Probability and Random Variable MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Probability and Random Variable - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

दिया गया है ℙ(A) > 0 और ℙ(B) > 0

(1): ℙ(A ∣ B) = 0

⇒ \(\frac{\mathbb P(A\cap B)}{\mathbb P(B)}\) = 0

⇒ \(\mathbb P(A\cap B)\) = 0 (∵ ℙ(B) > 0) ....(i)

अब, ℙ(B ∣ A) = \(\frac{\mathbb P(B\cap A)}{\mathbb P(A)}\) = 0 (समीकरण (i) से और ℙ(A) > 0)

विकल्प (1) सही है

(2): ℙ(A ∣ B) = 1

⇒ \(\frac{\mathbb P(A\cap B)}{\mathbb P(B)}\) = 1

⇒ \(\mathbb P(A\cap B)\) = ℙ(B) ....(ii)

अब, ℙ(B ∣ A) = \(\frac{\mathbb P(B\cap A)}{\mathbb P(A)}\) = \(\frac{\mathbb P(B)}{\mathbb P(A)}\) ≠ 1 (समीकरण (ii) का उपयोग करके)

विकल्प (2) गलत है

(3): ℙ(A ∣ B) > ℙ(A)

⇒ \(\frac{\mathbb P(A\cap B)}{\mathbb P(B)}\) > ℙ(A)

⇒ \(\mathbb P(A\cap B)\) > ℙ(A)ℙ(B) ....(iii)

अब, ℙ(B ∣ A) = \(\frac{\mathbb P(B\cap A)}{\mathbb P(A)}\) > \(\frac{ℙ(A)\mathbb P(B)}{\mathbb P(A)}\) > ℙ(B) (समीकरण (ii) का उपयोग करके)

विकल्प (3) सही है

(4): ℙ(A ∣ B) > ℙ(B)

⇒ \(\frac{\mathbb P(A\cap B)}{\mathbb P(B)}\) > ℙ(B)

⇒ \(\mathbb P(A\cap B)\) > [ℙ(B)]² ....(iv)

अब, ℙ(B ∣ A) = \(\frac{\mathbb P(B\cap A)}{\mathbb P(A)}\) > \(\frac{[\mathbb P(B)]^2}{\mathbb P(A)}\) \(\ngtr\) ℙ(A) (समीकरण (ii) का उपयोग करके)

विकल्प (4) गलत है

सही उत्तर A- III, B- I, C- IV, D- II है।Key PointsA. एक कतार में ग्राहकों के लगातार आने के बीच का समय अंतराल - III। घातीय वितरण: घातीय वितरण का उपयोग आमतौर पर एक पोइसन प्रक्रिया के बाद यादृच्छिक रूप से और स्वतंत्र रूप से होने वाली घटनाओं के बीच के समय को मॉडल करने के लिए किया जाता है। एक कतार में ग्राहकों के लगातार आगमन के बीच समय अंतराल के संदर्भ में, आगमन के बीच प्रतीक्षा समय की संभाव्यता वितरण का विश्लेषण करने के लिए घातीय वितरण लागू किया जाता है।

B.पूंजीवादी समाज में आय, संपत्ति और कुछ मानवीय योग्यताओं का वितरण- I. पारेटो वितरण: पारेटो वितरण, जिसे पावर-लॉ वितरण के रूप में भी जाना जाता है, अक्सर मॉडल घटना के लिए उपयोग किया जाता है जहां घटनाओं या चर की एक छोटी संख्या खाते में होती है कुल के एक बड़े हिस्से के लिए। पूंजीवादी समाज में आय, संपत्ति और कुछ मानवीय क्षमताओं के वितरण के संदर्भ में, पेरेटो वितरण को असमान वितरण का विश्लेषण करने के लिए लागू किया जाता है जहां जनसंख्या का एक छोटा अंश संसाधनों का एक महत्वपूर्ण हिस्सा रखता है।

