Harmonic Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Harmonic Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

एक फलन f(x, y) को प्रसंवादी कहा जाता है यदि यह निम्न को संतुष्ट करता है:

\({\partial ^2 f\over \partial x^2}+{\partial ^2 f\over \partial y^2}\) = 0

व्याख्या:

(1): u = x2 + y2

\({\partial ^2 f\over \partial x^2}=2, {\partial ^2 f\over \partial y^2}= 2\)

इसलिए, \({\partial ^2 f\over \partial x^2}+{\partial ^2 f\over \partial y^2}\) ≠ 0

u = x2 + y2 प्रसंवादी नहीं है।

(1) सही है। 

(2): u = x2 - y2

\({\partial ^2 f\over \partial x^2}=2, {\partial ^2 f\over \partial y^2}=- 2\)

इसलिए, \({\partial ^2 f\over \partial x^2}+{\partial ^2 f\over \partial y^2}\) = 0

u = x2 - y2 प्रसंवादी है।

(3): u = sin hx cos y

\({\partial ^2 f\over \partial x^2}\) = sin hx cos y और \( {\partial ^2 f\over \partial y^2}\) = - sin hx cos y

इसलिए, \({\partial ^2 f\over \partial x^2}+{\partial ^2 f\over \partial y^2}\) = 0

u = sin hx cos y प्रसंवादी है।

(4): इसी प्रकार हम दर्शा सकते हैं कि

u = \(\frac{1}{2}\)log(x2 + y2) प्रसंवादी है।

संकल्पना:

एक फलन u = f(x, y) को आवर्त फलन कहा जाता है यदि \(\frac{\partial^2u}{\partial^2x}+\frac{\partial^2u}{\partial^2y}=0\)

हल:

दिया गया है,  \(\mathrm{u}=\frac{1}{2} \log \left(x^2+y^2\right)\)आवर्त है

अब , \(\frac{\partial u}{\partial x}\) = \(\frac{1}{2}\times\frac{2x}{x^2+y^2}\) = \(\frac{x}{x^2+y^2}\) 

\(\frac{\partial u}{\partial y}\) = \(\frac{1}{2}\times\frac{2y}{x^2+y^2}\) = \(\frac{y}{x^2+y^2}\)

∴ dv =\(\left ( \frac{\partial v}{\partial x} \right )\)dx + \(\left ( \frac{\partial v}{\partial y} \right )\)dy 

=\(\left ( \frac{-\partial u}{\partial x} \right )\)dx + \(\left ( \frac{\partial u}{\partial y} \right )\)dy [CR समीकरण का प्रयोग करने पर]

=\(\left (\frac{-y}{x^2+y^2}\right )\)dx + \(\left (\frac{x}{x^2+y^2}\right )\)dy

=\(\frac{x dy-ydx}{x^2+y^2}\)

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

v = \(\tan^{-1}\left ( \frac{y}{x} \right )\) + C

∴ हार्मोनिक संयुग्मी \(\tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)+\mathrm{c}\) है

सही उत्तर विकल्प 1 है।

Additional Informationd(xy) = xdy + ydx

d(\(\frac{x}{y}\)) = \(\frac{ydx-xdy}{y^2}\)

d(\(\frac{x dy-ydx}{x^2+y^2}\)) = d(\(\tan^{-1}\left ( \frac{y}{x} \right )\))

संकल्पना:

यदि u(x, y) हार्मोनिक फलन है, तो इसे लाप्लास समीकरण u_xx + u_yy = 0 को संतुष्ट करना चाहिए। 

गणना:

दिया गया है:

u(x, y) = ebx cos 5y

∴ u_x = be^bx cos 5y

∴ u_xx = b²e^bx cos 5y

∴ u_y = -5e^bx sin 5y

∴ u_yy = -25e^bx cos 5y

∵हार्मोनिक फलन के लिए, uxx + uyy = 0

∴ b² e^bx cos 5y – 25e^bx cos 5y = 0

∴ e^bx cos 5y (b² - 25) = 0

∴ b² – 25 = 0

∴ b = ± 5

संकल्पना:

यदि f(x, y) हार्मोनिक है, तो इसे लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। 

\({{\nabla }^{2}}~f\left( x,~y \right)=0=\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{y}^{2}}}\)

गणना:

दिया गया फलन: f = 2x – x² + my²

इसलिए, हार्मोनिक के लिए इसे लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। 

\({{\nabla }^{2}}f=0=\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{y}^{2}}}\)

\(\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{x}^{2}}}=\frac{\partial \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}~\left( 2-2x \right)=-2\)

\(\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{y}^{2}}}=\frac{\partial \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)}{\partial y}=\frac{\partial \left( 2my \right)}{\partial y}=2m\)

\(\Rightarrow \frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{y}^{2}}}=-2+2m=0\)

अवधारणा:

माना कि w = u + iν सम्मिश्र चर का एक फलन है।

एक सम्मिश्र चर का फलन विश्लेषणात्मक है यदि यह कॉची-रीमैन समीकरण को संतुष्ट करता है;

\(i.e.\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{{\partial \nu }}{{\partial y}}\;and\;\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = - \frac{{\partial \nu }}{{\partial x}}\)

गणना:

दिया हुआ:

u(x, y) = 2x² – 2y² + 4xy, ν(x, y) = ?

