Integration by Parts MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Integration by Parts - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

प्रयुक्त अवधारणा:

\(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\)
खंडश: समाकलन से: \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\)

गणना:

\(\int e^{\sin x} \sin 2x \, dx = \int e^{\sin x} (2 \sin x \cos x) \, dx\)

⇒ मान लीजिए, \(\sin x = t\), तब \(\cos x \, dx = dt\)

समाकल बन जाता है, \(\int e^t (2t) \, dt = 2 \int t e^t \, dt\)

⇒ \(2 \int t e^t \, dt = 2 \left( te^t - \int e^t \, dt \right) = 2 \left( te^t - e^t \right) + C\)

⇒ \(2 \left( (\sin x) e^{\sin x} - e^{\sin x} \right) + C = 2e^{\sin x}(\sin x - 1) + C\)

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

Solving the indefinite integral,

\( \displaystyle I_1=\int { x{ sec }^{ 2 } } xdx \\ \)

Applying integral by parts,

\( \Rightarrow \displaystyle I_1=x\tan { x } -\int { \tan { x } } dx \)

\( \Rightarrow \displaystyle I_1= x\tan { x } +\ln { cosx } +C \)

The value of the indefinite integral,

\( \Rightarrow \displaystyle I= \left[x\tan { x } +\ln { cosx } \right]_0^\frac{\pi}{4} \)

\( \Rightarrow \displaystyle I= \left[\dfrac{\pi}{4}\tan { \dfrac{\pi}{4} } +\ln { \cos \dfrac{\pi}{4} } \right]-[0-\ln(\cos 0)] \)

\( \Rightarrow I=\dfrac { \pi }{ 4 } +\ln { \dfrac { 1 }{ \sqrt { 2 } } } \)

गणना:

\(\displaystyle \int (1+x-\displaystyle \frac{1}{x})e^{x+\frac{1}{x}} dx \)

\(\Rightarrow\int e^{(x+\frac{1}{x})}dx + \int x(1-\displaystyle \frac{1}{x^{2}})e^{(x+\frac{1}{x})}dx\)

खंडश: समाकलन का उपयोग करने पर,

\(\Rightarrow\int e^{(x+\frac{1}{x})}dx + xe^{(x+\frac{1}{x})}-\int e^{(x+\frac{1}{x})}dx\)

\(\Rightarrow xe^{(x+\frac{1}{x})}+c\)

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

अवधारणा:

प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन:

• जब एक समाकल में एक समग्र फलन शामिल होता है, तो आंतरिक फलन को एक नया चर मानकर प्रतिस्थापन इसे सरल कर सकता है।
• यदि हमारे पास ∫ e^f(x) f'(x) dx के रूप का एक समाकल है, तो यह सीधे e^f(x) + C में समाकलित होता है।
• चरघातांकी फलन e^x: यह एक ऐसा फलन है जो अपने स्वयं के अवकलज के बराबर होता है।
• महत्वपूर्ण सूत्र: ∫ e^f(x) f'(x) dx = e^f(x) + C

गणना:

दिया गया है,

समाकल = \(\int \mathrm{e}^{\mathrm{x}}\left(\frac{2 \mathrm{x}+1}{2 \sqrt{\mathrm{x}}}\right) \mathrm{dx}\)

मान लीजिए, u = √x

⇒ u = x^1/2

⇒ अवकलन करने पर, du/dx = (1/2)x^-1/2

⇒ du = (1/2√x) dx

⇒ dx = 2√x du

अब समाकल में प्रतिस्थापित करने पर,

समाकल = ∫ e^x x (2x + 1)/(2√x) x (2√x) du

⇒ समाकल = ∫ e^x (2x + 1) du

अब, ध्यान दें कि हमारे पास अभी भी e^x और (2x + 1) में x पद हैं।

इस प्रकार, यहाँ वास्तव में किसी प्रतिस्थापन की आवश्यकता नहीं है।

मूल समाकल को फिर से लिखने पर:

समाकल = ∫ e^x x (2x + 1)/(2√x) dx

भिन्न को विभाजित करने पर:

समाकल = (1/2) ∫ (2x/√x + 1/√x) e^x dx

⇒ (1/2) ∫ (2x^1/2 + x^-1/2) e^x dx

अब मान लीजिए, t = √x

⇒ t = x^1/2

⇒ x = t²

⇒ dx = 2t dt

t के पदों में सब कुछ प्रतिस्थापित करने पर,

समाकल = (1/2) ∫ (2t + 1/t) e^t² × 2t dt

प्रसार करने पर:

समाकल = (1/2) × 2 ∫ (2t² + 1) e^t² dt

⇒ समाकल = ∫ (2t² + 1) e^t² dt

अब समाकल को विभाजित करें:

समाकल = ∫ 2t² e^t² dt + ∫ e^t² dt

∫ 2t² e^t² dt के लिए:

d/dt (e^t²) = 2t e^t²

हमें t² पदों की आवश्यकता है। इसलिए विचार करें:

मान लीजिए हम (t e^t²) को अवकलित करते हैं:

⇒ d/dt (t et²) = et² + t × 2t et²

⇒ d/dt (t et²) = et² + 2t² et²

इस प्रकार,

e^t² + 2t² e^t² = d/dt (t e^t²)

इस प्रकार,

∫ (2t² + 1) e^t² dt = ∫ d/dt (t e^t²) dt

⇒ t e^t² + C

वापस t = √x प्रतिस्थापित करने पर:

⇒ √x e^x + C

∴ इसलिए, अंतिम उत्तर \(\rm e^{x} \sqrt{x}+C\) है। 

प्रयुक्त अवधारणा:

\(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\)
खंडश: समाकलन से: \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\)

गणना:

\(\int e^{\sin x} \sin 2x \, dx = \int e^{\sin x} (2 \sin x \cos x) \, dx\)

⇒ मान लीजिए, \(\sin x = t\), तब \(\cos x \, dx = dt\)

समाकल बन जाता है, \(\int e^t (2t) \, dt = 2 \int t e^t \, dt\)

⇒ \(2 \int t e^t \, dt = 2 \left( te^t - \int e^t \, dt \right) = 2 \left( te^t - e^t \right) + C\)

⇒ \(2 \left( (\sin x) e^{\sin x} - e^{\sin x} \right) + C = 2e^{\sin x}(\sin x - 1) + C\)

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

संकल्पना:

खंडशः समाकलन:

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫ g(x) dx - ∫ [f'(x) ∫ g(x) dx] dx.

प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन:

यदि हम x = f(t) रखते हैं, तो dx = f'(t) dt और ∫ f(x) dx = ∫ f[f(t)] f'(t) dt है। 

\(\rm \frac{d}{dx}\cos^{-1}x=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\).

गणना:

माना कि I = \(\rm \int \frac{x\cos^{-1}x}{\sqrt {1 - x^2}} \ dx\) है। 

हम cos^-1 x = t ⇒ x = cos t और \(\rm \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\ dx\) = dt रखते हैं। 

⇒ I = - ∫ t cos t dt

खंडशः समाकलन से, हमें निम्न प्राप्त होता है:

⇒ I = -t ∫ cos t + ∫ (1 × ∫ cos t dt) dt

⇒ I = -t sin t + ∫ sin t dt + C

⇒ I = - t sin t - cos t + C

= I = \(\rm -x - \sqrt {1 - x^2}\cos^{-1}x + C\)

संकल्पना:

• खंडशः समाकलन:

  ∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫ g(x) dx - ∫ [f'(x) ∫ g(x) dx] dx.

• ∫ sin x dx = - cos x + C

गणना:

माना कि I = ​​∫ e^x(sin x - cos x) dx है। 

⇒ I = ∫ ex sin x dx - ∫ ex cos x dx

⇒ I = ex ∫ sin x dx - ∫ [e^x ∫ sin x dx] dx - ∫ ex cos x dx

⇒ I = - ex cos x dx + ∫ ex cos x dx - ∫ ex cos x dx + C

⇒ I = - ex cos x + C

जैसा कि हम जानते हैं, ∫ ex [f(x) + f'(x)]dx = ex f(x) + c

माना  f(x) = -cos x

इसलिए, f'(x) = sin x

अब , I =  ∫ ex(sin x - cos x) dx

=  ​​∫ ex(- cos x + sin x) dx

= ∫ ex [f(x) + f'(x)]dx

=  ex f(x) + c

= - ex cos x + C

धारणा:

1. प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन:

• यदि दिया गया समाकलन \(\smallint {\rm{g}}\left( {{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)} \right){\rm{f'}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}}\) रूप का है जहाँ g(x) और f(x) दोनों अवकलनीय फलन हैं तो हम f(x) = u को प्रतिस्थापित करते हैं जिसका अर्थ है f’ (x)dx = du।
• इसलिए, समाकल \(\smallint {\rm{g}}\left( {\rm{u}} \right){\rm{du}}\) बन जाता है जिसे सामान्य सूत्रों द्वारा हल किया जा सकता है।

समाधान:

दी गई समस्या में \(\ln \left( {\rm{x}} \right) = u\) प्रतिस्थापित करें इसलिए \(\frac{{{\rm{dx}}}}{{\rm{x}}} = {\rm{du}}\)।