C. एक समाजवादी समाज में शेयर की कीमतों में उतार-चढ़ाव और आय का वितरण - IV तार्किक वितरण: तार्किक वितरण का इस्तेमाल आमतौर पर वेरिएबल्स को मॉडल करने के लिए किया जाता है जो कई छोटे स्वतंत्र कारकों के उत्पाद हैं।स्टॉक की कीमतों में उतार-चढ़ाव के संदर्भ में, यह स्टॉक रिटर्न के वितरण का वर्णन करने के लिए लागू किया जाता है, जो एक तिरछा और असममित पैटर्न प्रदर्शित करता है। इसी तरह, एक समाजवादी समाज में आय के वितरण के संदर्भ में, असामान्य वितरण का उपयोग असमान वितरण का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है, जहां अधिकांश लोगों की अपेक्षाकृत कम आय होती है, जबकि कुछ व्यक्तियों या संस्थाओं की आय काफी अधिक होती है।

D. दुर्लभ घटनाओं का वितरण, अर्थात घटित होने की संभावना बहुत कम है लेकिन परीक्षणों की संख्या बहुत बड़ी है - II. पॉइसन वितरण: पॉइसन वितरण का उपयोग अक्सर समय या स्थान के एक निश्चित अंतराल में दुर्लभ घटनाओं की घटना को मॉडल करने के लिए किया जाता है। यह घटना की एक छोटी संभावना लेकिन बड़ी संख्या में स्वतंत्र परीक्षणों की विशेषता है। इस संदर्भ में, दुर्लभ घटनाओं जैसे दुर्घटनाओं, त्रुटियों, या अन्य घटनाओं के वितरण का विश्लेषण करने के लिए पॉइसन वितरण लागू किया जाता है, लेकिन बड़ी संख्या में परीक्षणों पर देखा जा सकता है।

इसलिए, सही मिलान है:

A. एक कतार में ग्राहकों के लगातार आने के बीच का समय अंतराल - III। घातीय वितरण

B.पूंजीवादी समाज में आय, संपत्ति और कुछ मानवीय योग्यताओं का वितरण- I. पारेटो वितरण

C. एक समाजवादी समाज में शेयर की कीमतों में उतार-चढ़ाव और आय का वितरण - IV तार्किक वितरण

D. दुर्लभ घटनाओं का वितरण, अर्थात घटित होने की संभावना बहुत कम है लेकिन परीक्षणों की संख्या बहुत बड़ी है - II. पॉइसन वितरण

सही उत्तर F(x) = P(X ≤ x) है।

Key Points

• यादृच्छिक चर X का संचयी बंटन फलन (CDF)।
• यह एक ऐसा फलन है जो प्रायिकता देता है कि यादृच्छिक चर X एक विशिष्ट मान X से कम या उसके समान मान लेता है।
• चरण:
  • एक यादृच्छिक चरX के संचयी बंटन फलन (CDF) की गणना करने के लिए, एक विशिष्ट मान x के लिए P(X ≤ x)  की गणना करें।

 Additional Information

• संचयी बंटन फलन (CDF) एक गैर-घटता फलन है और यह ठीक निरंतर है।
• एक सतत यादृच्छिक चर का CDF हमेशा एक चरण फलन होता है जिसमें केवल उन बिंदुओं पर जाता है जहां यादृच्छिक चर एक नया मान लेता है।

प्रयुक्त संकल्पना:-

एक अपेक्षित मान एक यादृच्छिक चर का "औसत" मान है। किसी यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान E(x) द्वारा निरूपित किया जाता है और इसके माध्य के रूप में जाना जाता है। 

एक यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान इस प्रकार दिया गया है,

\(E(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) d x\)

स्पष्टीकरण:

दिया गया फलन निम्न है,

\(f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} x-{5\over2}, & 02 \end{array}\right.\)

उपरोक्त सूत्र के साथ इस फलन के लिए एक यादृच्छिक चर x का अपेक्षित मान या माध्य इस प्रकार दिया जा सकता है,

\(E(x)=\int_0^1 x\left(x-\frac{5}{2}\right) d x+\int_1^2 x \cdot 2 x d x\\ E(x)=\int_0^1\left(x^2-\frac{5 x}{2}\right) d x+\int_1^2 2 x^2 d x\\ E(x)=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0 ^1-\left.\frac{5 x^2}{4}\right|_0 ^1+\left.\frac{2 x^3}{3}\right|_1 ^2\\ E(x)=\frac{1}{3}-\frac{5}{4}+\frac{2(8-1)}{3}\\ E(x)=\frac{15}{4}\\ E(x)= 3.75\)

