Differential Calculus MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Differential Calculus - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

• क्रांतिक बिंदु वहाँ होते हैं जहाँ f'(x) = 0 या व्युत्पन्न अस्तित्व नहीं होता है।
• लघुगणक वाले समीकरणों के वास्तविक हलों की संख्या प्रतिस्थापन द्वारा द्विघात रूप में कम करके पाई जा सकती है।
• जब कोई रेखा किसी वक्र को स्पर्श करती है, तो इसका अर्थ है कि रेखा ठीक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है और उस बिंदु पर ढलान समान होते हैं।
• यदि कोई फलन चर सीमाओं के साथ निश्चित समाकल का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, तो लेबनिज नियम का उपयोग करके व्युत्पन्न को नियंत्रित किया जाता है।

गणना:

(I) क्रांतिक बिंदुओं की संख्या

दिया गया है,

f(x) = x^3/5 x ≤ 1 के लिए

    = −(x − 2)³ x > 1 के लिए

⇒ f″(x) = 0, x = 2 के लिए और x = 0 पर अस्तित्व नहीं है। 

⇒ कुल क्रांतिक बिंदु = 3 (A, B, C)

∴ (I) → Q

(II) वास्तविक हलों की संख्या

दिया गया है, log₂²x + (x − 1) log₂ x = 6 − 2x

⇒ माना y = log₂ x

⇒ y² + (x − 1)y = 6 − 2x

⇒ y में एक द्विघात बनाएँ और वास्तविक x के लिए हल करने पर,

⇒ हल: x = 1/4 और x = 2

उनका गुणनफल = 1/2

∴ (II) → S

(III) c के मानों की संख्या ऐसी है कि रेखा 3x + 4y = c वक्र x⁴/2 = x + y को स्पर्श करती है

दिया गया है, dy/dx = −1 + 2x³

⇒ dy/dx = −3/4 (रेखा का ढलान) सेट करने पर,

⇒ −1 + 2x₁³ = −3/4 ⇒ x₁ = 1/2

⇒ वक्र से: x⁴/2 = x + y

⇒ (1/2)⁴/2 = 1/2 + y₁

⇒ 1/32 = 1/2 + y₁

⇒ y₁ = −15/32

⇒ c = 3x + 4y = 3/2 + 4(−15/32) = −3/8

∴ (III) → P

(IV) f(x) = ∫_x^x²(t − 1) dt , 1 ≤ x ≤ 2

⇒ f′(x) = 2x(x² − 1) − (x − 1) = 2x³ − 3x + 1

⇒ f′(x) (1, 2) में हमेशा धनात्मक है। 

⇒ इसलिए, फलन [1, 2] में वर्धमान है। 

⇒ अधिकतम मान x = 2 पर है। 

∴ (IV) → T

अंतिम मिलान: (I) → Q, (II) → S, (III) → P, (IV) → T है। 

व्याख्या:

दिया गया है:

f(0) = -1 और f'(0) = 1 मान लीजिये h(x) = f(2f(x) +2) और g(x) = (h(x))2

⇒ g(x) = (h(x))²

⇒ g'(x) = 2(h(x)).h'(x)

⇒ g'(0) = 2(h(0)).h'(0)

= 2f(2f (0) + 2).2

= 2f(0).2 = (-2).2 = -4

∴ विकल्प (a) सही है

व्याख्या:

मान लीजिये कि f: (-1, 1)→ R एक अवकलनीय फलन है जहाँ f(0) = -1 और f'(0) = 1

⇒ h(x) = f(2f(x) + 2)

⇒ h'(x) = f'(2f(x) + 2)2f'(x)

⇒ h'(0) = f'(2f(0) + 2).2f'(0)

= f'(-2 + 2).2(1)

= f'(0).2 = (1).2 = 2

∴ विकल्प (d) सही है।

संकल्पना:

माना कि हमारे पास दो फलन f(x) और g(x) है और वे दोनों अवकलनीय हैं। ​

• गुणनफल नियम:
• Division rule: 

सूत्र:

गणना:

= 

= 

= 

⇒ 

⇒

= 

संकल्पना:

एक बिंदु (a, b) पर वक्र y = f(x) की स्पर्शरेखा का समीकरण (y - b) = m(x - a) द्वारा दिया जाता है, जहाँ m = y'(b) = f'(a) [बिंदु (a, b) पर अवकलज का मूल्य]।

गणना:

y = f(x) = x3

गणना:

दिया हुआ, 

x के संबंध में अवकलन करके हमें मिलता है

⇒ f'(x) = 1 - 

= 1 + 

x = -1 रखने पर

⇒ f'(-1) = 1 +  = 1 + 1 = 2

∴ f'(-1) = 2

संकल्पना:

अवकलज का प्रयोग करके निम्निष्ट ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित चरण है। 

• फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए। 
• 0 के बराबर अवकलज निर्दिष्ट कीजिए और हल कीजिए। यह अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं का मान प्रदान करेगा। 
• अब हमें दूसरा अवकलज ज्ञात करना है: यदि f"(x), 0 से बड़ा है, तो फलन को निम्निष्ट कहा जाता है। 

गणना:

f(x) = x2 - x + 2

f'(x) = 2x - 1

0 के बराबर अवकलज निर्दिष्ट करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

f'(x) = 2x - 1 = 0

⇒ x = 

अब, f''(x) = 2 > 0

इसलिए, हमें x =  पर न्यूनतम मान प्राप्त होता है 

f() = ()² - + 2 =

अतः विकल्प (3) सही है। 

संकल्पना:

माना कि हमारे पास दो फलन f(x) और g(x) हैं और वे दोनों अवकलनीय हैं। 

• श्रृंखला नियम:​ 
• गुणनफल नियम: 

गणना:

y = x^x

दोनों पक्षों में log लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ log y = log x^x                          (∵ log mⁿ = n log m)

⇒ log y = x log x

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

x = 1 रखने पर 

                (∵ log 1 = 0)

संकल्पना:

'x' के परिवर्तन की दर को  द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

दिया गया है कि, y = 2x – x² और  = 3 इकाई/सेकेंड

तो, वक्र का ढलान, = 2 - 2x = m

⇒  = 0 - 2 × 

= -2(3)

= प्रति सेकेंड -6 इकाई

इसलिए, जब x प्रति सेकेंड 3 इकाई की दर से बढ़ता है, तो वक्र का ढलान प्रति सेकेंड 6 इकाई की दर से बढ़ता है। 

अतः विकल्प (2) सही है। 

संकल्पना:

मान लीजिए कि हमारे पास दो फलन f(x) और g(x) हैं और वे दोनों अवकलनीय हैं।

• श्रृंखला नियम: 

गणना:

दिया हुआ:

y = sin x°

हम जानते हैं कि,

180° = π रेडियन

∴ 1° =  रेडियन

अब, x° =  रेडियन

⇒ y = 

x के संबंध में अवकलित करते हुए हम प्राप्त करते हैं

गणना:

दिया है: x = t² , y = t³

⇒   

पुनः x के सापेक्ष अवकलित करने पर :

⇒ 

⇒   (∵ )

∴  

सही उत्तर  है। 

संकल्पना:

अवकलजों का शृंखला नियम:

।

= e^x

गणना:

यह दिया गया है कि y = ।

∴ y =

x के संबंध में दोनों पक्षों को अवकलित करके और श्रृंखला नियम का उपयोग करना, हमें मिलता है:

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

संकल्पना:

गणना:

दिया गया है:  y = e^{log (log x)}

ज्ञात करना है: 

चूँकि हम जानते हैं कि, e^{log x} = x

∴ e^{log (log x)} = log x

अब, y = log x

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है