Resonance and Whirling MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Resonance and Whirling - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

केंद्र में एक रोटर (सान्द्र द्रव्यमान) के साथ एक सरल सहारा वाले शाफ्ट के लिए, क्रांतिक (चक्रण) गति संबंध का उपयोग करके निर्धारित की जाती है:

\( \omega = \sqrt{\frac{g}{\delta}} \)

जहाँ, \( \delta \) रोटर के भार के कारण स्थैतिक विक्षेपण है।

बिंदु भार के कारण सरल सहारा वाले शाफ्ट के केंद्र पर स्थैतिक विक्षेपण दिया गया है:

\( \delta = \frac{W L^3}{48 EI} \)

परिकलन:

दिया गया है:

रोटर का द्रव्यमान, \(m = 12~kg, इसलिए ~भार, W = mg = 12 \times 10 = 120~N\)

शाफ्ट का फैलाव, \(L = 1~m, ~EI = 4~kN\cdot m^2 = 4000~N\cdot m^2\)

विक्षेपण सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

\( \delta = \frac{120 \times 1^3}{48 \times 4000} = \frac{120}{192000} = \frac{1}{1600}~m \)

अब, क्रांतिक गति:

\( \omega = \sqrt{\frac{g}{\delta}} = \sqrt{10 \times 1600} = \sqrt{16000} = 40\sqrt{10}~rad/s \)

Explanation:

Degree of freedom:

• The number of independent coordinates required to describe a vibratory system is known as the degree of freedom.
• A simple spring-mass system or a simple pendulum oscillating in one plane are examples of a single degree of freedom.
• A two-mass, two-spring system, constrained to move in one direction, or a double pendulum belongs to two degrees of freedom.

Shaft carrying multiple loads (Multiple degrees of freedom):

There are two methods to find natural frequencies of the system:

• Dunkerley's method (ωd) (Approximate results which are less than the actual natural frequency of the system).
• Rayleigh Method (ωr) or Energy method (Gives accurate results that are slightly greater than the actual natural frequency of the system)

Given that the smallest natural frequency of the system is ω1, therefore as per the definition of two methods mentioned, ωr > ω1 and ωd < ω1. 

अवधारणा:

प्राकृतिक आवृत्ति इस प्रकार दी जाती है:

\(\omega = \sqrt {\frac{k_{eq}}{m}} =\sqrt {\frac{g}{\delta }} \;\)

गणना:

दिया गया है:

L1 = L, \(L_2=\frac{L_1}{2}\)

कैंटिलीवर बीम के लिए:

\(\begin{array}{l} \delta = \frac{{P{L^3}}}{{3EI}}\\ \omega = \sqrt {\frac{g}{\delta }} = \sqrt {\frac{{3EIg}}{{P{L^3}}}} \Rightarrow \omega \propto \sqrt {\frac{1}{{{L^3}}}} \\ \frac{{{\omega _2}}}{{{\omega _1}}} = \sqrt {\frac{{L_1^3}}{{L_2^3}}} = \sqrt {\frac{{{L^3}}}{{{{\left( {\frac{L}{2}} \right)}^3}}}} = 2\sqrt2 \\ \therefore\;{\omega _2} > {\omega _1} \end{array}\)

स्पष्टीकरण:-

शाफ्ट की क्रांतिक या भ्रामी (व्हर्लिंग) की गति

• जब प्रणाली की घूर्णी गति पार्श्व / अनुप्रस्थ कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति के साथ मेल खाती है, तो शाफ्ट अधिक आयाम के साथ झुक जाता है। इस गति को क्रांतिक/घूर्णन गति कहा जाता है।
• शाफ्ट की भ्रामी गति या क्रांतिक गति को उस गति के रूप में परिभाषित किया जाता है जिस पर एक घूर्णी शाफ्ट अनुप्रस्थ दिशा में बलपूर्वक कंपन करता है यदि शाफ्ट क्षैतिज दिशा में घूमता है।
• दूसरे शब्दों में, भ्रामी(व्हर्लिंग) या क्रांतिक गति वह गति है जिस पर अनुनाद होता है।
• इसलिए हम कह सकते हैं कि शाफ्ट परिभ्रमण(व्हर्लिंग) तब करता है जब अनुप्रस्थ कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति घूर्णन शाफ्ट की आवृत्ति से मेल खाती है। अत: विकल्प 4 सही है।
• यह वह गति है जिस पर शाफ्ट चलता है ताकि घूर्णन के अक्ष से शाफ्ट का अतिरिक्त विक्षेपण अनंत हो जाए जिसे क्रांतिक या भ्रामी गति के रूप में जाना जाता है।