इस प्रकार, एक यादृच्छिक चर का माध्य 3.75 है।

अतः सही विकल्प 3 है।

सही उत्तर 46/3 है।

Key Points 

• द्विपद बंटन का बहुलक x का वह मान होता है, जिसके घटित होने की प्रायिकता सबसे अधिक होती है।
• प्राचल n और p के साथ एक द्विपद बंटन में, सूत्र का उपयोग करके बहुलक ज्ञात किया जा सकता है: बहुलक = फ्लोर (n * p), जहाँ "फ्लोर" तर्क से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक दर्शाता है।
• एक द्विपद बंटन के माध्य और प्रसरण का उपयोग n और p के मान और बाद में बहुलक ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।
• बहुलक, माध्य और विचरण एक बंटन की महत्वपूर्ण विशेषताएँ हैं, जो डेटा के आकार, केंद्रीय प्रवृत्ति और प्रसार का वर्णन करती हैं।
• द्विपद वितरण के गुणों को समझना और सांख्यिकी और डेटा विश्लेषण के कई क्षेत्रों में माध्य और प्रसरण का पता लगाना महत्वपूर्ण है।

Additional Information

• द्विपद बंटन का बहुलक x का वह मान है, जिसके घटित होने की प्रायिकता सबसे अधिक होती है।
• प्राचल n और p के साथ द्विपद बंटन में, सूत्र का प्रयोग करके बहुलक ज्ञात किया जा सकता है:
• बहुलक = floor (n * p)
• जहाँ "फ्लोर" तर्क से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक दर्शाता है।
• यह देखते हुए कि बंटन का माध्य 15 है और प्रसरण 10 है, हम दो समीकरणों को हल करके n और p ज्ञात कर सकते हैं।
• एक द्विपद बंटन का माध्य n * p के बराबर है और प्रसरण n * p * (1 - p) के बराबर है।
• n और p को हल करने और बहुलक के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें उत्तर के रूप में 46/3 प्राप्त होता है।

संकल्पना:

द्विपद वितरण:

यह ठीक 'n' परीक्षणों में घटना के 'r' के बार होने की प्रायिकता देता है।

P(r) = nCr(p)r(q)n - r

जहाँ n = परीक्षणों की संख्या, r = अनुकूल घटनाओं की संख्या, p = किसी घटना के होने की प्रायिकता और q = (1 - p) किसी घटना के न होने की प्रायिकता।

गणना:

दिया हुआ:

n = 5 (5 बार उछाला गया), r = 2 (ठीक दो चित), p = 1/2 (घटना होने की प्रायिकता) और q = 1/2 (किसी घटना के न होने की प्रायिकता)

P(r) = nCr(p)r(q)n - r

∴ चित के ठीक 2 बार होने की प्रायिकता P(2) है।

\(P(2)={5_{{C_2}}}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^3\Rightarrow\frac{5}{16}\)

संकल्पना: -

P{X > 1} यादृच्छिक चर X > 1 के सभी मानों की प्रायिकता को दर्शाती है।

\(⇒ P(X > 1) = \int_1^∞ e^{-x}dx\)

गणना:

दिया गया है: f (x) = e-x, 0 < x < ∞

\(⇒ P(X > 1) = \int_1^∞ e^{-x}dx\)

\(⇒ P(X > 1) = \left.\frac{e^{-x}}{{-1}}\right|_1^∞\)

\(⇒ P(X > 1) = \left.\frac{e^{-x}}{{-1}}\right|_1^∞\)

⇒ P(X > 1) = - (e^-∞ - e-1)

⇒  P(X > 1) = 1/e

अतः सही उत्तर विकल्प 1 है।

संकल्पना:

शून्य-माध्य गाऊसी चर का प्रायिकता घनत्व फलन इस प्रकार दिखाया गया है:

गणितीय रूप से, एक गाऊसी यादृच्छिक चर के घनत्व फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi {\sigma ^2}} }}\;{e^{-\frac{{{{\left( {x - \mu } \right)}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}\)

दिया गया वितरण शून्य माध्य अर्थात μ = 0 है, इसलिए उपरोक्त वितरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi {\sigma ^2}} }}\;{e^{-\frac{{{x^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}\)

