Laminar Flow Between Plates MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Laminar Flow Between Plates - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

स्थिर समानांतर पट्टिकाओं में स्तरीय प्रवाह के माध्यम से वेग वितरण इस प्रकार दिया जाता है:

 

\(u = \frac{1}{{2\mu }}\left( {\frac{{ - \partial P}}{{\partial x}}} \right)(dy - {y^2})\)

अब

\(\frac{{du}}{{dy}} = \frac{1}{{2\mu }}\left( {\frac{{ - \partial P}}{{\partial x}}} \right)\left( {d - 2y} \right)\)

अपरूपण प्रतिबल वितरण, τ द्वारा दिया जाता है:

\(\tau = \frac{{\mu \;du}}{{dy}}\)

\(\tau = \frac{1}{2}\left( {\frac{{ - \partial P}}{{\partial x}}} \right)\left( {d - 2y} \right)\)

उपरोक्त से, निम्नलिखित निष्कर्ष निकाला जा सकता है:

1. अपरूपण प्रतिबल वितरण, 'τ' रैखीय है।

2. y = d/2 अर्थात मध्य बिंदु पर; τ = 0 अर्थात केंद्र पर अपरूपण प्रतिबल = 0

3. y = 0 पर अर्थात परिसीमा पर; \(\tau = {\tau _{max}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{ - \partial P}}{{\partial x}}} \right)\left( d \right)\) अर्थात परिसीमा पर अपरूपण प्रतिबल अधिकतम होता है।

∴ अपरूपण प्रतिबल पट्टिका की परिसीमाओं पर अधिकतम होता है और प्रत्येक पट्टिका से \(\frac{d}{2}\) दूर तल पर शून्य होता है।

व्याख्या:

दो निकट समानांतर गतिमान नावों के बीच आकर्षण

यह घटना जहाँ दो निकट समानांतर गतिमान नावें एक-दूसरे की ओर आकर्षण का अनुभव करती हैं, बर्नोली के समीकरण का उपयोग करके समझाई जा सकती है। यह सिद्धांत द्रव गतिकी में निहित है और द्रव प्रवाह के व्यवहार का वर्णन करता है।

• बर्नोली का सिद्धांत: यह बताता है कि द्रव की गति में वृद्धि एक साथ दबाव में कमी या द्रव की स्थितिज ऊर्जा में कमी के साथ होती है।

• नावों पर अनुप्रयोग: जब दो नावें एक-दूसरे के समानांतर चलती हैं, तो नावों के बीच पानी का प्रवाह तेज हो जाता है, जिससे उनके बीच दबाव कम हो जाता है।

• परिणामी आकर्षण: नावों के बाहरी हिस्सों की तुलना में नावों के बीच कम दबाव एक शुद्ध बल बनाता है जो नावों को एक-दूसरे की ओर खींचता है।

दिए गए विकल्पों का विश्लेषण

1. मैकाले का समीकरण (गलत)

   • मैकाले के समीकरण का उपयोग संरचनात्मक विश्लेषण में बीम में विक्षेपण और आघूर्ण निर्धारित करने के लिए किया जाता है, जो गतिमान नावों के द्रव गतिकी से असंबंधित है।

2. ऑयलर का समीकरण (गलत)

   • ऑयलर का समीकरण द्रव की गति का वर्णन करता है, लेकिन यह विशेष रूप से दो समानांतर गतिमान नावों के संदर्भ में द्रव गति के कारण दबाव परिवर्तनों की व्याख्या नहीं करता है।

3. बर्नोली का समीकरण (सही)

   • बर्नोली का समीकरण सीधे द्रव की गति को दबाव से संबंधित करता है, जो नावों के बीच तेज पानी के प्रवाह के कारण कम दबाव पैदा करने वाले आकर्षण की व्याख्या करता है।

4. संवेग समीकरण (गलत)

   • संवेग समीकरण द्रव प्रवाह में संवेग के संरक्षण से संबंधित है, लेकिन यह विशेष रूप से दबाव भिन्नताओं का वर्णन नहीं करता है जिससे नावें एक-दूसरे को आकर्षित करती हैं।

वेग वितरण प्रोफ़ाइल समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\(u = \frac{{ - 1}}{{2\mu }}\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial x}}} \right)\left( {Hy - {y^2}} \right)\)

यह एक परवलयिक समीकरण है, इसलिए वेग वितरण परवलयिक होगा।

संकल्पना:

समानांतर निर्दिष्ट प्लेट के बीच पर्णदलीय प्रवाह

वेग वितरण समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(u = \frac{{ - 1}}{{2\mu }}\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial x}}} \right)\left( {Hy - {y^2}} \right)\)

जहाँ,

u = सीमा से किसी दूरी y पर द्रव का वेग

H = दो समानांतर निर्दिष्ट प्लेटों के बीच की दूरी

गणना:

H = 6 mm, u_centre = 1.8 m/sec

At \(y = \frac{H}{2} = \frac{6}{2} = 3\;mm\)

\(1.8 = {u_{centre}} = - \frac{1}{{2\mu }}\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial x}}} \right)\left[ {6 \times 3 - {{\left( 3 \right)}^2}} \right]\)

\( - \frac{1}{{2\mu }}\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial x}}} \right) = 0.2\)

अब, y = 1 mm पर 

\(u = - \frac{1}{{2\mu }}\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial x}}} \right)\left[ {6 \times 1 - {{\left( 1 \right)}^2}} \right]\)

\(u = - \frac{1}{{2\mu }}\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial x}}} \right)\left( {6 - 1} \right)\)

\(u = 0.2 \ \times \ 5\)

u = 1 m/s.

संकल्पना:

दो समानांतर नियत प्लेटों के बीच प्रवाह के लिए:

जहाँ,

u = सीमा से किसी दूरी y पर तरल का वेग

H = दो समानांतर नियत प्लेटों के बीच की दूरी

अधिकतम वेग और औसत वेग का अनुपात इस प्रकार दिया गया है:

\(\frac{{{U_{max}}}}{{{U_{avg}}}} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{6.9}{{{U_{avg}}}} = \frac{3}{2}\)

Uavg = 4.6 m/s

वर्णन:

दो समानांतर अंतराल वाले प्लेटों के बीच प्रवाह के लिए (जैसा नीचे दी गयी आकृति में दर्शाया गया है):

वेग वितरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\rm{v = \frac{1}{{2\mu }}\left( {\frac{{ - \partial p}}{{\partial x}}} \right)\left( {By - {y^2}} \right)}\)

अपरूपण प्रतिबल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\rm{\begin{array}{l} \rm{\tau = \mu \frac{{du}}{{dy}}}\\ \rm{\tau= \frac{1}{2} \times \left( { - \frac{{\partial p}}{{\partial x}}} \right)\left( {B - 2y} \right)}\\ y = \frac{B}{2},\;\tau = 0 \end{array}}\)

y = 0 पर, τ = τmax

इसलिए, अपरूपण प्रतिबल मध्य तल से दूरी के रूप में प्रत्यक्ष रूप से भिन्न है। 

अतः अनुभाग पर अपरूपण वितरण को नीचे चित्रित किया गया है:

∴ अपरूपण प्रतिबल परिसीमाओं पर अधिकतम और केंद्र पर शून्य है। 

Concept:

Viscous flow in Plates:

Velocity equation:

\(u=-\frac{1}{2\mu}\left( \frac{\partial p}{\partial x}\right)(ty\;-\;y^2)\)

where t = distance between two plates and y = distance measured from lower plate towards the upper plate.

Shear stress equation:

\(\tau=-\frac{1}{2}\left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)(t-2y)\)

Maximum velocity happens at, \(y =\frac{t}{2}\), which is given by \(u_{max}=-\frac{1}{8\mu}\left( \frac{\partial p}{\partial x}\right)t^2\)

Ratio of Maximum velocity to the Average velocity in case of plates:

\(\frac{u_{max}}{u_{avg}}=\frac{3}{2}\)

Calculation:

Given:

Parallel plates:

U_max = 6 ms^-1, Uavg = ??

\(\frac{U_{max}}{U_{avg}}=\frac{3}{2}\)

\({U_{avg}}=\frac{2}{3}\times6\Rightarrow 4\) ms^-1

Additional Information

Viscous flow in Pipes:

Velocity equation:

\(u=-\frac{1}{4\mu}\left( \frac{\partial p}{\partial x}\right)(R^2\;-\;r^2)\)

where r = distance measured from the centre of the pipe.

