Quadratic Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Quadratic Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on May 9, 2025
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Quadratic Equations Question 1:
प्रश्न. द्विघात समीकरण 2x2 + kx + 8 = 0 के मूलों के संबंध में, सूची-I के पदों का सूची-II के पदों से मिलान कीजिए:
सूची-I | सूची-II |
---|---|
(a) दोनों मूल धनात्मक हैं | (i) (k - 4)2 |
(b) मूल वास्तविक और समान हैं | (ii) k2 = 64 |
(c) मूल काल्पनिक हैं | (iii) k ∈ (-∞, -8) ∪ (8, ∞) |
(d) दोनों मूल ऋणात्मक हैं | (iv) k2 |
(v) k = -8 |
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equations Question 1 Detailed Solution
संप्रत्यय:
- द्विघात समीकरण: ax2 + bx + c = 0 के रूप का एक समीकरण जहाँ a, b और c वास्तविक स्थिरांक हैं, और a ≠ 0.
- विविक्तकर (D): इसका उपयोग मूलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए किया जाता है।
D = b2 - 4ac - यदि D > 0: मूल वास्तविक और भिन्न हैं।
- यदि D = 0: मूल वास्तविक और समान हैं।
- यदि D
- दोनों मूलों के धनात्मक होने के लिए: मूलों का योग > 0 और मूलों का गुणनफल > 0
- दोनों मूलों के ऋणात्मक होने के लिए: मूलों का योग और मूलों का गुणनफल > 0
मूलों का योग और गुणनफल:
- मूलों का योग = -b/a
- मूलों का गुणनफल = c/a
गणना:
दिया गया है: समीकरण 2x2 + kx + 8 = 0 है
यहाँ, a = 2, b = k, c = 8
विविक्तकर D = k2 - 4x2x8 = k2 - 64
(a) दोनों मूल धनात्मक हैं:
⇒ मूलों का योग = -k/2 > 0 ⇒ k
⇒ गुणनफल = 8/2 = 4 > 0 (हमेशा धनात्मक)
⇒ दोनों मूलों के धनात्मक होने के लिए
⇒ k 0 ⇒ k2 - 64 > 0 ⇒ k ∈ (-∞, -8) ∪ (8, ∞)
(b) मूल वास्तविक और समान हैं:
⇒ D = 0
⇒ k2 - 64 = 0
⇒ k = ±8
(c) मूल काल्पनिक हैं:
⇒ D
⇒ k2 - 64
⇒ k2
(d) दोनों मूल ऋणात्मक हैं:
⇒ मूलों का योग = -k/2 0
⇒ गुणनफल = 4 > 0 (हमेशा धनात्मक)
⇒ दोनों मूलों के ऋणात्मक होने के लिए
⇒ k > 0 और D = 0
⇒ k = 8 एक मान्य मिलान है जब दोनों मूल समान और ऋणात्मक हैं।
∴ सही मिलान हैं: (a) → (iii) , (b) → (ii) , (c) → (iv) , (d) → (v)
Quadratic Equations Question 2:
समीकरण (x - 1)² + (x - 3)² + (x - 5)² = 0 के वास्तविक मूलों की संख्या क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equations Question 2 Detailed Solution
व्याख्या:
दिया गया है:
(x - 1)2 + (x - 3)2 + (x - 5)2 = 0
⇒ x² - 2x + 1 + x² - 6x + 9 + x² - 10x + 25 = 0
⇒ 3x² - 18x + 35 = 0
अब, विविक्तकर D = (-18)² - 4 x 3 x 35
= -96
इस प्रकार, दिए गए समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।
∴ विकल्प (a) सही है
Quadratic Equations Question 3:
समीकरण 7x2 - 6x + 1 = 0 के मूल tan α और tan β हैं, जहाँ 2α और 2β एक त्रिभुज के कोण हैं। निम्नलिखित में से कौन सा सही है?