गाऊसी वितरण का फूरियर रूपांतरण इस प्रकार दिखाया गया है:

\(F\left( \omega \right) = \sqrt {2{\sigma ^2}\pi } \;{e^{\frac{{2{\sigma ^2}{\omega ^2}}}{4}}}\)

स्पष्ट रूप से, कला स्पेक्ट्रम स्थिर है और दिए गए दो यादृच्छिक संकेतों के लिए समान मानक विचलन के साथ, कला -π से +π तक एकसमान है।

विश्लेषण :

एक प्रथम-क्रम निम्न पास RC फ़िल्टर नीचे दिखाया गया है:

RC फिल्टर की आवृत्ति प्रतिक्रिया है:

\(\rm H\left( ω \right) = \frac{1}{{1 + jω RC}}\)

शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व इस प्रकार दिया गया है:

SXX(ω) = K

आउटपुट शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व निम्नलिखित संबंध द्वारा इनपुट शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व से संबंधित है:

\( {S_{YY}}\left( ω \right) = {\left| {H\left( ω \right)} \right|^2}{S_{XX}}\left( ω \right)\)

\({S_{YY}}\left( ω \right) = \frac{1}{{1 + {{\left( {ω RC} \right)}^2}}}.K\)

\({S_{YY}}\left( ω \right) = K.\frac{1}{{2RC}}.\frac{{2\left[ {1/RC} \right]}}{{{ω ^2} + {{\left[ {1/\left( {RC} \right)} \right]}^2}}} \)

इसके अलावा, ऑटोसहसंबंध और शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व एक फूरियर ट्रांसफॉर्म युग्म बनाते हैं, अर्थात

\(\rm {R_{YY}}\left( ω \right)\mathop \leftrightarrow \limits^{FT} {S_{YY}}\left( ω \right)\)

इस प्रकार, संबंध का उपयोग करना:

\(\rm {e^{ - a\left| t \right|}}\mathop \leftrightarrow \limits^{FT} \frac{{2a}}{{{a^2} + {ω ^2}}}\) हमारे पास \(\rm {S_{YY}}\left( ω \right)\) का व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण है:

\(\rm {R_{YY}}\left( \tau \right) =K.\frac{1}{{2RC}}.{e^{ - \frac{{\left| \tau \right|}}{{RC}}}}\)

अब, औसत शक्ति \(\rm E\left[ {{Y^2}\left( t \right)} \right]\) होगी:

\(\rm E\left[ {{Y^2}\left( t \right)} \right] = {R_{YY}}\left( 0 \right) = K.\frac{1}{{2RC}}\)

\(\therefore \rm E\left[ {{Y^2}\left( t \right)} \right] = \frac{K}{{2RC}}\)

श्वेत रव का वर्णक्रम घनत्व एकसमान होता है और श्वेत रव का स्वसहसंबंध फलन डेल्टा फलन है।

वर्णन:

शक्ति वर्णक्रम घनत्व मूल रूप से शक्ति सिग्नल के स्वसहसंबंध फलन का फुरिए रूपांतरण है, अर्थात्

\({S_x}\left( f \right) = F.T.\left\{ {{R_x}\left( \tau \right)} \right\}\)

साथ ही, एक स्थिर फलन का व्युत्क्रम फुरिए रूपांतरण इकाई संवेग है।

श्वेत रव के शक्ति वर्णक्रम घनत्व को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

सभी आवृत्ति 'f' के लिए \(\rm{S_{X}\left(f\right)=\frac{\eta}{2}}\) अर्थात्

अब स्वसहसंबंध शक्ति वर्णक्रम घनत्व फलन का व्युत्क्रम फुरिए रूपांतरण (IFT) है।

\(\rm{R_x\left(\tau\right)\mathop \to \limits^{IFT}S_X\left(f\right)}\)

श्वेत रव के शक्ति वर्णक्रम का व्युत्क्रम फुरिए रूपांतरण संवेग होगा, जैसा नीचे दर्शाया गया है:

\(\rm{R_x\left(\tau\right)=\frac{\eta}{2}\delta\left(\tau\right)}\)

प्रयुक्त संकल्पना:-

एक अपेक्षित मान एक यादृच्छिक चर का "औसत" मान है। किसी यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान E(x) द्वारा निरूपित किया जाता है और इसके माध्य के रूप में जाना जाता है। 