दिया गया समाकल बन जाता है,

\(\smallint \cos {\rm{udu}} = \sin {\rm{u}} + {\rm{C}}\)

\({\rm{u}} = \ln \left( {\rm{x}} \right)\) को पुनःप्रतिस्थापित करें।

संकल्पना:

खंडश समाकलन:

खंडश समाकलन के लिए सूत्र निम्न दिया गया है;

\( \Rightarrow {\rm{}}\smallint {\rm{u\;vdx}} = {\rm{u\;}}\smallint {\rm{vdx}} - {\rm{\;}}\smallint \left( {\frac{{{\rm{du}}}}{{{\rm{dx}}}}{\rm{\;}}\smallint {\rm{vdx}}} \right){\rm{dx}}\)

जहाँ u फलन u(x) है और v फलन v(x) है। 

• ILATE नियम: विशेष रूप से इस नियम का वरीयता क्रम प्रतिलोम, लघुगुणक, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातांक जैसे कुछ फलनों पर आधारित होती है। 

गणना:

दिए गए फलन में u = x और v = ln xdx है। 

खंडश: समाकलन निम्न है

\(\smallint {\rm{xln\;x\;dx}} = \ln {\rm{x}}\smallint {\rm{x\;dx}} - {\rm{\;}}\smallint \frac{1}{x}\frac{{{{\rm{x}}^2}}}{2}{\rm{\;dx}}\)

\( = \frac{{{{\rm{x}}^2}}}{2}\ln {\rm{x}} - {\rm{\;}}\smallint \frac{{\rm{x}}}{2}{\rm{dx}}\)

\( = {\rm{\;}}\frac{{{{\rm{x}}^2}}}{2}\ln {\rm{x}} - {\rm{\;}}\frac{{{{\rm{x}}^2}}}{4} + {\rm{\;C}}\)

प्रयुक्त अवधारणा:

1. a logx = log (x^a)

2. e^log(n)  = n

3. ∫xⁿdx = \(\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)

अनुप्रयोग:

हमारे पास है,

I = e5 log x

या, I = \(e^{log(x^5)}\) = x⁵

अतः, ∫x⁵ dx = x⁶/6 + C

सूत्र:

\(\int {e}^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C\)

गणना​:

माना \(I = \int e^x . \frac{1 + sinx}{1 + cos x} dx\)

⇒ \(I = \int e^x . \frac{1 + 2sin\frac{x}{2}cos \frac{x}{2}}{ 2cos^2 \frac{x}{2}} dx\)

⇒ \(I = \int e^x . [\frac{1}{2 cos^2\frac{x}{2}} + \frac{2 sin\frac{x}{2} cos\frac{x}{2}}{2 cos^2\frac{x}{2}}] dx\)

⇒ \(I = \int e^x . [\frac{1}{2} sec^2 \frac{x}{2} + tan \frac{x}{2}] dx\)

उपरोक्त समाकलित\(\int {e}^x [f(x) + f'(x)] dx\) रूप का है। 

\(f(x) = tan \frac{x}{2}\)

 \(f'(x) = \frac{1}{2} sec^2 \frac{x}{2}\)

 \(∴\ I = e^x f(x) + c\)

\(I = e^x tan \frac{x}{2} + c\)

संकल्पना:

खंडशः समाकलन

ILATE नियमों का प्रयोग करने पर 

I → व्युत्क्रम फलन

L → Log फलन

A → बीजगणितीय फलन

T → त्रिकोणमितीय फलन

E → घातांकीय फलन

\(\rm \smallint u.v\;dx = u\;\smallint v\;dx - [\;\smallint (\frac{{du}}{{dx}})\;\smallint v\;dx\;]\;dx\)

गणना:

\(\rm I = \smallint si{n^{ - 1}}x\;dx\)

= \( si{n^{ - 1}}x.\;\smallint 1\;dx - [\;\smallint \frac{{d\left( {si{n^{ - 1}}x} \right)}}{{dx}}\;\;\smallint 1\;dx\;]\;dx\)

= \( si{n^{ - 1}}x.\;\smallint 1\;dx - [\;\smallint \frac{{d\left( {si{n^{ - 1}}x} \right)}}{{dx}}\;\;(\smallint 1\;dx)]\;dx\)

= \( x.\;si{n^{ - 1}}x - [\smallint \frac{1}{{\sqrt {\left( {1 - {x^2}} \right)} }}\;.\;x\;]\;dx\)