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equations Question 3 Detailed Solution
व्याख्या:
दिया गया है:
tanα और tanβ, 7x2 - 6x + 1 = 0 के मूल हैं
इसलिए,
⇒ tanα + tanβ = 6/7...(1)
⇒ tanα.tanβ = 1/7...(2)
⇒ tan(α+β) =
⇒ α +β = 45°
⇒ 2α +2β = 90°
इसका अर्थ है कि त्रिभुज का तीसरा कोण 90° है।
इसलिए, त्रिभुज समकोण है।
चूँकि
⇒tanα - tanβ =
साथ ही
⇒ tan(α -β) =
⇒ tan2(α -β) =
=
इस प्रकार 2α≠2β
∴ विकल्प (c) सही है।
Quadratic Equations Question 4:
यदि n समीकरण x2 + px + m = 0 का एक मूल है और m समीकरण x2 + px + n = 0 का एक मूल है, जहाँ m ≠ n है, तो p + m + n का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equations Question 4 Detailed Solution
गणना:
दिया गया है,
n समीकरण x2 + px + m = 0 का मूल हैx2+px+m=0x2+px+m=0x2+px+m=0x2+px+m=0x2+px+m=0" id="MathJax-Element-50-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">
⇒
साथ ही, m समीकरण x2 + px + n = 0 का मूल है
⇒
अब समीकरण (1) - समीकरण (2), हमें प्राप्त होता है
⇒
⇒
⇒
⇒ n + m + p = 1
∴ विकल्प (c) सही है।
Quadratic Equations Question 5:
यदि सभी a ∈ R का समुच्चय, जिसके लिए समीकरण 2x² + (a - 5)x + 15 = 3a का कोई वास्तविक मूल नहीं है, अंतराल (α, β) है, और X = {x ∈ Z : α किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equations Question 5 Detailed Solution
(a - 5)² - 8(15 - 3a)
a² + 14a + 25 - 120
a² + 14a - 95
(a + 19)(a - 5)
a ∈ (-19, 5)
इसलिए -19
इसलिए
= 30 + 2109
= 2139
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यदि x2 + kx + k = 0 के दो अलग-अलग वास्तविक हल हैं, तो k का मान ज्ञात करे:
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equations Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
दो भिन्न वास्तविक हलों के लिए, D > 0,
जहाँ D = b2 - 4ac
गणना:
⇒ k2 - 4k > 0
⇒ k(k - 4) > 0
⇒ (k - 0) (k - 4) > 0
स्थिति: I k > 0 और k - 4 और 0
यहाँ से, हम प्राप्त करेंगे
k > 4
स्थिति: II k
यहाँ से, हम प्राप्त करेंगे
k
अतः हल k 4 होगा।
यदि α और β द्विघात समीकरण (5 + √2) x2 - (4 + √5) x + (8 + 2√5) = 0 के मूल हैं, तो 2αβ / (α + β) का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equations Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFप्रयुक्त अवधारणा:
द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के लिए,
α + β = -b/a और αβ = c/a
गणना:
दिया गया समीकरण (5 + √2) x2 - (4 + √5) x + (8 + 2√5) = 0 है
ax2 + bx + c = 0 द्वारा इस समीकरण की तुलना करने पर , हम प्राप्त करते हैं
a = (5 + √2), b = - (4 + √5) और c = (8 + 2√5)
अब, αβ = (8 + 2√5)/(5 + √2) और α + β = (4 + √5)/(5 + √2)
अब, हमें 2αβ/(α + β) का मान ज्ञात करना है
⇒ 2[(8 + 2√5)/(5 + √2)] / [(4 + √5)/(5 + √2)]
⇒ 2 [(8 + 2√5) (4 - √5)] / [(4 + √5)/(4 - √5)]
⇒ 2(32 + 8√5 - 8√5 - 10)/11
⇒ 44/11 = 4
∴ 2αβ/ (α + β) का आवश्यक मान 4 है।
यदि समीकरण ax2 + bx + c = 0 के मूल समान हैं और विपरीत चिह्न के हैं, तो निम्न में से कौन-सा कथन सही है?
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equations Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
यदि α और β द्विघात समीकरण Ax2 + Bx + C = 0 के दो मूल हैं, तो α + β =
गणना:
माना कि α और β द्विघातीय समीकरण ax2 + bx + c = 0 के दो मूल हैं, तो α + β =
दिया गया है कि α = -β है।
∴ -β + β =
⇒
⇒ b = 0.
