Diff equation with constant Coefficient MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Diff equation with constant Coefficient - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

-y" + 5y = λy, y(0) = 0, y(π) = 0

⇒ y'' + (λ - 5)y = 0

λ - 5 = 0 के लिए, अर्थात λ = 5

y'' = 0

समाकलन करने पर, 

⇒ y = ax + b

y(0) = 0, y(π) = 0 का उपयोग करने पर, हमें a = b = 0 प्राप्त होता है,

इसलिए, हल y = 0 है अर्थात, तुच्छ हल

इसी प्रकार λ - 5 < 0 अर्थात, λ < 5 के लिए भी हमें तुच्छ हल प्राप्त होगा।

के लिए, λ - 5 > 0 अर्थात, λ > 5 मान लीजिए λ - 5 = k²

इसलिए ODE है,

y'' + (λ - 5)y = 0

⇒ y'' + k2 y = 0

सहायक समीकरण

m² + k2 = 0

⇒ m = ± ki

व्यापक हल

y = c₁cos(kx) + c₂sin(kx)

दिया गया है: y(0) = 0, y(π) = 0

y(0) = 0 ⇒ c₁ = 0

y(π) = 0 ⇒ c2sin(kπ) = 0

⇒ sin(kπ) = 0 (यदि c₂ ≠ 0)

⇒ sin(kπ) = sin(nπ)

⇒ k = n, n ∈ \(\mathbb Z\)

⇒ λ - 5 = n², n ∈ \(\mathbb Z\)

⇒ λ = 5 + n2, n ∈ \(\mathbb Z\)

इसलिए सबसे छोटी वास्तविक संख्या λ जिसके लिए दी गई समस्या का एक गैर-तुच्छ हल है, वह है:

λ = 6

विकल्प (1) सही है। 

ज्ञात करें : अवकल समीकरण के हल-समष्टि की विमा

दिया गया है: अवकल समीकरण पर विचार करें:

\(\frac{d^3 y}{dx^3} + 6 \frac{d^2 y}{dx^2} + 11 \frac{dy}{dx} + 6y = 0 \)

प्रश्न हल-समष्टि W की विमा पूछ रहा है।

व्याख्या:
रैखिक अवकल समीकरण के लिए हल-समष्टि की विमा समीकरण की कोटि द्वारा निर्धारित की जाती है।

यहाँ:
- अवकल समीकरण तृतीय कोटि का है (उच्चतम अवकलज \(\frac{d^3 y}{dx^3} \) है)।
- इसलिए, हल-समष्टि की विमा 3 के बराबर होगी।

इसका अर्थ है कि इस तृतीय कोटि के अवकल समीकरण के तीन रैखिक रूप से स्वतंत्र हल हैं।

तब हल-समष्टि W की विमा 3 है।

अतः विकल्प (1) सही उत्तर है।

व्याख्या:

A. \(\left(D^2+6 D+9\right) y=e^x\)

\(P.I = \frac{1}{D^2 + 6 D + 9 } ⋅ {e^x} \)

\(P.I = \frac{e^x}{16} \)

(A) का मिलान (II) से होता है जो केवल विकल्प (2) में है।

D. \(\left(D^2-3 D-4\right) y=2 e^{-x}\)

\(P.I = \frac {1}{D^2 - 3D -4} ⋅ 2e^{-x} \)

D के स्थान पर -1 रखने पर हर शून्य हो जाता है

इस स्थिति में अंश को x से गुणा करें और हर को D के सापेक्ष अवकलित करने पर,

\(P.I = \frac {x}{2D - 3 } ⋅ 2e^{-x} \)

अब D के स्थान पर -1 रखने पर,

\(P.I = \frac {x}{-5 } ⋅ 2e^{-x} \)

P.I = \(\frac{-2}{5} x e^{-x}\)

(D) का मिलान (IV) से होता है। 

इसलिए विकल्प (2) सही उत्तर है।

व्याख्या:

समघात समीकरण को हल करने पर,

⇒ y′′ + y = 6 sin x

संगत समघात समीकरण है:

⇒ y′′ + y = 0

विशिष्ट समीकरण है:

⇒ r² + 1 = 0

⇒ r = ± i

इसलिए, समघात समीकरण का व्यापक हल है:

⇒ y_c = C₁ cos x + C₂ sin x

विशेष समाकल (P.I.) दिया गया है:

⇒ y_p = \(\frac{1}{D^2+1}6sinx\)

⇒ D² = -1 रखने पर,

D² +1 = -1+1 = 0

फिर हम अंश में x की गुणा करते हैं और हर का अवकलन करते हैं:

⇒\(P.I = \frac{x}{2D}6 sinx \)

समाकलन करने पर, P.I = -3cosx

y = c1cosx +c2sinx - 3xcosx

अतः विकल्प 2 सही है। 

व्याख्या:

यह x²y'' - 2xy' - 4y = 0 रूप का एक कॉची-यूलर समीकरण है।

⇒ समघात समीकरण के लिए:

⇒x²y′′ − 2xy′ −4y = 0

⇒ माना x = e^z

⇒ y'' = r(r-1) प्रतिस्थापित करने पर, y' = r

⇒ [r(r − 1)] − 2r− 4 = 0

⇒ r(r −1) −2r −4 = 0

⇒ [r(r − 1) −2r −4] = 0

विशिष्ट समीकरण को हल करने पर, 

⇒ r² −r − 2r − 4 = 0

⇒r² − 3r − 4 = 0

⇒ गुणनखंडन:

⇒ (r −4)(r +1) = 0

⇒ r =4, -1

इस प्रकार, पूरक फलन (C.F.) है:

⇒ y_c = C₁x⁴ +C₂x⁻¹

कथन 1 सत्य है:

दिया गया है:
(D² − 8D + 15)y = 0
सहायक समीकरण है:
r² − 8r + 15 = 0
गुणनखंडन:
(r − 5)(r − 3) = 0
r = 5, 3
चूँकि मूल भिन्न (समान नहीं) हैं,

कथन II असत्य है।

अतः विकल्प 3 सही है। 

स्पष्टीकरण:

दिया गया है: x2y″(x) - 2y(x) = 0, y(1) = 1, y(2) = 1

व्यापक रूप से तुलना करने पर,

a = 1, b = 0, c = -2

सहायक समीकरण है,

m2 - m - 2 = 0

(m - 2)(m + 1) = 0

m = 2, -1

अतः व्यापक हल है,

\(y=c_1x^{2}+c_2x^{-1}\)

y(1) = 1, y(2) = 1 का प्रयोग करने पर,

1 = \(c_1+c_2\).....(i)

और \(1=4c_1+\frac{c_2}2\)....(ii)

(i) को 4 से गुणा करने और घटाने पर हमें प्राप्त होता है,

4 - 1 = \(4c_2-\frac{c_2}{2}\)

3 = \(\frac{7c_2}{2}\) ⇒ c₂ = \(\frac67\)

(i) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है,

c₁ = \(\frac17\)

हल 

y = \(\frac17\)x² + \(\frac67\) x^-1

इसलिए, 

y(3) = \(\frac17\times9+\frac67\times \frac13\) = \(\frac{11}7\)

अतः विकल्प (4) सही है। 

संकल्पना: 

यदि F(D)y = cos mx का PI, x sin mx के रूप का है तो F(-m²) = 0 और F(-m²) ≠ 0

स्पष्टीकरण:

दिया गया है y" + αy = cos 2x

PI = \(\frac{1}{D^2+α^2}\cos 2x\)

चूँकि P.I, x sin 2x के रूप का है

⇒ F(-2²) = 0 और F'(-2²) ≠ 0 

⇒ -22 + α = 0

⇒ -4 + α = 0

⇒ α = 4

(2) सही है। 

व्याख्या:

-y" + 3y = λy, y(0) = 0, y(π) = 0

⇒ y'' + (λ - 3)y = 0

λ - 3 = 0 के लिए, अर्थात λ = 3

y'' = 0

समाकलन करने पर, 

⇒ y = ax + b

y(0) = 0, y(π) = 0 का उपयोग करने पर, हमें a = b = 0 प्राप्त होता है,

इसलिए, हल y = 0 है अर्थात, तुच्छ हल

इसी प्रकार λ - 3 < 0 अर्थात, λ < 3 के लिए भी हमें तुच्छ हल प्राप्त होगा।

के लिए, λ - 3 > 0 अर्थात, λ > 3 मान लीजिए λ - 3 = k²

इसलिए ODE है,

y'' + (λ - 3)y = 0

⇒ y'' + k2 y = 0

सहायक समीकरण

m² + k2 = 0

⇒ m = ± ki

व्यापक हल

y = c₁cos(kx) + c₂sin(kx)

दिया गया है: y(0) = 0, y(π) = 0

y(0) = 0 ⇒ c₁ = 0

y(π) = 0 ⇒ c2sin(kπ) = 0

⇒ sin(kπ) = 0 (यदि c₂ ≠ 0)

⇒ sin(kπ) = sin(nπ)

⇒ k = n, n ∈ \(\mathbb Z\)

⇒ λ - 3 = n², n ∈ \(\mathbb Z\)

⇒ λ = 3 + n2, n ∈ \(\mathbb Z\)

इसलिए सबसे छोटी वास्तविक संख्या λ जिसके लिए दी गई समस्या का एक गैर-तुच्छ हल है, वह है:

λ = 4

विकल्प (4) सही है। 

अवधारणा:

यदि आंशिक अवकल समीकरण  ϕ(D,D')z=e^ax+by के रूप में है।

तब,  PI= \(\frac{1}{\phi(D,D')}\) ( eax+by.)= \(\frac{1}{\phi(a,b)}\)

स्पष्टीकरण:

 (D2 - D'2 + D - D') Z = e^2x+3y

PI = \(\frac{1}{(D^2-D'^2+D-D')}\)e^2x+3y

PI= \(\frac{1}{(4-9+2-3)}\)e2x+3y

PI=\(-\frac{1}{6}\)e2x+3y

अतः, विकल्प (1) सही है।

व्याख्या:

-y" + 5y = λy, y(0) = 0, y(π) = 0

⇒ y'' + (λ - 5)y = 0

λ - 5 = 0 के लिए, अर्थात λ = 5

y'' = 0

समाकलन करने पर, 

⇒ y = ax + b

y(0) = 0, y(π) = 0 का उपयोग करने पर, हमें a = b = 0 प्राप्त होता है,

इसलिए, हल y = 0 है अर्थात, तुच्छ हल

इसी प्रकार λ - 5 < 0 अर्थात, λ < 5 के लिए भी हमें तुच्छ हल प्राप्त होगा।

के लिए, λ - 5 > 0 अर्थात, λ > 5 मान लीजिए λ - 5 = k²

इसलिए ODE है,

y'' + (λ - 5)y = 0

⇒ y'' + k2 y = 0

सहायक समीकरण

m² + k2 = 0

⇒ m = ± ki

व्यापक हल

y = c₁cos(kx) + c₂sin(kx)

दिया गया है: y(0) = 0, y(π) = 0

y(0) = 0 ⇒ c₁ = 0

y(π) = 0 ⇒ c2sin(kπ) = 0

⇒ sin(kπ) = 0 (यदि c₂ ≠ 0)

⇒ sin(kπ) = sin(nπ)

⇒ k = n, n ∈ \(\mathbb Z\)

⇒ λ - 5 = n², n ∈ \(\mathbb Z\)

⇒ λ = 5 + n2, n ∈ \(\mathbb Z\)

इसलिए सबसे छोटी वास्तविक संख्या λ जिसके लिए दी गई समस्या का एक गैर-तुच्छ हल है, वह है:

λ = 6

विकल्प (1) सही है। 

व्याख्या:

A. \(\left(D^2+6 D+9\right) y=e^x\)

\(P.I = \frac{1}{D^2 + 6 D + 9 } ⋅ {e^x} \)

\(P.I = \frac{e^x}{16} \)