व्याख्या:-

शाफ्ट की क्रांतिक या भ्रामी गति

• जब प्रणाली की घूर्णी गति पार्श्व/अनुप्रस्थ कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति के साथ संपाती होती हैं तो शाफ्ट एक बड़े आयाम के साथ झुकता है। इस गति को क्रांतिक या भ्रामी गति कहा जाता है।

• शाफ्ट की भ्रामी गति या क्रांतिक गति को उस गति के रूप में परिभाषित किया जाता है जिस पर एक घूर्णन शाफ्ट की अनुप्रस्थ दिशा में तेजी से कंपन करने के प्रवृत्ति होती है, यदि शाफ्ट क्षैतिज दिशा में घूर्णन करता है।

• दूसरे शब्दों में, भ्रामी या क्रांतिक गति वह गति है जिस पर अनुनाद होता है।

• इसलिए हम कह सकते हैं कि शाफ्ट का घूर्णन तब होता है जब अनुप्रस्थ कंपन की स्वाभाविक आवृत्ति एक घूर्णन शाफ्ट की आवृत्ति से मेल खाती है।

• जिस गति से शाफ्ट चलता है ताकि घूर्णन के अक्ष से शाफ्ट का अतिरिक्त विक्षेपण अनंत हो जाता है जिसे क्रांतिक या भ्रामी गति के रूप में जाना जाता है।

शाफ्ट के अनुप्रस्थ कंपन के कारण शाफ्ट का विक्षेपण।

\(y = \frac{e}{{{{\left( {\frac{{{\omega _n}}}{\omega }} \right)}^2} - 1\;}}\)

क्रांतिक गति पर

\(\omega = {\omega _n} = \sqrt {\frac{k}{m}} = \sqrt {\frac{g}{\delta }} \)

जहाँ

ω = शाफ्ट का कोणीय वेग, k = शाफ्ट की कठोरता, e = रोटर के द्रव्यमान के केंद्र की प्रारंभिक उत्केंद्रता

m = रोटर का द्रव्यमान, y = अपकेंद्री बल के कारण रोटर का अतिरिक्त।

व्याख्या:-

शाफ्ट की क्रांतिक या भ्रामी गति

• जब प्रणाली की घूर्णी गति पार्श्व/अनुप्रस्थ कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति के साथ संपाती होती हैं तो शाफ्ट एक बड़े आयाम के साथ झुकता है। इस गति को क्रांतिक या भ्रामी गति कहा जाता है।

• शाफ्ट की भ्रामी गति या क्रांतिक गति को उस गति के रूप में परिभाषित किया जाता है जिस पर एक घूर्णन शाफ्ट की अनुप्रस्थ दिशा में तेजी से कंपन करने की प्रवृत्ति होती है, यदि शाफ्ट क्षैतिज दिशा में घूर्णन करता है।

• दूसरे शब्दों में, भ्रामी या क्रांतिक गति वह गति है जिस पर अनुनाद होता है।

• इसलिए हम कह सकते हैं कि शाफ्ट का घूर्णन तब होता है जब अनुप्रस्थ कंपन की स्वाभाविक आवृत्ति एक घूर्णन शाफ्ट की आवृत्ति से मेल खाती है।

• जिस गति से शाफ्ट चलता है ताकि घूर्णन के अक्ष से शाफ्ट का अतिरिक्त विक्षेपण अनंत हो जाता है जिसे क्रांतिक या भ्रामी गति के रूप में जाना जाता है।

संकल्पना:

\(\omega = \sqrt {\frac{g}{\delta }} \;\)

कैंटीलीवर छड़ के लिए:

\(\begin{array}{l} \delta = \frac{{P{L^3}}}{{3EI}}\\ \omega = \sqrt {\frac{g}{\delta }} = \sqrt {\frac{{3EIg}}{{P{L^3}}}} \Rightarrow \omega \propto \sqrt {\frac{1}{{{L^3}}}} \\ \frac{{{\omega _2}}}{{{\omega _1}}} = \sqrt {\frac{{L_1^3}}{{L_2^3}}} = \sqrt {\frac{{{L^3}}}{{{{\left( {\frac{L}{2}} \right)}^3}}}} = 2\sqrt2 \\ {\omega _2} > {\omega _1} \end{array}\)

वर्णन:

आवर्धन कारक:

\(M.F=\dfrac{A}{X_{st}}= \dfrac{{1}}{{\sqrt {{{\left( {1 - {{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ξ \frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} }}\)

\(M.F=\dfrac{A}{X_{st}}= \dfrac{{1}}{{\sqrt {{{\left( {1 - {{r}^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ξ r} \right)}^2}} }}\)

जहाँ \(r=\dfrac{\omega}{\omega_n}\).