यदि α और β समीकरण x2 - q(1 + x) - r = 0 के मूल हैं, तो (1 + α)(1 + β) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equations Question 9 Detailed Solution
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माना कि द्विघाती समीकरण का मानक रूप, ax2 + bx + c =0 लेते हैं।
माना कि α और β उपरोक्त द्विघाती समीकरण के दो मूल हैं।
एक द्विघाती समीकरण के मूलों का योग निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:
मूलों का गुणनफल निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:
गणना:
दिया गया है: α और β समीकरण x2 - q(1 + x) - r = 0 के मूल हैं।
⇒ x2 - q - qx - r = 0
⇒ x2 - qx - (q + r) = 0
मूलों का योग = α + β = q
मूलों का गुणनफल = αβ = - (q + r) = -q - r
निम्न का मान ज्ञात करने के लिए: (1 + α)(1 + β)
(1 + α)(1 + β) = 1 + α + β + αβ
= 1 + q - q - r
= 1 - r
समीकरण
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equations Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
डिग्री एक दिए गए बहुपद में चर का उच्चतम घांत होता है।
गणना:
यहाँ,
∴ डिग्री = 2
अतः विकल्प (3) सही है।
यदि α, β समीकरण x2 + px + q = 0 के मूल हैं तो α2 + β2 का मान ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equations Question 11 Detailed Solution
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एक द्विघात समीकरण के मानक रूप ax2 + bx + c =0 पर विचार करते हैं।
माना कि α और β उपरोक्त द्विघात समीकरण के दो मूल हैं।
एक द्विघात समीकरण के मूलों का योग निम्न है:
मूलों का गुणनफल निम्न द्वारा दिया गया है:
गणना:
दिया हुआ: α, β समीकरण x2 + px + q = 0 के मूल हैं
मूलों का योग = α + β = -p
मूलों का गुणनफल = αβ = q
हम जानते हैं कि (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
तो (α + β)2 = α2 + β2 + 2αβ
⇒ (-p)2 = α2 + β2 + 2q
∴ α2 + β2 = p2 - 2q
यदि x + 4, 3x2 + kx + 8 का गुणनखंड है तब k का मान ज्ञात करें।
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equations Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
यदि p(x) एक फलन है और (x - a), p(x) का गुणनखंड है तो, p(a) = 0
गणना:
x + 4, 3x2 + kx + 8 का गुणनखंड है, इसलिए x = -4 इस समीकरन का हल होगा
⇒ 3(-4)2 + k(-4) + 8 = 0
⇒ 4k = 48 + 8
⇒ k = 14
यदि ax2 + bx + c = 0 के मूलों के बीच का अंतर 1 है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा सही है?
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equations Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
माना कि द्विघाती समीकरण का मानक रूप, ax2 + bx + c =0 लेते हैं।
माना कि α और β उपरोक्त द्विघाती समीकरण के दो मूल हैं।
एक द्विघाती समीकरण के मूलों का योग निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:
मूलों का गुणनफल निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:
गणना:
दिया गया है: ax2 + bx + c = 0 के मूलों के बीच का अंतर 1 है।
माना कि α और β उपरोक्त द्विघाती समीकरण के दो मूल हैं।
मूलों का योग = α + β =
मूलों का गुणनफल = α β =
अब,
α - β = 1
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है
⇒ (α - β)2 = 12
⇒ (α + β)2 - 4α β = 1
⇒
⇒ b2 - 4ac = a2
⇒ b2 = a2 + 4ac
∴ b2 = a(a + 4c)
यदि x2 + kx + k = 0 के मूल पुनरावृत्त होते हैं, तो k का मान संतुष्ट होता है:
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equations Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFदिए गए समीकरण से, a = 1, b = k, c = k
पुनरावृत्त मूल के लिए, b2 – 4ac = 0
⇒ k2 – 4k = 0
⇒ k(k – 4) = 0
∴ k = 4 या k = 0
इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 3 है।
यदि α, β समीकरण 3x2 + 57x - 5 = 0 के मूल हैं तो
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equations Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
माना कि एक द्विघाती समीकरण: ax2 + bx + c = 0.
माना कि, α और β मूल हैं।
- मूलों का योग = α + β = -b/a
- मूलों का गुणनफल = α × β = c/a
गणना:
दिया गया द्विघाती समीकरण: 3x2 + 57x - 5 = 0
माना कि α और β मूल हैं, तो
α + β = -57/3, αβ = -5/3
अब,
=
= (α β)3
= (-5/3)3
= -125/27
अतः विकल्प (4) सही है।