाता है जिसके तहत अंतिम सिम्प्लेक्स तालिका में एक समस्या का इष्टतम समाधान दिखाने वाले गैर-मूल चर का शुद्ध शून्य योगदान होता है।
इष्टतम समाधान: यदि (Cj- Zj) में कम से कम एक गैर-मूल चर है) अंतिम सिंप्लेक्स तालिका की पंक्ति का मान शून्य है, यह इंगित करता है कि एक से अधिक इष्टतम समाधान हैं।
असीमित समाधान: यदि सभी प्रतिस्थापन राशन, bi/ai (ai - कुंजी स्तम्भ या पिवट स्तम्भ गुणांक ऋणात्मक हैं) तो यह समाधान असीमित है।
अव्यवहार्य समाधान: यदि आधार में कृत्रिम चर मौजूद हैं, तो प्राप्त समाधान संभव नहीं है।
पतित समाधान: यदि स्थिर स्तम्भ (bi) में कुछ मान शून्य हैं, तो समाधान पतित हो जाता है।
Simplex Method Question 5:
सिम्प्लेक्स विधि में यदि पिवट स्तम्भ में सभी प्रविष्टियाँ ऋणात्मक या शून्य हैं, तो त्वक्त चर का चयन करते समय, यह _______।
Answer (Detailed Solution Below)
Simplex Method Question 5 Detailed Solution
व्याख्या:
सिम्प्लेक्स विधि: यह एक चरणबद्ध विधि है जिसमें प्रारंभिक व्यवहार्य समाधान के साथ समाधान शुरू किया जाता है और अगले चरण में प्रारंभिक व्यवहार्य समाधान में सुधार किया जाता है, इष्टतम समाधान तक पहुंचने तक चरणों को दोहराया जाता है।
निम्नलिखित सिम्पलेक्स विधि में चरों के समूह हैं।
- कृत्रिम चर
- इस चर को गैर-ऋणात्मकता बाधा का उल्लंघन नहीं करने के लिए बाधा के प्रकार से बड़े या बराबर होने की स्थिति में पेश किया जाता है।
- मूल चर
- उन्हें उस चर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो शून्य के अलावा किसी भी मान को ले सकते हैं।
- गैर-मूल चर
- यह चर मूल हल में नहीं है और इसमें शून्य मान है।
- शिथिल चर
- इस चर को, से कम (<) बाधा को हटाने के लिए सिम्पलेक्स विधि में पेश किया जाता है।
- अधिशेष चर
- इस चर को, से बड़े (>) बाधा को हटाने के लिए सिम्पलेक्स विधि में पेश किया जाता है।
दिए गए उद्देश्य फलन और बाधाओं के उदाहरण के लिए एक सिंप्लेक्स तालिका नीचे दिखाई गई है
अधिकतम Z = 4 x1 + 6 x2 + x3
2 x1 - x2 + 3 x3 ≤ 5 के अधीन
x2 ≤ 2
x1, x2, x3 ≥ 0
सिंप्लेक्स विधि के विशेष मामले निम्नलिखित हैं:
सिम्प्लेक्स विधि के तहत, कई इष्टतम समाधानों के अस्तित्व को एक ऐसी स्थिति से दर्शाया जाता है जिसके तहत अंतिम सिम्प्लेक्स तालिका में एक समस्या का इष्टतम समाधान दिखाने वाले गैर-मूल चर का शुद्ध शून्य योगदान होता है।
इष्टतम समाधान: यदि (Cj- Zj) में कम से कम एक गैर-मूल चर है) अंतिम सिंप्लेक्स तालिका की पंक्ति का मान शून्य है, यह इंगित करता है कि एक से अधिक इष्टतम समाधान हैं।
असीमित समाधान: यदि सभी प्रतिस्थापन राशन, bi/ai (ai - कुंजी स्तम्भ या पिवट स्तम्भ गुणांक ऋणात्मक हैं) तो यह समाधान असीमित है।
अव्यवहार्य समाधान: यदि आधार में कृत्रिम चर मौजूद हैं, तो प्राप्त समाधान संभव नहीं है।
पतित समाधान: यदि स्थिर स्तम्भ (bi) में कुछ मान शून्य हैं, तो समाधान पतित हो जाता है।
Top Simplex Method MCQ Objective Questions
सिम्प्लेक्स विधि में यदि पिवट स्तम्भ में सभी प्रविष्टियाँ ऋणात्मक या शून्य हैं, तो त्वक्त चर का चयन करते समय, यह _______।
Answer (Detailed Solution Below)
Simplex Method Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या:
सिम्प्लेक्स विधि: यह एक चरणबद्ध विधि है जिसमें प्रारंभिक व्यवहार्य समाधान के साथ समाधान शुरू किया जाता है और अगले चरण में प्रारंभिक व्यवहार्य समाधान में सुधार किया जाता है, इष्टतम समाधान तक पहुंचने तक चरणों को दोहराया जाता है।
निम्नलिखित सिम्पलेक्स विधि में चरों के समूह हैं।
- कृत्रिम चर
- इस चर को गैर-ऋणात्मकता बाधा का उल्लंघन नहीं करने के लिए बाधा के प्रकार से बड़े या बराबर होने की स्थिति में पेश किया जाता है।
- मूल चर
- उन्हें उस चर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो शून्य के अलावा किसी भी मान को ले सकते हैं।
- गैर-मूल चर
- यह चर मूल हल में नहीं है और इसमें शून्य मान है।
- शिथिल चर
- इस चर को, से कम (<) बाधा को हटाने के लिए सिम्पलेक्स विधि में पेश किया जाता है।
- अधिशेष चर
- इस चर को, से बड़े (>) बाधा को हटाने के लिए सिम्पलेक्स विधि में पेश किया जाता है।
दिए गए उद्देश्य फलन और बाधाओं के उदाहरण के लिए एक सिंप्लेक्स तालिका नीचे दिखाई गई है
अधिकतम Z = 4 x1 + 6 x2 + x3
2 x1 - x2 + 3 x3 ≤ 5 के अधीन
x2 ≤ 2
x1, x2, x3 ≥ 0
सिंप्लेक्स विधि के विशेष मामले निम्नलिखित हैं:
सिम्प्लेक्स विधि के तहत, कई इष्टतम समाधानों के अस्तित्व को एक ऐसी स्थिति से दर्शाया जाता है जिसके तहत अंतिम सिम्प्लेक्स तालिका में एक समस्या का इष्टतम समाधान दिखाने वाले गैर-मूल चर का शुद्ध शून्य योगदान होता है।
इष्टतम समाधान: यदि (Cj- Zj) में कम से कम एक गैर-मूल चर है) अंतिम सिंप्लेक्स तालिका की पंक्ति का मान शून्य है, यह इंगित करता है कि एक से अधिक इष्टतम समाधान हैं।
असीमित समाधान: यदि सभी प्रतिस्थापन राशन, bi/ai (ai - कुंजी स्तम्भ या पिवट स्तम्भ गुणांक ऋणात्मक हैं) तो यह समाधान असीमित है।
अव्यवहार्य समाधान: यदि आधार में कृत्रिम चर मौजूद हैं, तो प्राप्त समाधान संभव नहीं है।
पतित समाधान: यदि स्थिर स्तम्भ (bi) में कुछ मान शून्य हैं, तो समाधान पतित हो जाता है।
रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को हल करने के लिए सिम्पलेक्स विधि __________ का उपयोग करती है।
Answer (Detailed Solution Below)
Simplex Method Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFस्पष्टीकरण :
सिंप्लेक्स विधि:
- सिम्पलेक्स विधि रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या (LPP) के हल के लिए प्रयोग की जाने वाले सबसे प्रसिद्ध विधि है।
- सिम्प्लेक्स विधि एक खोज प्रक्रिया है जो एक समय पर मूल संभाव्य हलों के समूह के माध्यम से तब तक स्थानांतरित होता है, जब तक कि सर्वोत्तम मूल संभाव्य हलों को पहचाना नहीं जाता है।
- इसका उपयोग दो या दो से अधिक चर के लिए भी किया जा सकता है (लंबी ग्राफिकल प्रक्रिया से बचने के लिए हमेशा दो से अधिक चर के लिए सलाह दी जाती है)।
- सभी संभव समाधानों की जांच के लिए सिंप्लेक्स विधि का उपयोग नहीं किया जाता है।
- यह केवल व्यवहार्य समाधानों के एक छोटे और अनूठे सेट से संबंधित है, उत्तल व्यवहार्य स्थान के शीर्ष बिंदुओं (यानी चरम बिंदु/कोने बिंदु) का सेट जिसमें इष्टतम समाधान होता है।
- सभी संसाधन मान या बाधाएं गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए।
- बाधा की सभी असमानताओं को सुस्त या अधिशेष चर की मदद से समानता में परिवर्तित किया जाना चाहिए।