इसलिए M.F = f(r, ξ)

अनुनाद के दौरान कंपन का आयाम अधिकतम होता है अर्थात् आवर्धन कारक अधिकतम होता है और अधःअवमंदित प्रसंवादी दोलक अर्थात् (ξ ≠ 0) के लिए यह आवृत्ति अनुपात के एकल तक पहुंचने से ठीक पहले घटित होता है, जैसा नीचे दिए गए आलेख से देखा जा सकता है।

अतः अधःअवमंदित दोलक के लिए अनुनाद या अधिकतम आयतन का दूसरा बिंदु तब घटित होता है जब उद्दीपन आवृत्ति अन्देंप्त प्राकृतिक आवृत्ति की तुलना में कम होती है।

Mistake Points विकल्प 2 सही है, कई स्थानों पर, विकल्प 3 को सही उत्तर के रूप में दिया गया है, जो गलत है, क्योंकि भिगोने की मात्रा के बावजूद, अधिकतम आयाम अनुपात \(r=\frac{\omega}{\omega_n}\)से पहले होता है जो इकाई पहुँच जाता है, जो आवृत्ति के अनुपात के विरुद्ध आवर्धन कारक के भूखंड से स्पष्ट है। विकल्प 3 बिना किसी अवमंदन के लिए सही है, लेकिन प्रश्न अधःअवमंदित प्रसंवादी दोलक के लिए है।

वर्णन:-

शाफ़्ट की क्रांतिक या चक्रण गति

• जब प्रणाली की घूर्णी गति पार्श्व/अनुप्रस्थ कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति के साथ मेल खाती है, तो शाफ़्ट में अधिक आयाम के साथ वापस आने की प्रवृत्ति होती है। इस गति को क्रांतिक/चक्रण गति के रूप में संदर्भित किया जाता है।
• किसी शाफ़्ट की चक्रण गति या क्रांतिक गति को उस गति के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसपर एक घूर्णित शाफ़्ट में अनुप्रस्थ दिशा में तेजी से कंपन करने की प्रवृत्ति तब होगी यदि शाफ़्ट क्षैतिज दिशा में घूमता है।
• अन्य शब्दों में चक्रण या क्रांतिक गति वह गति है जिसपर अनुनाद घटित होता है।
• इसलिए हम कह सकते हैं कि शाफ़्ट का चक्रण तब घटित होता है जब अनुप्रस्थ कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति घूर्णित शाफ़्ट की आवृत्ति से मेल खाती है।
• यह वह गति है जिसपर शाफ़्ट इस प्रकार संचालित होता है जिससे घूर्णन के अक्ष से शाफ़्ट का अतिरिक्त विक्षेपण अनंत हो जाता है, जिसे क्रांतिक या चक्रण गति के रूप में जाना जाता है।

शाफ़्ट के अनुप्रस्थ कंपन के कारण शाफ़्ट का विक्षेपण

\(y = \frac{e}{{{{\left( {\frac{{{\omega _n}}}{\omega }} \right)}^2} - 1\;}}\)

\(y=\frac{ω^2.e}{(ω_n)^2-ω^2}\)

Explanation:

Degree of freedom:

• The number of independent coordinates required to describe a vibratory system is known as the degree of freedom.
• A simple spring-mass system or a simple pendulum oscillating in one plane are examples of a single degree of freedom.
• A two-mass, two-spring system, constrained to move in one direction, or a double pendulum belongs to two degrees of freedom.

Shaft carrying multiple loads (Multiple degrees of freedom):

There are two methods to find natural frequencies of the system:

• Dunkerley's method (ωd) (Approximate results which are less than the actual natural frequency of the system).
• Rayleigh Method (ωr) or Energy method (Gives accurate results that are slightly greater than the actual natural frequency of the system)

Given that the smallest natural frequency of the system is ω1, therefore as per the definition of two methods mentioned, ωr > ω1 and ωd < ω1. 