एक यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान इस प्रकार दिया गया है,

\(E(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) d x\)

स्पष्टीकरण:

दिया गया फलन निम्न है,

\(f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} x-{5\over2}, & 02 \end{array}\right.\)

उपरोक्त सूत्र के साथ इस फलन के लिए एक यादृच्छिक चर x का अपेक्षित मान या माध्य इस प्रकार दिया जा सकता है,

\(E(x)=\int_0^1 x\left(x-\frac{5}{2}\right) d x+\int_1^2 x \cdot 2 x d x\\ E(x)=\int_0^1\left(x^2-\frac{5 x}{2}\right) d x+\int_1^2 2 x^2 d x\\ E(x)=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0 ^1-\left.\frac{5 x^2}{4}\right|_0 ^1+\left.\frac{2 x^3}{3}\right|_1 ^2\\ E(x)=\frac{1}{3}-\frac{5}{4}+\frac{2(8-1)}{3}\\ E(x)=\frac{15}{4}\\ E(x)= 3.75\)

इस प्रकार, एक यादृच्छिक चर का माध्य 3.75 है।

अतः सही विकल्प 3 है।

सांख्यिकी में, एक बारंबारता बंटन एक सूची, तालिका या आरेख है जो एक नमूने में विभिन्न परिणामों की बारंबारता प्रदर्शित करता है। 

अवलोकन की बारंबारता आपको बताती है कि डेटा में कितनी बार अवलोकन होता है।

• तालिका में प्रत्येक प्रविष्टि में किसी विशेष समूह या अंतराल के भीतर मानों की घटनाओं की बारंबारता या गिनती होती है।
• असतत डेटा प्रत्येक अवलोकन को गिनकर उत्पन्न किया जाता है।
• जब एक अवलोकन दोहराया जाता है, तो इसे गिना जाता है। वह संख्या जिसके लिए प्रेक्षण को दोहराया जाता है, उस अवलोकन  की बारंबारता कहलाती है।
• असतत डेटा में वर्ग सीमाएँ वास्तविक वर्ग सीमाएँ हैं, असतत डेटा में कोई वर्ग सीमाएँ नहीं हैं।

संकल्पना:

एक प्रायिकता वितरण का प्रसरण इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

σ² = E(X - X̅)² (जो कि (X - X̅)² का अपेक्षित मान है)

जहाँ, X̅ = दिए गए वितरण का माध्य है।

गणना:

दिए गए वितरण के माध्य की गणना करने पर, हमें प्राप्त होता है

\(\bar{X}=E\left( x \right)=\int xp\left( x \right)dx\)

p(x) आयाम \(\frac{1}{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}\) के रूप में दिया गया है

इसलिए, \(\bar{x}=\underset{-\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }/2}{\overset{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }/2}{\mathop \int }}\,x.\frac{1}{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}.dx\)

\(\Rightarrow \bar{x}=\frac{1}{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}.\left. \frac{{{x}^{2}}}{2} \right|_{-\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }/2}^{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }/2}\)

\(=\frac{1}{2\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}\left[ \frac{{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{2}}}{4}-\left( \frac{~{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{2}}}{4} \right) \right]\)

= 0

इसलिए, दिए गए वितरण का माध्य 0 है।

अब, प्रसरण की गणना σ² = E(X - 0)² = E(X²) के रूप में की जाती है

\({{\sigma }^{2}}=E\left( {{x}^{2}} \right)=\int {{x}^{2}}p\left( x \right)dx\)

दिए गए वितरण के लिए;

\({{\sigma }^{2}}=E\left( {{x}^{2}} \right)=\int {{x}^{2}}.\frac{1}{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}.dx\)

\(=\frac{1}{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}\int {{x}^{2}}.dx\)

\(=\frac{1}{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}\left. \frac{{{x}^{3}}}{3} \right|_{-\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }/2}^{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }/2}\)

\(=\frac{1}{3\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}\left[ \frac{{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{3}}}{8}-\left( -\frac{{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{3}}}{8} \right) \right]\)

\(=\frac{1}{3\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}\left[ \frac{{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{3}}}{8}~+~\frac{{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{3}}}{8} \right]=\frac{1}{3\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}\left[ \frac{{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{3}}}{4} \right]=\frac{{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{2}}}{12}\)