सिम्पलेक्स विधि के माध्यम से LPP (n चरों और m समीकरणों द्वारा परिभाषित, m < n) को हल करते समय मूल हल n – m चर को शून्य के बराबर समायोजित करके और शेष m चरों के लिए हल प्राप्त करने में m समीकरणों को हल करके निर्धारित किये जाते हैं, बशर्ते परिणामी हल विशिष्ट हो। तो मूल हल की अधिकतम संख्या क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Simplex Method Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFवर्णन:
- मानक LPP रूप में "n" चरों में "m" समकालीन रैखिक समीकरण शामिल हैं। अर्थात् m < n
- "n" चरों को दो समूहों में विभाजित किया गया हैं:
- n-m चर, जिससे हम शून्य मान निर्दिष्ट करते हैं, और
- शेष "m" चर, जिसके मानों को परिणामी "m" समीकरणों को हल करके निर्धारित किया गया हैं।
- यदि m समीकरण एक विशिष्ट हल प्राप्त करते हैं, तो संबंधित m चरों को मूल चर कहा जाता है, और शेष n - m शून्य चरों को गैर-मूल चरों के रूप में संदर्भित किया जाता है।
- इस स्थिति में परिणामी विशिष्ट हल में एक मूल हल शामिल है। यदि सभी चरों को गैर-ऋणात्मक मान, मान लिया जाता है, तो मूल हल संभव है। अन्यथा यह असंभाव्य है।
- परिभाषा से n अज्ञात मानों में 'm' समीकरणों के लिए संभव मूल हल की अधिकतम संख्या निम्न है
- \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ m \end{array}} \right) = \frac{{n!}}{{m!\left( {m - n} \right)!}}\)
एकधा LPP की अंतिम तालिका के आधार पर कहा जाता है कि यदि (CJ - EJ) ______ , तो पंक्ति में वैकल्पिक हल होते हैं।
Answer (Detailed Solution Below)
Simplex Method Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFस्पष्टीकरण:
सिम्प्लेक्स विधि:
- सिंप्लेक्स विधि रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं (एलपीपी) के समाधान के लिए उपयोग की जाने वाली सबसे लोकप्रिय विधि है।
- सिम्प्लेक्स विधि एक खोज प्रक्रिया है जो बुनियादी व्यवहार्य समाधानों के सेट के माध्यम से एक समय में एक बदलाव करती है जब तक कि इष्टतम बुनियादी व्यवहार्य समाधान की पहचान नहीं हो जाती।
- इसका उपयोग दो या दो से अधिक वेरिएबल्स के लिए भी किया जा सकता है।
- इसका उपयोग सभी संभावित समाधानों की जांच करने के लिए नहीं किया जाता है।
- यह केवल व्यवहार्य समाधानों के एक छोटे और अनूठे सेट से संबंधित है, उत्तल व्यवहार्य स्थान के शीर्ष बिंदुओं (यानी चरम बिंदु/कोने बिंदु) का सेट जिसमें इष्टतम समाधान होता है।
- सभी संसाधन मान या बाधाएँ गैर-नकारात्मक होनी चाहिए।
- बाधाओं की सभी असमानताओं को सुस्त या अधिशेष चर की सहायता से समानता में परिवर्तित किया जाना चाहिए।
सिंप्लेक्स विधि के विशेष मामले निम्नलिखित हैं:
सर्वोतम उपाय:
- यदि अंतिम सिम्प्लेक्स तालिका की (सी जे - ई जे ) पंक्ति में कम से कम एक गैर-बुनियादी चर का मान शून्य है, तो यह इंगित करता है कि एक से अधिक इष्टतम समाधान हैं या एक वैकल्पिक समाधान है। यहां, C j पहली पंक्ति के मानों को दर्शाता है और E j अंतिम पंक्ति के मानों को दर्शाता है।
-
यदि (सी जे - ई जे ) पंक्ति में सभी मान नकारात्मक हैं तो इसका मतलब है कि इष्टतम समाधान तक पहुंच गया है।
असीमित समाधान:
- यदि सभी प्रतिस्थापन अनुपात, बी आई / ए आई (ए आई - कुंजी कॉलम या पिवट कॉलम गुणांक नकारात्मक हैं) तो यह एक अनबाउंड समाधान है।
असाध्य समाधान:
- यदि आधार में कृत्रिम चर मौजूद हैं, तो प्राप्त समाधान असाध्य समाधान है।
विकृत समाधान:
- यदि स्थिरांक कॉलम (बी) में कुछ मान शून्य हैं, तो समाधान ख़राब हो जाता है।
सिंप्लेक्स विधि में चरों का सेट निम्नलिखित है:
कृत्रिम चर:
- यह चर प्रकार की बाधा से अधिक या उसके बराबर होने की स्थिति में पेश किया जाता है ताकि गैर-नकारात्मकता बाधा का उल्लंघन न हो।
मूल चर:
- उन्हें ऐसे चर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो शून्य के अलावा कोई भी मान ले सकते हैं।
गैर-बुनियादी चर:
- यह चर मूल समाधान में नहीं है और इसका मान शून्य है।
सुस्त चर:
- इस वेरिएबल को (<) से कम बाधाओं को खत्म करने के लिए सिंप्लेक्स विधि में पेश किया गया है।
अधिशेष चर:
- इस वेरिएबल को (>) से अधिक बाधाओं को खत्म करने के लिए सिंप्लेक्स विधि में पेश किया गया है।
यदि x, रैखिक प्रोग्रामन समस्या (LPP) का एक निर्णय चर है और चिह्न में अप्रतिबंधित है, तब इस चर को x = x'– x'' में परिवर्तित किया जा सकता है, ताकि रैखिक प्रोग्रामन समस्या को सरल विधि द्वारा हल किया जा सके, जहाँ _______ होता है।
Answer (Detailed Solution Below)
Simplex Method Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFस्पष्टीकरण:
- प्रायः रैखिक प्रोग्रामन समस्या (LPP) में, यह माना जाता है कि चर xj ऋणेत्तर तक प्रतिबंधित हैं।
- हालाँकि, कई व्यावहारिक स्थितियों में, एक या अधिक चर xj जिनका मान धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है, अप्रतिबंधित चर कहलाते हैं।
- चूँकि, संकेतन (सिंप्लेक्स) विधि के उपयोग के लिए आवश्यक है कि सभी निर्णय चर प्रत्येक पुनरावृत्ति पर ऋणेत्तर हों, इसलिए अप्रतिबंधित चर वाली रैखिक प्रोग्रामन समस्या (LPP) को केवल प्रतिबंधित चर वाली समतुल्य समस्या में परिवर्तित करने के लिए, हमें प्रत्येक अप्रतिबंधित चर को दो ऋणेत्तर चर के अंतर के रूप में व्यक्त करना होगा।
- माना चर x चिह्न में अप्रतिबंधित है। हम दो नए चर जैसे x' और x'' को इस प्रकार परिभाषित करते हैं
- x = x' - x'': x', x'' ≥ 0
एकधा विधि का उपयोग _______ समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है।
Answer (Detailed Solution Below)
Simplex Method Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFस्पष्टीकरण:
सिम्प्लेक्स विधि
- सिंप्लेक्स विधि रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं (एलपीपी) के समाधान के लिए उपयोग की जाने वाली सबसे लोकप्रिय विधि है।
- सिम्प्लेक्स विधि एक खोज प्रक्रिया है जो बुनियादी व्यवहार्य समाधानों के सेट के माध्यम से एक समय में एक बदलाव करती है जब तक कि इष्टतम बुनियादी व्यवहार्य समाधान की पहचान नहीं हो जाती।
- सिम्प्लेक्स विधि एक चरण-दर-चरण प्रक्रिया है जिसमें हम प्रत्येक पुनरावृत्ति में सुधार के साथ एक प्रारंभिक व्यवहार्य समाधान से व्यवस्थित तरीके से आगे बढ़ते हैं जब तक कि हम एक इष्टतम समाधान तक नहीं पहुंच जाते।
- यदि गैर-बुनियादी चर में गैर-सकारात्मक गुणांक हैं तो इसका मतलब है कि वे समाधान में प्रवेश नहीं कर सकते हैं और वर्तमान समाधान इष्टतम है।