\(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{{\partial \nu }}{{\partial y}}\)

\(\frac{{\partial u }}{{\partial x}}=4x + 4y = \frac{{\partial \nu }}{{\partial y}}\)

x को स्थिर रखते हुए y के संबंध में समाकलन करके

ν(x, y) = 4xy + 2y² + f(x)

\(\frac{\partial v}{\partial x}=4y\;+\;f'(x)\)

\(\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = - \frac{{\partial \nu }}{{\partial x}}\)

\(\frac{\partial u}{\partial y}= - 4y + 4x \)

4y – 4x = 4y + f’(x)

\(f\left( x \right) = - \frac{{4{x^2}}}{2} + C= - 2{x^2} + C\)

संकल्पना:

यदि f(x, y) हार्मोनिक है, तो इसे लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। 

\({{\nabla }^{2}}~f\left( x,~y \right)=0=\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{y}^{2}}}\)

गणना:

दिया गया फलन: f = 2x – x² + my²

इसलिए, हार्मोनिक के लिए इसे लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। 

\({{\nabla }^{2}}f=0=\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{y}^{2}}}\)

\(\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{x}^{2}}}=\frac{\partial \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}~\left( 2-2x \right)=-2\)

\(\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{y}^{2}}}=\frac{\partial \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)}{\partial y}=\frac{\partial \left( 2my \right)}{\partial y}=2m\)

\(\Rightarrow \frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{y}^{2}}}=-2+2m=0\)

अवधारणा:

माना कि w = u + iν सम्मिश्र चर का एक फलन है।

एक सम्मिश्र चर का फलन विश्लेषणात्मक है यदि यह कॉची-रीमैन समीकरण को संतुष्ट करता है;

\(i.e.\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{{\partial \nu }}{{\partial y}}\;and\;\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = - \frac{{\partial \nu }}{{\partial x}}\)

गणना:

दिया हुआ:

u(x, y) = 2x² – 2y² + 4xy, ν(x, y) = ?

\(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{{\partial \nu }}{{\partial y}}\)

\(\frac{{\partial u }}{{\partial x}}=4x + 4y = \frac{{\partial \nu }}{{\partial y}}\)

x को स्थिर रखते हुए y के संबंध में समाकलन करके

ν(x, y) = 4xy + 2y² + f(x)

\(\frac{\partial v}{\partial x}=4y\;+\;f'(x)\)

\(\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = - \frac{{\partial \nu }}{{\partial x}}\)

\(\frac{\partial u}{\partial y}= - 4y + 4x \)

4y – 4x = 4y + f’(x)

\(f\left( x \right) = - \frac{{4{x^2}}}{2} + C= - 2{x^2} + C\)

संकल्पना:

यदि u(x, y) हार्मोनिक फलन है, तो इसे लाप्लास समीकरण u_xx + u_yy = 0 को संतुष्ट करना चाहिए। 

गणना:

दिया गया है:

u(x, y) = ebx cos 5y

∴ u_x = be^bx cos 5y

∴ u_xx = b²e^bx cos 5y

∴ u_y = -5e^bx sin 5y

∴ u_yy = -25e^bx cos 5y

∵हार्मोनिक फलन के लिए, uxx + uyy = 0

∴ b² e^bx cos 5y – 25e^bx cos 5y = 0

∴ e^bx cos 5y (b² - 25) = 0

∴ b² – 25 = 0

∴ b = ± 5

संकल्पना:

यदि f(x, y) हार्मोनिक है, तो इसे लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। 

\({{\nabla }^{2}}~f\left( x,~y \right)=0=\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{y}^{2}}}\)

गणना:

दिया गया फलन: f = 2x – x² + my²

इसलिए, हार्मोनिक के लिए इसे लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। 

\({{\nabla }^{2}}f=0=\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{y}^{2}}}\)

\(\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{x}^{2}}}=\frac{\partial \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}~\left( 2-2x \right)=-2\)

\(\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{y}^{2}}}=\frac{\partial \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)}{\partial y}=\frac{\partial \left( 2my \right)}{\partial y}=2m\)

\(\Rightarrow \frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{y}^{2}}}=-2+2m=0\)

अवधारणा:

माना कि w = u + iν सम्मिश्र चर का एक फलन है।

एक सम्मिश्र चर का फलन विश्लेषणात्मक है यदि यह कॉची-रीमैन समीकरण को संतुष्ट करता है;

\(i.e.\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{{\partial \nu }}{{\partial y}}\;and\;\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = - \frac{{\partial \nu }}{{\partial x}}\)

गणना:

दिया हुआ:

u(x, y) = 2x² – 2y² + 4xy, ν(x, y) = ?