(A) का मिलान (II) से होता है जो केवल विकल्प (2) में है।

D. \(\left(D^2-3 D-4\right) y=2 e^{-x}\)

\(P.I = \frac {1}{D^2 - 3D -4} ⋅ 2e^{-x} \)

D के स्थान पर -1 रखने पर हर शून्य हो जाता है

इस स्थिति में अंश को x से गुणा करें और हर को D के सापेक्ष अवकलित करने पर,

\(P.I = \frac {x}{2D - 3 } ⋅ 2e^{-x} \)

अब D के स्थान पर -1 रखने पर,

\(P.I = \frac {x}{-5 } ⋅ 2e^{-x} \)

P.I = \(\frac{-2}{5} x e^{-x}\)

(D) का मिलान (IV) से होता है। 

इसलिए विकल्प (2) सही उत्तर है।

ज्ञात करें : अवकल समीकरण के हल-समष्टि की विमा

दिया गया है: अवकल समीकरण पर विचार करें:

\(\frac{d^3 y}{dx^3} + 6 \frac{d^2 y}{dx^2} + 11 \frac{dy}{dx} + 6y = 0 \)

प्रश्न हल-समष्टि W की विमा पूछ रहा है।

व्याख्या:
रैखिक अवकल समीकरण के लिए हल-समष्टि की विमा समीकरण की कोटि द्वारा निर्धारित की जाती है।

यहाँ:
- अवकल समीकरण तृतीय कोटि का है (उच्चतम अवकलज \(\frac{d^3 y}{dx^3} \) है)।
- इसलिए, हल-समष्टि की विमा 3 के बराबर होगी।

इसका अर्थ है कि इस तृतीय कोटि के अवकल समीकरण के तीन रैखिक रूप से स्वतंत्र हल हैं।

तब हल-समष्टि W की विमा 3 है।

अतः विकल्प (1) सही उत्तर है।

व्याख्या:

समघात समीकरण को हल करने पर,

⇒ y′′ + y = 6 sin x

संगत समघात समीकरण है:

⇒ y′′ + y = 0

विशिष्ट समीकरण है:

⇒ r² + 1 = 0

⇒ r = ± i

इसलिए, समघात समीकरण का व्यापक हल है:

⇒ y_c = C₁ cos x + C₂ sin x

विशेष समाकल (P.I.) दिया गया है:

⇒ y_p = \(\frac{1}{D^2+1}6sinx\)

⇒ D² = -1 रखने पर,

D² +1 = -1+1 = 0

फिर हम अंश में x की गुणा करते हैं और हर का अवकलन करते हैं:

⇒\(P.I = \frac{x}{2D}6 sinx \)

समाकलन करने पर, P.I = -3cosx

y = c1cosx +c2sinx - 3xcosx

अतः विकल्प 2 सही है। 

व्याख्या:

यह x²y'' - 2xy' - 4y = 0 रूप का एक कॉची-यूलर समीकरण है।

⇒ समघात समीकरण के लिए:

⇒x²y′′ − 2xy′ −4y = 0

⇒ माना x = e^z

⇒ y'' = r(r-1) प्रतिस्थापित करने पर, y' = r

⇒ [r(r − 1)] − 2r− 4 = 0

⇒ r(r −1) −2r −4 = 0

⇒ [r(r − 1) −2r −4] = 0

विशिष्ट समीकरण को हल करने पर, 

⇒ r² −r − 2r − 4 = 0

⇒r² − 3r − 4 = 0

⇒ गुणनखंडन:

⇒ (r −4)(r +1) = 0

⇒ r =4, -1

इस प्रकार, पूरक फलन (C.F.) है:

⇒ y_c = C₁x⁴ +C₂x⁻¹

कथन 1 सत्य है:

दिया गया है:
(D² − 8D + 15)y = 0
सहायक समीकरण है:
r² − 8r + 15 = 0
गुणनखंडन:
(r − 5)(r − 3) = 0
r = 5, 3
चूँकि मूल भिन्न (समान नहीं) हैं,

कथन II असत्य है।

अतः विकल्प 3 सही है।