1 – x² = t² रखने पर

⇒ -2x dx = 2t dt

⇒ x dx = -t dt

अब, I =  \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaaeaaaaaaaaa8 % qacaWG4bGaaiOlaiaacckacaWGZbGaamyAaiaad6gapaWaaWbaaSqa % beaapeGaeyOeI0IaaGymaaaakiaadIhacqGHsislcqGHRiI8daWcaa % WdaeaapeGaaGymaaWdaeaapeWaaOaaa8aabaWdbiaadshapaWaaWba % aSqabeaapeGaaGOmaaaaaeqaaaaakmaabmaapaqaa8qacqGHsislca % WG0baacaGLOaGaayzkaaGaaiiOaiaadsgacaWG0baaaa!4B4A! x.\;si{n^{ - 1}}x - \smallint \frac{1}{{\sqrt {{t^2}} }}\left( { - t} \right)\;dt\)\(x.\;si{n^{ - 1}}x - \smallint \frac{1}{{\sqrt {{t^2}} }}\left( { - t} \right)\;dt\)

= \(x.si{n^{ - 1}}x + \;\smallint 1\;dt\)

= \(\rm x.si{n^{ - 1}}x + \;t\) + c

t ⇒ \(t = \;\sqrt {1 - {x^2}} \) का मान रखने पर

I = \(x\;si{n^{ - 1}}x\; + \;\sqrt {1 - {x^2}} + c\)

अवधारणा:

खंडशः समाकलन:

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫ g(x) dx - ∫ [f'(x) ∫ g(x) dx] dx.

निश्चित समाकल:

यदि ∫ f(x) dx = g(x) + C तो \(\rm ∫_a^b f(x)\ dx = [ g(x)]_a^b\) = g(b) - g(a)

गणना:

पहले खंडशः समाकल के तहत अभिव्यक्ति को समाकलित करें।

I = ∫ log x dx =  ∫ (1)(log x) dx

पहले फलन के रूप में log x और दूसरे फलन के रूप में 1 को मानते हुए हमें मिलता है:

= (log x) ∫ 1 dx - ∫ [\(\rm\frac1x\) ∫ 1 dx] dx

= (log x) x - x + C

निश्चित समाकल की सीमाएं डालते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

\(\rm ∫_1^2 \log x \ dx\)

= \(\rm \left[x(\log x)-x\right]_1^2\)

= (2 log 2 - 2) - (0 - 1)

= 2 log 2 - 1

अवधारणा-

खंडशः सूत्र द्वारा समाकलन -: 

\(\int u v \ dx = u \int vdx - \int (u'\int vdx)dx \)

गणना-

\(\rm \displaystyle\int x\log x \ dx\)

log x को पहले फलन और x को दूसरे फलन के रूप में मानकर खंडशः सूत्र का प्रयोग करने पर, 

= \(\rm logx \int xdx - \int \left ( \frac{d}{dx}(logx) \right )\left ( \int xdx \right )dx\)

= \(\rm logx \left ( \frac{x^{2}}{2} \right ) - \int \frac{1}{x}\times \frac{x^{2}}{2}dx\)

= \( \rm \frac{x^{2}}{2} logx -\frac{1}{2} \int xdx\)

= \(\rm \frac{x^2\log x}{2}-\frac{x^2}{4}+C\)

∴ \(\rm \displaystyle\int x\log x \ dx= \rm \frac{x^2\log x}{2}-\frac{x^2}{4}+C\)

संकल्पना:

खंडशः समाकलन: खंडशः समाकलन गुणनफलों का समाकलन ज्ञात करने की एक विधि है। 

खंडशः समाकलन के लिए सूत्र को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

⇒ \(\rm ∫ u vdx=u ∫ vdx- ∫ \left({du\over dx}\times ∫ vdx\right)dx \) + C

जहाँ u फलन u(x) है और v फलन v(x) है। 

ILATE नियम में विशेष रूप से इस नियम की वरीयता क्रम व्युत्क्रम, लघुगुणक, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातांक जैसे कुछ फलनों पर आधारित होती है। 

गणना:

I = \(\rm \int x\tan^{-1}x dx\)

I = \(\rm \tan^{-1}x\int xdx - \int \left({1\over1+x^2}\int xdx\right)dx+c\)

I = \(\rm {x^2\tan^{-1}x\over2} - {1\over2}\int \left({x^2\over1+x^2}\right)dx+c\)

I = \(\rm {x^2\tan^{-1}x\over2} - {1\over2}\int \left(1-{1\over1+x^2}\right)dx+c\)

I = \(\rm {1\over2}\left[x^2\tan^{-1}x - (x-\tan^{-1}x)\right]+c\)

I = \(\boldsymbol{\rm {1\over2}\left[(x^2+1)\tan^{-1}x - x\right]+c}\)