i) सभी संसाधन मूल्य या बाधाएं गैर-नकारात्मक होनी चाहिए।
ii) बाधा की सभी असमानताओं को सुस्त या अधिशेष चर की सहायता से समानता में परिवर्तित किया जाना चाहिए।
iii) इसका उपयोग दो या दो से अधिक वेरिएबल्स के लिए भी किया जा सकता है।
सिम्पलेक्स विधि में चरों का सेट निम्नलिखित है।
- कृत्रिम चर
- यह चर प्रकार की बाधा से अधिक या उसके बराबर होने की स्थिति में पेश किया जाता है ताकि गैर-नकारात्मकता बाधा का उल्लंघन न हो।
- बुनियादी चर
- उन्हें ऐसे चर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो शून्य के अलावा कोई भी मान ले सकते हैं।
- गैर-बुनियादी चर
- यह चर मूल समाधान में नहीं है और इसका मान शून्य है।
- सुस्त चर
- इस वेरिएबल को (<) से कम बाधाओं को खत्म करने के लिए सिंप्लेक्स विधि में पेश किया गया है।
- अधिशेष चर
- इस वेरिएबल को (>) से अधिक बाधाओं को खत्म करने के लिए सिंप्लेक्स विधि में पेश किया गया है।
एकधा विधि समस्या को असंगत माना जाता है जब _______।
Answer (Detailed Solution Below)
Simplex Method Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या :-
एकधा विधि:
- रैखिक क्रमादेशन विधि एक इष्टतम समाधान के लिए रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने की एक मानक तकनीक है, जिसमें आमतौर पर एक फलन और कई बाधाओं को असमानताओं के रूप में व्यक्त किया जाता है।
- असमानताएँ एक बहुभुज क्षेत्र को परिभाषित करती हैं और समाधान आमतौर पर किसी एक शीर्ष पर होता है।
रैखिक क्रमादेशन विधि की कुछ विशेष शर्तें:
1. असीमित हल: सरल विधि में, यदि धुरी स्तंभ में सभी प्रविष्टियां ऋणात्मक या शून्य हैं, जब चर को छोड़ना चुनते हैं तो समाधान अबाधित होता है।
2. असंगत हल: एकधा विधि में, यदि आधार में कृत्रिम चर मौजूद हैं, तो प्राप्त समाधान असंगत है।
3. अपभ्रष्ट हल: रैखिक क्रमादेशन विधि में, यदि स्थिर कॉलम में कुछ मान शून्य हैं, तो समाधान अपभ्रष्ट हो जाता है।
4. एकाधिक हल: रैखिक क्रमादेशन विधि में, यदि किसी समस्या के इष्टतम समाधान को दर्शाने वाली अंतिम रेखिक क्रमादेशन तालिका में गैर-मूल चर का शुद्ध शून्य योगदान होता है, तो कई इष्टतम समाधानों की स्थिति उत्पन्न होती है।
Simplex Method Question 13:
सिम्प्लेक्स विधि में यदि पिवट स्तम्भ में सभी प्रविष्टियाँ ऋणात्मक या शून्य हैं, तो त्वक्त चर का चयन करते समय, यह _______।
Answer (Detailed Solution Below)
Simplex Method Question 13 Detailed Solution
व्याख्या:
सिम्प्लेक्स विधि: यह एक चरणबद्ध विधि है जिसमें प्रारंभिक व्यवहार्य समाधान के साथ समाधान शुरू किया जाता है और अगले चरण में प्रारंभिक व्यवहार्य समाधान में सुधार किया जाता है, इष्टतम समाधान तक पहुंचने तक चरणों को दोहराया जाता है।
निम्नलिखित सिम्पलेक्स विधि में चरों के समूह हैं।
- कृत्रिम चर
- इस चर को गैर-ऋणात्मकता बाधा का उल्लंघन नहीं करने के लिए बाधा के प्रकार से बड़े या बराबर होने की स्थिति में पेश किया जाता है।
- मूल चर
- उन्हें उस चर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो शून्य के अलावा किसी भी मान को ले सकते हैं।
- गैर-मूल चर
- यह चर मूल हल में नहीं है और इसमें शून्य मान है।
- शिथिल चर
- इस चर को, से कम (<) बाधा को हटाने के लिए सिम्पलेक्स विधि में पेश किया जाता है।