\(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{{\partial \nu }}{{\partial y}}\)

\(\frac{{\partial u }}{{\partial x}}=4x + 4y = \frac{{\partial \nu }}{{\partial y}}\)

x को स्थिर रखते हुए y के संबंध में समाकलन करके

ν(x, y) = 4xy + 2y² + f(x)

\(\frac{\partial v}{\partial x}=4y\;+\;f'(x)\)

\(\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = - \frac{{\partial \nu }}{{\partial x}}\)

\(\frac{\partial u}{\partial y}= - 4y + 4x \)

4y – 4x = 4y + f’(x)

\(f\left( x \right) = - \frac{{4{x^2}}}{2} + C= - 2{x^2} + C\)

संकल्पना:

एक फलन u = f(x, y) को आवर्त फलन कहा जाता है यदि \(\frac{\partial^2u}{\partial^2x}+\frac{\partial^2u}{\partial^2y}=0\)

हल:

दिया गया है,  \(\mathrm{u}=\frac{1}{2} \log \left(x^2+y^2\right)\)आवर्त है

अब , \(\frac{\partial u}{\partial x}\) = \(\frac{1}{2}\times\frac{2x}{x^2+y^2}\) = \(\frac{x}{x^2+y^2}\) 

\(\frac{\partial u}{\partial y}\) = \(\frac{1}{2}\times\frac{2y}{x^2+y^2}\) = \(\frac{y}{x^2+y^2}\)

∴ dv =\(\left ( \frac{\partial v}{\partial x} \right )\)dx + \(\left ( \frac{\partial v}{\partial y} \right )\)dy 

=\(\left ( \frac{-\partial u}{\partial x} \right )\)dx + \(\left ( \frac{\partial u}{\partial y} \right )\)dy [CR समीकरण का प्रयोग करने पर]

=\(\left (\frac{-y}{x^2+y^2}\right )\)dx + \(\left (\frac{x}{x^2+y^2}\right )\)dy

=\(\frac{x dy-ydx}{x^2+y^2}\)

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

v = \(\tan^{-1}\left ( \frac{y}{x} \right )\) + C

∴ हार्मोनिक संयुग्मी \(\tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)+\mathrm{c}\) है

सही उत्तर विकल्प 1 है।

Additional Informationd(xy) = xdy + ydx

d(\(\frac{x}{y}\)) = \(\frac{ydx-xdy}{y^2}\)

d(\(\frac{x dy-ydx}{x^2+y^2}\)) = d(\(\tan^{-1}\left ( \frac{y}{x} \right )\))

संप्रत्यय:

एक फलन f(x, y) को प्रसंवादी कहा जाता है यदि यह निम्न को संतुष्ट करता है:

\({\partial ^2 f\over \partial x^2}+{\partial ^2 f\over \partial y^2}\) = 0

व्याख्या:

(1): u = x2 + y2

\({\partial ^2 f\over \partial x^2}=2, {\partial ^2 f\over \partial y^2}= 2\)

इसलिए, \({\partial ^2 f\over \partial x^2}+{\partial ^2 f\over \partial y^2}\) ≠ 0

u = x2 + y2 प्रसंवादी नहीं है।

(1) सही है। 

(2): u = x2 - y2

\({\partial ^2 f\over \partial x^2}=2, {\partial ^2 f\over \partial y^2}=- 2\)

इसलिए, \({\partial ^2 f\over \partial x^2}+{\partial ^2 f\over \partial y^2}\) = 0

u = x2 - y2 प्रसंवादी है।

(3): u = sin hx cos y

\({\partial ^2 f\over \partial x^2}\) = sin hx cos y और \( {\partial ^2 f\over \partial y^2}\) = - sin hx cos y

इसलिए, \({\partial ^2 f\over \partial x^2}+{\partial ^2 f\over \partial y^2}\) = 0

u = sin hx cos y प्रसंवादी है।

(4): इसी प्रकार हम दर्शा सकते हैं कि

u = \(\frac{1}{2}\)log(x2 + y2) प्रसंवादी है।