इसलिए, दिए गए वितरण का प्रसरण \(\frac{{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{2}}}{12}\) है

निहितार्थ:

अवधारणा:

द्विपद बंटन असंतत प्रायिकता बंटन है जो एक प्रयोग में केवल दो संभावित परिणाम देता है, या तो सफलता या विफलता।

बर्नौली अभिप्रयोग: एक प्रयोग जिसमें N अभिप्रयोग, किसी दिए गए अभिप्रयोग में सफलता की प्रायिकता p और किसी दिए गए अभिप्रयोग में विफलता की प्रायिकता q = 1 - p वाली घटना से बने होते है।

द्विपद बंटन सफल परीक्षणों की संख्या n प्राप्त करने की प्रायिकता देता है जो नीचे दर्शाया गया है:

P = \(_{n}^{N}\textrm{C}\)(p)ⁿ(q)^N-n  = \(_{n}^{N}\textrm{C}\)(p)ⁿ(q)^N-n

गणना:

दिया गया है:

100 बल्बों के समूह में 10 खराब बल्ब हैं।

100 बल्बों के समूह से एक खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता

=  \(\frac{10}{100}\) = 0.1

⇒ 100 बल्बों के समूह से एक सही बल्ब निकालने की प्रायिकता= \(\frac{90}{100}\) = 0.9

⇒ जब यादृच्छिक रूप से 8 बल्बों का चयन किया जाता है, तो कम से कम एक खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता ज्ञात करने की आवश्यकता होती है।

यह द्विपद बंटन का एक उदाहरण है।

यहाँ, N = 8, p = 0.1, q = 0.9

इसलिए, द्विपद प्रमेय का उपयोग करके अभीष्ट प्रायिकता दी जाती है,

कम से कम 1 खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता = 1 - कोई खराब बल्ब न निकलने की प्रायिकता

 कम से कम 1 खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता = 1 - \(_{0}^{8}\textrm{C}\)(p)0(q)8-0

 कम से कम 1 खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता = 1 - (0.1)0(0.9)8

 कम से कम 1 खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता= 1 - (\(\frac{9}{10}\))⁸

अतः, सही उत्तर विकल्प 4 है। 

संकल्पना:

यादृच्छिक चर ‘x’ का विश्लेषण करने के लिए दो फलन का प्रयोग किया जाता है।

1) PDF (प्रायिकता वितरण फलन)

2) pdf (प्रायिकता घनत्व फलन)

CDF और pdf निम्न रूप में संबंधित हैं:

\(CDF = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty PDFdx\)  ----(1)

मान्य PDF के गुण:

1) \({f_X}\left( x \right) \ge 0,\;\forall \;x\;\epsilon\;R\)

∴ CDF, 0 और 1 के बीच परिबद्ध रहेगा। 

2) \(\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty {f_X}\left( x \right)dx = {P_X}\left( \infty \right) = 1\)  -----(2)

यहाँ P_X, CDF है। 

\({P_X}\left( \infty \right) = \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{lim}}}\\ {x \to \infty } \end{array}{P_X}\left( x \right)\)

∴ CDF सदैव एकदिष्‍टत: रूप से बढ़ता हुआ फलन होगा क्योंकि प्रायिकता सदैव 0 से बड़ी या उसके बराबर होती है।

गणना:

दिया गया है:

\(PDF \ = \ f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{c}{{\sqrt x }},}&{0 < x < 4}\\ {0,}&{otherwise} \end{array}} \right.\)

समीकरण (2) का प्रयोग करने पर:

\(\mathop \smallint \limits_{ 0 }^4 {\frac{c}{\sqrt{x}}}dx=1\)

\([2c\sqrt{x}]^{4}_{0}=1 \)

4c = 1

\(c=\frac{1}{4}\)

अब P(X > 1) के लिए 

P(X > 1) = 1 - P(X ≤ 1)

\(P(X > 1) = 1 - [2c\sqrt{x}]^1_{0}\)

\(P(X > 1) = 1 - \frac{1}{2}(1-0)\)

\(P(X > 1) = \frac{1}{2}\)

अतः विकल्प (3) सही उत्तर है।