- अधिशेष चर
- इस चर को, से बड़े (>) बाधा को हटाने के लिए सिम्पलेक्स विधि में पेश किया जाता है।
दिए गए उद्देश्य फलन और बाधाओं के उदाहरण के लिए एक सिंप्लेक्स तालिका नीचे दिखाई गई है
अधिकतम Z = 4 x1 + 6 x2 + x3
2 x1 - x2 + 3 x3 ≤ 5 के अधीन
x2 ≤ 2
x1, x2, x3 ≥ 0
सिंप्लेक्स विधि के विशेष मामले निम्नलिखित हैं:
सिम्प्लेक्स विधि के तहत, कई इष्टतम समाधानों के अस्तित्व को एक ऐसी स्थिति से दर्शाया जाता है जिसके तहत अंतिम सिम्प्लेक्स तालिका में एक समस्या का इष्टतम समाधान दिखाने वाले गैर-मूल चर का शुद्ध शून्य योगदान होता है।
इष्टतम समाधान: यदि (Cj- Zj) में कम से कम एक गैर-मूल चर है) अंतिम सिंप्लेक्स तालिका की पंक्ति का मान शून्य है, यह इंगित करता है कि एक से अधिक इष्टतम समाधान हैं।
असीमित समाधान: यदि सभी प्रतिस्थापन राशन, bi/ai (ai - कुंजी स्तम्भ या पिवट स्तम्भ गुणांक ऋणात्मक हैं) तो यह समाधान असीमित है।
अव्यवहार्य समाधान: यदि आधार में कृत्रिम चर मौजूद हैं, तो प्राप्त समाधान संभव नहीं है।
पतित समाधान: यदि स्थिर स्तम्भ (bi) में कुछ मान शून्य हैं, तो समाधान पतित हो जाता है।
Simplex Method Question 14:
निम्नलिखित में से कौन-सा रैखिक प्रोग्रामिंग की एकधा विधि की स्थिति में सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Simplex Method Question 14 Detailed Solution
एकधा विधि एक उत्तरोत्तर प्रक्रिया है जिसमें प्रत्येक पुनरावृत्ति में एक वृद्धि के साथ प्रारंभिक सुसंगत हल से एक योजनाबद्ध तरीके में बढ़ते हैं जब तक कि हम अनुकूलतम हल तक नहीं पहुंच जाते हैं।
i) सभी संसाधन मान या व्यवरोधों को गैर-ऋणात्मक होना चाहिए।
ii) व्यवरोध की सभी असमानताओं को न्यूनतापूरक या आधिक्यपूरक चर की मदद के साथ समानताओं में परिवर्तित किया जाना चाहिए।
iii) इसका उपयोग दो या दो से अधिक चरों के लिए भी किया जा सकता है।
Simplex Method Question 15:
रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को हल करने के लिए सिम्पलेक्स विधि __________ का उपयोग करती है।
Answer (Detailed Solution Below)
Simplex Method Question 15 Detailed Solution
स्पष्टीकरण :
सिंप्लेक्स विधि:
- सिम्पलेक्स विधि रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या (LPP) के हल के लिए प्रयोग की जाने वाले सबसे प्रसिद्ध विधि है।
- सिम्प्लेक्स विधि एक खोज प्रक्रिया है जो एक समय पर मूल संभाव्य हलों के समूह के माध्यम से तब तक स्थानांतरित होता है, जब तक कि सर्वोत्तम मूल संभाव्य हलों को पहचाना नहीं जाता है।
- इसका उपयोग दो या दो से अधिक चर के लिए भी किया जा सकता है (लंबी ग्राफिकल प्रक्रिया से बचने के लिए हमेशा दो से अधिक चर के लिए सलाह दी जाती है)।
- सभी संभव समाधानों की जांच के लिए सिंप्लेक्स विधि का उपयोग नहीं किया जाता है।
- यह केवल व्यवहार्य समाधानों के एक छोटे और अनूठे सेट से संबंधित है, उत्तल व्यवहार्य स्थान के शीर्ष बिंदुओं (यानी चरम बिंदु/कोने बिंदु) का सेट जिसमें इष्टतम समाधान होता है।
- सभी संसाधन मान या बाधाएं गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए।
- बाधा की सभी असमानताओं को सुस्त या अधिशेष चर की मदद से समानता में परिवर्तित किया जाना चाहिए।