Shear stress equation:

\(\tau=-\left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)\frac{r}{2}\)

Maximum velocity happens at r = 0, which is given by \(u_{max}=-\frac{1}{4\mu}\left( \frac{\partial p}{\partial x}\right)R^2\)

Ratio of Maximum velocity to the Average velocity in case of pipe:

\(\frac{U_{max}}{U_{avg}}=2\)

दो समानांतर रखी प्लेटों के बीच प्रवाह के लिए (जैसा कि नीचे आकृति में दिखाया गया है):

वेग वितरण इस प्रकार है:

\(\rm{v = \frac{1}{{2\mu }}\left( {\frac{{ - \partial p}}{{\partial x}}} \right)\left( {By - {y^2}} \right)}\)

अपरूपण प्रतिबल इस प्रकार होगा:

\(\rm{\begin{array}{l} \rm{\tau = \mu \frac{{du}}{{dy}}}\\ \rm{\tau= \frac{1}{2} \times \left( { - \frac{{\partial p}}{{\partial x}}} \right)\left( {B - 2y} \right)}\\ y = \frac{B}{2},\;\tau = 0 \end{array}}\)

चूँकि y = 0 पर,  τ = τmax

इस प्रकार, एक अनुभाग में प्रबाल वितरण इस प्रकार होगा:

इसलिए अपरूपण प्रतिबल सीमा पर अधिकतम है और केंद्र में शून्य है।

संकल्पना:

दो स्थिर समानांतर प्लेटों के बीच पटलीय प्रवाह में दो बिंदु के बीच दबाव अंतर 

\({P_2} - {P_1} = - \frac{{12\mu vl}}{{{t^2}}}\)

दो स्थिर समानांतर प्लेटों के बीच पटलीय प्रवाह का अधिकतम अपरूपण प्रतिबल 

\({τ _{max}} = - \frac{1}{2}\left( {\frac{{dp}}{{dx}}} \right)t\)

गणना:

दिया गया:

विशिष्ट गुरुत्व = 0.9 ⇒ घनत्व (ρ) = 900 kg/m3

μ = 1 पॉइज़ ⇒ 0.1 Ns/m2

v = 1 m/s, t = 1 cm ⇒ 0.01 m

दबाव अंतर है:

\({P_2} - {P_1} = - \frac{{12\mu vl}}{{{t^2}}}\)

\(\frac{{{P_2} - {P_1}}}{l} = - \frac{{12\mu v}}{{{t^2}}}\)

\(\left( {\frac{{dp}}{{dx}}} \right) = \; - \frac{{12\mu v}}{{{t^2}}}\)

\(\left( {\frac{{dp}}{{dx}}} \right) = - \frac{{12 \times .1 \times 1}}{{{{\left( {.01} \right)}^2}}} \Rightarrow - 12000\frac{N}{{{m^2}}}\)

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल है:

\({τ _{max}} = - \frac{1}{2}\left( {\frac{{dp}}{{dx}}} \right)t\)

\({τ _{max}} = - \frac{1}{2} \times \left( { - 12000} \right) \times 0.01\)

τmax = 60 N/m2

संकल्पना:

समानांतर निर्दिष्ट प्लेट के बीच पर्णदलीय प्रवाह

वेग वितरण समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(u = \frac{{ - 1}}{{2\mu }}\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial x}}} \right)\left( {Hy - {y^2}} \right)\)

जहाँ,

u = सीमा से किसी दूरी y पर द्रव का वेग

H = दो समानांतर निर्दिष्ट प्लेटों के बीच की दूरी

गणना:

H = 6 mm, u_centre = 1.8 m/sec

At \(y = \frac{H}{2} = \frac{6}{2} = 3\;mm\)

\(1.8 = {u_{centre}} = - \frac{1}{{2\mu }}\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial x}}} \right)\left[ {6 \times 3 - {{\left( 3 \right)}^2}} \right]\)

\( - \frac{1}{{2\mu }}\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial x}}} \right) = 0.2\)

अब, y = 1 mm पर 

\(u = - \frac{1}{{2\mu }}\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial x}}} \right)\left[ {6 \times 1 - {{\left( 1 \right)}^2}} \right]\)

\(u = - \frac{1}{{2\mu }}\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial x}}} \right)\left( {6 - 1} \right)\)

\(u = 0.2 \ \times \ 5\)

u = 1 m/s.