स्पष्टीकरण: -

शाफ्ट की क्रांतिक या भ्रामी गति

• जब प्रणाली की घूर्णी गति पार्श्व/अनुप्रस्थ कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति के साथ संपाती होती हैं तो शाफ्ट एक बड़े आयाम के साथ झुकता है। इस गति को क्रांतिक या भ्रामी गति कहा जाता है।

• शाफ्ट की भ्रामी गति या क्रांतिक गति को उस गति के रूप में परिभाषित किया जाता है जिस पर एक घूर्णन शाफ्ट की अनुप्रस्थ दिशा में तेजी से कंपन करने के प्रवृत्ति होती है, यदि शाफ्ट क्षैतिज दिशा में घूर्णन करता है।

• दूसरे शब्दों में, भ्रामी या क्रांतिक गति वह गति है जिस पर अनुनाद होता है।

• इसलिए हम कह सकते हैं कि शाफ्ट का घूर्णन तब होता है जब अनुप्रस्थ कंपन की स्वाभाविक आवृत्ति एक घूर्णन शाफ्ट की आवृत्ति से मेल खाती है।

• जिस गति से शाफ्ट चलता है ताकि घूर्णन के अक्ष से शाफ्ट का अतिरिक्त विक्षेपण अनंत हो जाता है जिसे क्रांतिक या भ्रामी गति के रूप में जाना जाता है।
•  

शाफ्ट के अनुप्रस्थ कंपन के कारण शाफ्ट का विक्षेपण।

\(y = \frac{e}{{{{\left( {\frac{{{\omega _n}}}{\omega }} \right)}^2} - 1\;}}\)

क्रांतिक गति पर

\(\omega = {\omega _n} = \sqrt {\frac{k}{m}} = \sqrt {\frac{g}{\delta }} \)

ω = शाफ्ट का कोणीय वेग, k = शाफ्ट की कठोरता, e = रोटर के द्रव्यमान के केंद्र की प्रारंभिक उत्केंद्रता m = रोटर का द्रव्यमान, y = अपकेंद्री बल के कारण रोटर का अतिरिक्त।

चूंकि शाफ्ट केंद्रीय रूप से में भारित है, यह केंद्र पर एक बिंदु लोड के साथ साधारण समर्थित बीम के रूप में कार्य करती है:

इस मामले को इस प्रकार दिया गया है:

\({\delta} = \frac{{P{L^3}}}{{48EI}}\)

यदि शाफ्ट वृत्ताकार है, तो I = \(\frac{\pi d^4}{64}\)

इसलिए समीकरण 1 में रखने पर, हमें पता चलेगा कि क्रांतिक गति d शाफ्ट की अवधि और व्यास पर निर्भर करती है।

शाफ्ट की भ्रामी गति या क्रांतिक गति को उस गति के रूप में परिभाषित किया जाता है जिस पर एक घूर्णन शाफ्ट की अनुप्रस्थ दिशा में तेजी से कंपन करने के प्रवृत्ति होती है, यदि शाफ्ट क्षैतिज दिशा में घूर्णन करता है। दूसरे शब्दों में, भ्रामी या क्रांतिक गति वह गति है जिस पर अनुनाद होता है।

इसलिए हम कह सकते हैं कि शाफ्ट का घूर्णन तब होता है जब अनुप्रस्थ कंपन की स्वाभाविक आवृत्ति एक घूर्णन शाफ्ट की आवृत्ति से मेल खाती है।

स्पष्टीकरण:

घूर्णन शाफ्ट का बंकन रोटर के द्रव्यमान के केंद्र की उत्केन्द्रता पर निर्भर करता है और जिस गति से शाफ्ट घूमता है।

चित्र एक रोटर को दिखाता है जिसमें एक शाफ्ट के साथ एक द्रव्यमान m जुड़ा हुआ है।

जहां s = शाफ्ट की कठोरता e = रोटर के द्रव्यमान के केंद्र की प्रारंभिक उत्केन्द्रता, m = रोटर का द्रव्यमान, y = अपकेन्द्री बल के कारण रोटर का अतिरिक्त विक्षेपण, और ω = शाफ्ट की कोणीय गति।

अब, अपकेन्द्री बल m(y + e) \({\omega ^2}\) को बल अवरोध के साथ बराबर करने पर विक्षेपण y, हम निम्न प्रकार प्राप्त करते हैं

y = \(\frac{e}{{{{\left( {\frac{{{\omega _n}}}{\omega }} \right)}^2} - 1}}\)

जहां ωn शाफ्ट की प्राकृतिक कोणीय आवृत्ति है।

अब, जब,ω = ωn, विक्षेपण y अनंत रूप से बड़ा (प्रतिध्वनि होती है) होता है  और कोणीय गति ω को क्रांतिक गति कहा जाता है। अर्थात ωc = ωn = \(\sqrt {\frac{s}{m}} \) = \(\sqrt {\frac{g}{\Delta }} \)

इसलिए, जैसा कि हम देख सकते हैं कि क्रांतिक गति एक कोणीय गति है, जिसमें किसी भी तरह का रोटेशन नहीं होता है, इसलिए इसकी इकाई कोणीय गति की इकाई के समान होगी।

इसलिए विकल्प 1, 2 और 3 सही नहीं हैं। विकल्प 4 सही विकल्प है ।