\(v = \frac{1}{{2\mu }}\left( {\frac{{ - \partial p}}{{\partial x}}} \right)\left( {By - {y^2}} \right)\)

अपरूपण प्रतिबल

\(\begin{array}{l} \tau = \mu \frac{{du}}{{dy}}\\ = \frac{1}{2} \times \left( { - \frac{{\partial p}}{{\partial x}}} \right)\left( {B - 2y} \right)\\ y = \frac{B}{2},\;\tau = 0 \end{array}\)

Y = 0, τ = τ_{अधिकतम}

स्पष्टीकरण:

स्तरीय प्रवाह के लिए सामान्य वेग प्रोफ़ाइल

\(\frac{u}{{{u_\infty }}} = \frac{3}{2}\left( {\frac{y}{\delta }} \right) - \frac{1}{2}{\left( {\frac{y}{\delta }} \right)^3}\)

\({\tau _{wall}} = \mu {\left( {\frac{{\partial u}}{{dy}}} \right)_{y = 0}} = \frac{{3\mu }}{{2\delta }}\)

अब \(\delta = \frac{{4.65x}}{{\sqrt {R{e_X}} }}\)

\(\delta \propto {x^{\frac{1}{2}}}\)

\({\tau _{wall}} \propto {x^{\frac{{ - 1}}{2}}}\)

\( = \tau \propto \frac{1}{{\sqrt x }}\) जैसे-जैसे अग्रणी किनारे से दूरी बढ़ती है, अपरूपण प्रतिबल कम होता जाता है।

कुएट प्रवाह दो सतहों के बीच के स्थान में श्यान तरल पदार्थ का प्रवाह होता है, जिसमें से एक दूसरे के सापेक्ष में स्पर्शरेखीय रूप से गति करती है। यह विन्यास अक्सर दो समानांतर प्लेटों या दो संकेन्द्रित बेलनों के बीच के अंतराल का रूप ले लेता है।

प्लग प्रवाह में तरल पदार्थ के वेग को पाइप के अक्ष के लंबवत पाइप में किसी भी अनुप्रस्थ-काट पर स्थिर माना जाता है। प्लग प्रवाह मॉडल की यह अवधारणा है कि पाइप के आंतरिक दिवार के सन्निकट कोई भी सीमा परत नहीं होती है।

स्टॉक प्रवाह या मंद प्रवाह तरल पदार्थ के प्रवाह का एक प्रकार है जहाँ अभिवाही जड़त्व बल श्यान बल की तुलना में कम होता है। रेनॉल्ड संख्या निम्न होती है अर्थात Re ≪ 1। यह प्रवाहों में विशिष्ट स्थिति होती है जहाँ तरल पदार्थ का वेग बहुत धीमा होता है, इसलिए श्यानता बहुत अधिक होती है।

वर्णन:

दो निर्दिष्ट समानांतर प्लेटों के अनुभाग पर वेग वितरण को परवलयिक रूप से निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

\(u = \frac{1}{{2\mu }}\left( { - \frac{{\partial P}}{{\partial x}}} \right)\left( {ty - {y^2}} \right)\)

जहाँ \(\frac{{\partial P}}{{\partial x}} = \) प्लेट की लम्बाई के साथ दबाव प्रवणता

y = निचले निर्दिष्ट प्लेट से महत्व का बिंदु 

t = दो निर्दिष्ट समानांतर प्लेटों के बीच की दूरी

सूचना: दो निर्दिष्ट समानांतर प्लेटों के अनुभाग पर अपरूपण प्रतिबल वितरण रैखिक होता है।

व्याख्या:

रेनॉल्ड की संख्या:

• यह एक आयामहीन संख्या है जो एक पाइप या समतल पट्टिका के माध्यम से तरल के प्रवाह की प्रकृति को निर्धारित करती है।
• यह एक बह तरल पदार्थ के लिए श्यान बल के जड़त्वीय बल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
• रेनॉल्ड की संख्या को Re के रूप में लिखा जाता है।
• \({Re} = \frac{{{\rm{Inertial\;force}}}}{{{\rm{Viscous\;force}}}}\)

समतल पट्टिका प्रवाह:

• यदि रेनॉल्ड की संख्या 5 × 105 से नीचे है, तो तरल का प्रवाह सुव्यवस्थित या पटलीय होता है।
• यदि रेनॉल्ड की संख्या 5 × 105 से अधिक या उसके बराबर है, तो तरल का प्रवाह प्रक्षुब्ध है।

अतिरिक्त जानकारी

पाइप प्रवाह:

• यदि रेनॉल्ड की संख्या 0 - 2000 के बीच है, तो तरल का प्रवाह सुव्यवस्थित या पटलीय होता है।
• यदि रेनॉल्ड की संख्या 2000 - 3000 के बीच है, तो तरल का प्रवाह अस्थिर है और सुव्यवस्थित से प्रक्षुब्ध प्रवाह में बदल रहा है।
• यदि रेनॉल्ड की संख्या 3000 से ऊपर है, तो द्रव का प्रवाह प्रक्षुब्ध है।